Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Если С --- оераничвнная область и 7" К СР(С), то для любого е > О существует полинам Р такой, что ~цд"2 — д Р~ус < е при всех (о! < р. 2 В.С. Виииииирои, В.н. Жирииои 18 Гл. 1. Постановка кравоых задом математической физики Лгымл Дини. Если монотонная последовательность непрерывных функций на компакте К сходится в каждой точке к непрерььвной функции на К, то она сходится равномерно на К. Ряд, составленный из функции ое Е С(Т), называетсл уегу ярно сходяиьимся на Т, если ряд из абсолютных величин ~иь(х)~ сходится в С(Т), т. е, сходится равномерно на Т.
Множество зЧ С С(Т) назьтается равностепенно непрерывнььм на Т, если для лкьбого г > О существу.ет такое число й„что при всех 1 Е М имев~ место неравенство ~ф(хь) — 1(ха)~ < в, как только ~хь — хз~ < йо, хь,хз е Т, ФУнкциЯ 1' б С(Т) называетсн непРеРывной по ГельдеРУ на Ть если существуют такие числа С > О и о, О < о < 1, что при всех хь Е е Т и хе е Т справедливо неравенство ~ф(хь) — ф(хз)~ < С~хь — хз~ если о = 1, то функция 1"(х) называется непрерывной по Литаицу на Т. Пусть функции 1(х) и ьз(х) заданы в окрестности точки хе (конечной или бесконечно удаленной).
Будем писать У(х) = 0(ьо(х)) или 1(х) = о(иь(х)), х †хоь если отнопьение 1(х)ььо(х) огРаничено или стРемитсЯ к О пРи х — ь хо соответственно. 4. Интегралы типа потенциала. Пусть функцил р(у) ку.— сочно непрерывна на ограниченной области С с Ко. Интеграл 1(х) = ( . О < о < и, 1 р(у)ду Ь~ — у~ ' называется интегралом типа потенциала. Такие интегралы часто встречаются в математической физике. Докажем сначала справедливость оценки <С„Л" ", хаус" ду (2) Действительно, если ~х~ > 2Л, то ~х — у~ > ~х~ — ~у~ > Л при всех )у! < Л, и поэтому В К1.
Некоторые понягпия и предложения 19 если же (х! < 2Л, то (х — у! < )х) + (гу! < ЗЛ и /' =~ <~ = "ЗЛ---. и !х у!" Лцн;ю !6" Л; !6 Здесь оп площадь поверхности единичной сферы в К". Опенка (2) доказана. Из (2) вытекает, что при всех Л > О существует повторный интеграл ( ~рггг~() * )ег яо.яа ) ~рггг~ег, Следовательно, интеграл 1(х) существует при всех х и представляет собой локально интегрируемую функцию в Кп. Вне области С интеграл 1(х) есть бесконечно дифференцируемая функция и все ее производные получаются дифференцированием под знаком интеграла дд1(зг) = / р(у)др Йу, х 6 Кп '1С.
1 )х — у! Докажем, что при всех д др1(х) = ОЦх! грг), (х! — > сю. (3) Действительно, пусть С с Пн и !х/ > Л; тогда /х — у/ > /х! — /у/ > !х/ — Л при всех у Е С. Отсюда, принимая во внимание оценку 1 Кв < д, при )х( > Л, получим 1(х)~ < Кв ~ < / ~~(у)~ в 1 гр(у) ~ ду Кв ~х — у1 ' 0х~ — Л) ' откуда и следует (3) (см. п.
3). Творима, Пусть функция р кусочно непрерывна, ~р(у)~ < Л1 в С. Тогда интеграл 1 принадлежит С" (К"г), где р -. наибольшее число такое, что о+ р < и. Соотоетсгпвуюшие производные функции 1(х) получаются дифференцированиеяг под знакояг интеграла. Докязятьльство. Докажеъг, что 1(х) непрерывная функция в Ко.Фиксируем хо е Кп и возьмем произвольное е > О. Тогда Е" 1.1. Некоторьье понятия и предяожепия 21 откуда, дифференцируя по со получим равенство (4).
