Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Никольский «Курс математического анализа» [2], Ю.В. Сидоров, ЬЕ В. Федорюк, Х!. И. Шабунин «Лекции по теории функций кохшлексного переменного» !3], Д. В. Беклемишев «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры» !4] и В.К. Романко «Курс обыкновенных дифференциальных уравнении» ~5]. Для полноты изложения мы приведем основные понятия теории множеств, теории функций и теории операторов, заодно введя обозначения, которых мы будем придерживаться ниже. Пусть А — произвольное множество.
Если элемент а содержится (не содержится) в множестве А, то это будем записывать так: а Е А (а ф А). Пусть В -" другое множество. Обозначим А с В включение А в В, А = В совпадение А с В, АОВ об ьединвние А и В, А О В пересече- А,В Л о',А ние А и В, А ««В — дополнение В до А (рис.1), А х В --- произведение А и В (множество пар (а, Ь), а Е А, Ь6 В), й» Риа ! пустое множество. 1. Точечные множества в И . Обозначим и-мерное вещественное евклидова пространство через К", а его точки через х = = (хыхэ,...,х„), у, С и т.д., где хо « = 1,'2,...,п, координаты точки х.
Символами (х,у) и ]х] обозначим скалярное произведение 14 Гл. й Постановка краевых задач математической физики и длину (норму) в оса: (х,у) = х>у> + хэух+ ... + х„уа, ~в= >, >=Д *~' л Таким образом, число ~х — у~ есть евклидово расстояние между точками х и у. Множество точек х иэ К" > удовлетворян>щих неравенству ~х— — хо~ < Л, называется открытым шаром радиуса Л с центром в точке хо. Этот шар будем обо>начать Г1(хо, .Л), Пн = П(О; В).
Последовательность точек хь = (х > ь, ххь, хая), Й = 1, 2, ..., называется сходящейся к точке х в К" (пишем хь — > х, к — > оо), если ~хь — х~ — > О, когда й — > оо. Последовательность хя, 1. = 1, 2,..., называется сходящейся в себе в К"., если ~з>ь — х„~ -+ О, к — > оо, р — > оо. Пространство К."> полное, т.е. всякая сходящаяся в себе последовательность сходится к некоторой точке в йв. Множество называется ограниченным в Й", если существует шар, содержащий это множество. Точка хо называется внутренней точкой множества, если существует шар 1>'(Ло,.г), содержащийся в этом множестве.
Множество называется оп>крьлть м, если все его точки внутренние. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кусочно гладкой кривой, лежащей в этом множестве. Связное открытое множество называется облас>аью. Точка хо называе~ся предельной >ночкой множества А, если существует последовательность хы к = 1, 2,..., такая, что хь Е А, хь ф Ф хо, хя -> хо, й -> со. Если к множеству А добавить все его предельные точки, то полученное множество называется замыканием множества А и обозначается .4; ясно, что А с А. Еаяи множество совпадает со своим замыканием, то оно называется замкнутым. Замкнутое ограниченное множество называется компактом.
Окрестностью множества А называ- ется всякое открытое множество, содержае щее А; е-окрестностью А, множества А называется объединение шаров 1> (х; г), когда х ~робе~ае~ А: -4е — ()я~ в 1> (х г). Функция 11(х), равная 1 при х ч А и О при х ф А, называется характерно>наческой функцией множества А. Рис. 2 Е" 1.1. Некоторые понятая и предложения 15 Пусть С -- область. Точки из замыкания С, не принадлежащие С, образуют замкнутое множество Б, называемое границей области С, так что 5 = С г, С.
Например, границей открытого шара Г1(хо,.Л) является сфера ~х — хо~ = Л. Эту сферу. будем обозначать Б(хо; Л), Яп = о(О; В). Ограниченная облаг.ть С' называется подобластью, строго лежащей в области С, если С' с С; при атом пишут С' с С. В си.лу леммы Гейне — Бореля существует такое число г ) О, что С,' С С (рис. 2). 2. Классы функций. Пусть ег = (абая, ..,, оп) — целочисленный вектор с неотрицательными составляющими ем (мультииндекс). Через д 1(х) обозначаем производную функции 1'(х) порядка ~ег~ = = ог + аз + ... + о„: д~~~Дх гхзг...,хп) дх"' дх"' д хп д дг— дхе ' гя" 1(х) = 1(х); д = (дг,дг,...,д„), г = 1,2,...,п.
