Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Определение и свойства функции Грина (305). 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений) (307). 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина (310). 4. Форлула Пуассона (31Г5 5. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению (312). 6. Свойства собственных значений и собственных функций (314). 7. Упражнения (316). 9 5.8. Краевые задачи для уравнения Лапласа на пюскостн 1. Постановка н единственность решенвл основных краевых задач (318). 2. Логарифмический потенциал (320). 3.
Разрешимость краевых задач (323). 4. Решение краевых задач для круга (326). 5. Функция Грина задачи Дирихле (327). 6. Решение 261 276 282 294 305 , 318 Оглавление задачи Дирихле для односвязной области (329). 7, Упражне- ния (330). Глава У1 СМЕШАННАЯ ЗАДАзТА Дополнение СПЕЦИАЛЬНЫЕ<3зУНКЦИИ е Д.1. Функции Бесселя 1 ОпРеделение и простейшие свойства функций Бесселя 1373) 2.
Свойство ортогональности (376). 3. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя (377). 4. Корни функций Бесселя (378). 5. Краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя (380). 6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя (381). 7. Полнота функций Бесселя (383). 8. Другие цилиндрические функции (384). 373 36.1. Метод Фурье . 1.
Однородное гиперболическое уравнение (334). 2. Неоднородное гиперболическое уравнение (336). 3. Параболическое уравнение (338). 4. Уравнение П1редингера (339). 5. Эллиптическое уравнение (339). 6. Примеры (341). 7. Упражнения (347).
36.2. Смешаннал задача для уравнения гиперболического типа.... 348 1. Классическое решение. Интеграл энергии (348). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения (350). 3. Функции, непрерывные в бг(С) (353). 4. Обобщенное решение (356).
5. Единственность и непрерывная зависимость обобщенного решения (Зоер). 6. Существование обобщенного решения (359). 7. Существование классического решения (362). 3 6.3. Смешанная задача для уравнения параболического типа,... 365 1. Классическое решение. Принцип максимума (Збое). 2.
Единственность и непрерывная зависимость к.лассического решения (367). 3. Обобщенное решение (369). 4. Существование обобщенного решения (370). 5. Сушествование классического решения (371). Оглавление 386 9 Д.'2. Сферические функции 1. Определение сферических функций (386). 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций (388). 3. Полиномы Лежандра (389). 4. Производящая функция (391). 5. Присоединенныо функции Лежандра (393). 6. Сферические функции (394).
7, Формула Лапласа (396). 8. Шаровые функции (397). Список литературы . ПРЕДИСЛОВИЕ Предмет математической физики составляет построение и исследование математических моделей физических явлений. Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию физики и математики. В конце ХУП века было открыто дифференциальное и интегральное исчисление (И. Ньютон, Г. Лейбниц) и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения (И. Ньютон).
В Х~'П1 веке методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стержней, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываютсл основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, зК. Лагранж, П. Лаплас). В Х1Х веке идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т. дд создаются теория потенциала и теория устойчивости движения (Ж.
Фурье, С. Пуассон, К. Гаусс, О. Коши, М. В. Остроградский, П. Дирихле, Б. Риыан, С. В. Ковалевская, Д. Стоке, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, Д. Гильберт). В ХХ веке в математическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые проблемы газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы. Многие задачи классической математической физики сводятся к краевь м задачам длл дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений уравнений математической физики.
Основными математическими средствал~и исследования этих задач являются теория дифференциальных уравнений (включая родственные области; интегральные уравнения, интегро-дифференциальные уравнения и вариацнонное исчисление), теория функций, функциональный анализ, нелинейный анализ, теория вероятностеи, приближенные методы и вычислительная математика. Изучение математических моделей квантовой физики потребовало привлечения таких новых областей математики, как теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, геометрических, топологических, алгебраических и теоретико- Предисловие числовых методов. С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты.
В интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики. Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач, т. е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.
Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественными, их тем не менее необходимо доказывать в рамках принятой матемашической модели. Доказательство корректности это первая апробация математической модели: модель непротиворечива (решение существует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель мало чувствительна к погрешностями измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задачи). В этой книге изучаются в основном корректно поставленные задачи для дифференциальных уравнений классической математической физики.
Однако в отличие от традиционных способов изложения уравнений в книге широко используется концепция обобщеннозо решения. Обобщенные решения возникают при изучении интегральных соотношений типа локального баланса. В свою очередь учет обобщенных решений приводит к обобщенным постановкам краевых задач математической физики. Точное определение обобщенного решения опирается на понятие обобщенной производной и, как следствие, на понятие обоби1енной функции. Аппарат теории обобщенных функций является удобным средством д, и исследования линейных краевых задач в обобщенной и классической постановках.
Поэтому специальная глава книги посвящена изложению теории обобщенных функций. Ряд разделов книги использует язык функционального анализа (на элементарном уровне), что позволяет значительно сократить изложение. В книге принята следующая схема расположения материала. В главе 1 излагается постановка и классификация основных краевых задач математической физики, а также приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из анализа. 1 лава П содержит элементы теории обобщенных функпий, включая преобразование Фурье обобщенных функций. Вреди«леоне В главе П1 строятся фундаментальные решения для дифференпизльных операторов с постоянными коэффициентами и исследуются обобщенная и классическая задачи Коши для волнового уравнения и у.равненил теплопроводности. Особенность изложения состоит в том«что в обобщенной постановке задачи Коши начальные условия учитываются как мгновенно действующие источники; это позволяет построить решение задачи Коши в виде свертки источника с надлежащим образом выбранным фундаментальным решением.
Глава 1У содержит теорию интегральных уравнений с непрерывным ядром. Формулируются теоремы Фредгольма, ГильбертаШмидта, Мерсера, некоторые из них доказываются. В главе Ъ' рассматриваются задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа, включая задачу Штурл«а — Лиувилля, а также краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона. В главе Ъ'1 изучаются смешанные задачи для уравнений гиперболического и параболического типов в обобщенной и классической постановках. Излагается метод Фурье и дается его обоснование. В дополнении излагается элементарнал теория гармонических функций, сферических функций и функций Бесселя. Для более глубокого понимания теории ряд разделов книги иллюстрируется типичными задачами с полными решениями.
Приводятся также характерные задачи для самостоятельного решения, ряд задач сформулирован в виде теорем. Для упражнений можно также рекомендовать «Сборник задач по уравнениям математической физики> В. С. Владимирова, В. П. Михайлова, А. А. Вашарина, Х. Х. Каримовой, Ю. В. Сидорова, М. И.
Шабунина (М., Наука, 1982). Данная книга является сокращенным и упрощенным вариантом курса В.С. Владимирова «Уравнения математической физики> (5-е изд., М., Наука, 1985), который читался автором в течение многих лет (1964. 1986 гг.) студентам Московского физико-технического института. Она рассчитана на студентов технических вузов с повышенной л«атематической подготовкой. Авторы благодарны профессорам МФТИ Ю. В.
Сидорову и М. И. Шабунину за конструктивную критику, а также за предоставленные ими примеры и задачи с решениями. В. С. Владимиров, В. В. Жоринов Глава ! ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАх1 МАТЕМАТИ'1ЕСКОЙ сРИЗИКИ у 1.1. Некоторые понятия и предложения теории множеств, теории функций и теории операторов В этой книге мы будем широко пользоваться материалом, изложенным в следующих книгах: С. »!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