Законность пе- ремены порядка интегрирования в предыдуших равенствах вытекает из существования повторного интеграла ел < ЛХ(~ — (С Н" ',",'„1 х, о~/~х — д Здесь мы воспользовались оценкой (2), предполагая, что С С Гя. Таким образом, мы доказали, что 1 Е Сл(лл") и допустимо дифференцирование один раз под знаком интеграла 1(х). Если же о+ + 2 < и, то, применяя предыдущие рассуждения к функциям 1;(х), установим, что 1 Е С (К" ) и допустимо дифференцирование два раза под знаком интеграла 1(х) и т.д. Теорема доказана.
Пусть функции К(х, у), Кл (х, д) и Кз(х, у) непрерывны на С х С. Аналогично предыдущему устанавливается, что интегралы Кл(х,д )Ая(д,д) а ~ — д'!" Ь' — д~" К(х, у) а ~.-И~-" пд, непрерывны на С и С х С, если о < п и ол + оя < и соответственно. Замвчлник. Все сказанное об интеграле 1(х) без существенных изменений переносится и на интеграл типа потенциала вида е1Бю О < о < п — 1, Г р(д) .л~х — Ы )Л(+ 1лд)Я < 2)Л)~(ДЯ + 2)Л(~(д! вытекает, что и их любая линейная комбинация Лу + 1лд также принадлежит Бз(С).
Справедливо важное неравенство (неравенство Коши-Буняковского): если д, д 6 ьв(С), то ((х)д(х) е(х < / )~(х)р дх / (д(х)р йх. а а а где Я ограниченная кусочно гладкая поверхность и р кусочно непрерывная функция на Я. 5. Пространство функций я".з(С). Совокупность всех функций 1, для которых функция ~((х)~я интегрируема (по Рилеану) на области С, обозначим через Ез(С). Множество функций ьз(С) линейное. Действительно, если 1' с Бз(С) и д с ья(С), то из неравенства 22 Гл.
й Постановка красоте задал математической физики Если С --- ограниченная область и У е»".а(С), то функция ф(х) интегрируема на С. Действительно, применяя неравенство Коши — Буняковского с д = 1,получим / ~ф(х)~«х < / ~ф(х)р«х» ~ «х < со. С и '~.п На множестве функций ь(С) введем ока ярное произведение и норму по формулам Уд) =/»(х)д(х)«х ~Л= ЛГИ= I йх)Р«х, о .»и провращая тем самым Па(С) в (линейное) нормированное пространство. Здесь д(х) функция, комплексно сопряженная с д(х). Очевидно, введенное скалярное произведение обладает свойствами (У, д) = (д, У), РУ -ь рд, й) = Л(У, й) + р(д, й).
Кроме того, в терминах нормы и скалярного произведения неравенст- во Коши — Буняковского принимает вид ~(У,Д < ~Л Ц~, У,д ~ Па(С). Из этого неравенства вытекает следующее неравенство Минковс- кого: ~~У+Ф1 < ~~Л+Ы, Х,д~П (д) Таким образом, норма () Й удовлетворяет условиям а) в) из п.З. Последовательность функций уы к = 1,2,..., из Пз(С) называется сходящейся к функции у Е Пя(С) в пространстве Пз(С) (или в среднем в С), если ~~ф~,- — Д вЂ” > О; при этом будем писать ф» — » у' в ьа(С), к — > сю. Последовательность функций»ы к = 1,2,..., из сз(С) называется сходлщейсл в себе в Па(С), если ОУ» — УрЙ вЂ” ~ О, к — ~ оо, Р -+ со.
Множество функпий Пз(С) неполно. Пополним его подобно тому, как пополняется множество рациональных чисел вещественными числами. Для этого сопоставим каждой сходящейся в себе в ья(С) последовательности функций 1"», к = 1,2,..., »идеальный» элемент »" с нор»лей 'Оп = 1ш» ((ф»(). бкп Некоторые понятая и предложения 23 При этом два «идеааьных» элемента 1 и д считаем равными, если определяюшие их последовательности 1мую...
и дмде,... эквивалентны, т.е. если «сплетаютал» послсДоватсльность Рмдо уз,дх,... сходится в себе в Ез (С). Пополненное таким путем наше пространство Е (С) будем по-прежнему обозначать через Ез(С). Можно доказать, что «идеальный» элемент 1 из ьх(С) можно отождествить с некоторой функпией 1(х), определенной почти везде в С, такой, что 1Ш' = ( ~~(,)1 дх, если интеграл справа понимать в более широком смысле (в смысле Лебега). Итак, всюду ниже Ез(С) полное пространство, полученное из исходного пространства с помошью пополнения. Следующее предложение выражает свойство полноты пространства ьз (С) . Тиорнмл Риссл — ериширл.
Если последовательноеи«ь функций дя, й = 1,2,..., иэ Ех(С) сходится в себе в Ез(С), «и. е. удь — эр~у — » -+ О, 1« — ~ оо, р -+ оо, то существует функция 1" й ьз(С) такая, что й,1» — Д вЂ” » О, л' — » со; при этом функция 1 единственна. Пространство Ез(С) относится к классу гильбертовых простра не«пв. Множество функций ««1 С ьз(С) называется плотным в ьз(С), если для любой 1" й Еа(С) существует последовательность функций из Л1, сходящаяся к 1 в Ез(С).
Например, множество С(С) плотно в Ез(С); отсюда следует, что и множество полиномов плотно в Ез(С)., если С ограниченная область (в сияу теоремы Вейерштрасса; см. п.З). Пространство ьз (С) имеет дискретный аналог: линейное пространство 1з, состояшее из всех последовательностей комплексных чисел а = (ам а .....) с конечной нормой ЙаО = ~ 1аь( л=« и скалярным произведением (а, Ь) = 2 „, аябя, для всех а«Ь е 12.
6. Ортонормальные системы. Функции 1 и д из ьз(С) называются ортоеональнь«я«и, если ((, д) = О; функция 1 из Ез(С) называется норе«ированной, если )Я = 1. Система функций (у«ь) из Еа(С) называется ор«ненормальной, если («рту«,) = бы«где бы символ Кронекера: бы = О, я ф- «, бп = 1. 24 Гл.й Постановка краевых задач математическая физики Всякая ортонормальная система (~ря) состоит из линейно независимых функций. Всякая система ц»ыцэ,...
линейно независимых функций из Пэ1С) пРеобРазУетсн в оРтоноРмальнУю системУ ьзм ~оз,... следУюгцим процессом ор»поеонализации Шмидта: уц фэ г»»я»з1)»з1 ЕЧ»Е Е»2 1»вз»'1)»з»Е фв — Нь 'рь- »у»з — — " — Ы 'р1)р1 '»з ~~фа — Фю ~рь — Ыя — — " — »гам»»)» 1~~ рядом Фурье функции 7' по ортонормзльной системе (ря). Если система функций ц»ю й = 1, 2,..., ортонормзльна в Па1С), то для каждой у 6 ьз(С) и любых (комплексных) чисел ам аэ,,.,, аы, »'»' = 1,2,..., справедливо равенство У вЂ” ~(У, »зь)цзь ~ !(У, цзя) — аь",.
16) — авгарь ь — ! Из равенства 16) вытекает неравенство З' — ~ф«рь)~рь ( 2 — ~ азу»ь Далее, полагая в (6) аь = О, й = 1, 2,..., Х, получаем равенство у — ~ И,М~ь = ~И~э — ~ ЕХ, рьИ' 17) Из этого равенства вытекает неравенство Пусть система функций дь, й = 1, 2,..., ортонормальна в ьэ(С) и 1 Е ьз1С). Числа (~,ц»ь) называются козу»у»ициентами Фурье, а формальный ряд ~У,ц' )р '15) А=» з КК Некоторые понятия и предложения 25 называемое неравенством Бесселя. Из неравенства Ьесселя и из теоремы Рисса — Фишера (см. п. 5) следует, что ряд Фурье (5) сходится в Ез(С) к некоторой функции из Еи(С) (но не обязательно к 7).
Кроме того., нз равенства (7) и нз теоремы Рисса Фишера (см. п.5) вытекает такое предложение. Для того чтобы ряд Фурье (5) сходился к функции 7" в Ег(С), необходимо н достаточно, чтобы было выполнено равенство Парсеваля — Стеклова (уравнение замкнутости) 7. Полные ортонормальные системы. Пусть система функций (рь), к = 1,2,..., ортонормальна в Ба(С). Если для любой д" к к Еи(С) ее ряд Фурье по системе (уя) сходится к 7" в Ег(С), то эта система называется полной (замкнутой) в Еи(С) (ортонормальным базисом в ьг(С)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