Для низших производных мы иногда будем употреблять обозначе- ниЯ 1,„1гвя,,..., а Дла оДной пеРеменной .-- обозначениЯ ..., 1гиг,... Мы будем пользоваться также следующими сокращения- ми обозначониями: а иг ог , и п Множество (комплексных) функций 1, непрерывных вместе с производными д 1'(х), ~гя~ < р (О < р < сю), в области С, образует класс фракций С" (С). ФУнкпии 1 класса С" (С)г У ко~оРых все пРоизводные д Д(х), ~ея~ < р, допускают неп1>ерывное продолжение на замыкание С, образуют класс функций СР(С); при атом под значением д 1(х), х Е Я, ~а~ <Рг понимаем Ишд~Дх) пРи х'-+х, х' Е С.
Класс функций, принадлежащих СР(С) при всех р, обозначим через С' (С); аналогично опроделяется и класс функций С (С). Таким образоьг, класс Со(С) состоит из всех непрерывных функций в С, а класс По(С) можно отождествить с множеством всех непрерывных функций на С. Для сокращения записи обозначаем С(С) = = С (С), С(С) = С (С). Иногда аргумент С или С у класса СР будем опускать.
Пусть функция 1(х) задана на некотором множестве, содержащем область С. В атом случае принадлежность 1 классу СР(С) обозначает, что сужение 1 на С принадлежит СР(С). Например, 1б Гл. й Постановка краевых задач математической физики функция Н(х) = О, х < 0; Н(0) = 1/2; Н(х) = 1., х > О, принадлежит классам С 1х < 0) и С (х > 0), причем если Н рассматривается как функция класса С '(х < 0), то ее значение в 0 следует считать равным О, а если Н вЂ” функция класса С (х > 0), то ее зяачение в 0 следует считать равным 1 (в соответствии с определениями).
Введенные классы функций представляют собой линейные инозкества, т. е. из принадлежности функций ф и д какому-либо из классов следует принадлежность этому же классу. и любой их линейной комбинации Л1" + рд, где Л и р, произвольные комплексные числа. Функция 1 называется кусочно непрерывной в К"', если существует конечное или счетное число областей Сь, к = 1, 2....., без общих точек с кусочно гладкими границами таких, что каждый шар покрывается конечным числом замкнутых областей 1Ся) и 1 Е С1Сь), к = = 1, 2,... Кусочно непрерывная функция называется финишной, есши она обращается в нуль вне некоторого шара. Пусть уо б С(Ка). Носителем непрерывной функции ьзназывается замыкание множества тех точек, где уз1х) ф 0; носитель з обозначаем вр1 р.
Таким образом, функция р(х) финитна тогда и только тогда, когда вр1ьз ограничен. ФУнкциЯ 1(х), х = (хы хз,..., х„), называстсЯ аналитической в точке хо, если в некоторой окрестности этой точки она представляется в виде равномерно сходящегося степенного ряда ф(х) = ~, со(х — хо) = ~~', (х — хо) Д У(хо) )архе )а)>о (точка хо может быть и комплексной).
Если функция Дх) аналитична в каждой точке области С, то говорят, что она аналитична в области С. Функция 11х) называется локально интегрируелной в области С., если она интегрируема (по Риману) в любой ограниченной подобласти С' С С. Заметим, что в этом случае функция фх) ~ тоже локально интегрируема в С. Будем говорить, что поверхность Я аринадлезкит классу С'", р > > 1, осли в некоторой окрестности каждой точки хо б 5 она определяется уравнением ьзл,(х) = О, причем ягас)ьзе,(х) у: 0 и ш„(х) 6 С" в упомянутой окрестности.
Поверхность 5 называется кусочно гладкой, если она состоит из конечного числа поверхностей класса С'. Впредь мы будем рассматривать только области с кусочно гладкими границами; через и = и, обозначим единичный вектор внешнеи в" КК Некоторые понятии и предложения 17 нормали к границе Я в точке х К Я. Пусть точка хо лежит на кусочно гладкой поверхности Я. Окрестностью точки хо на поверхности 5 называется та связная тесть множества 5 П П(хо, Н), которая содержит точку хо. 3. Пространство непрерывных функций С(Т). Пусть Т --.
замкнутое множество, например замыкание С или граница 5 области С. Обозначим через С(Т) класс непрерывных и ограниченных на Т функций. Снабдим класс С(Т) нормой, полоокив (Лс — — впр ).((х)/, 1 е С(Т). иЕТ Легко проверяются следующие свойства, характеризующие норллу: а) уд 'Ис > О;.
р 2'ус = О тогда и только тогда, когда 2' = О; б) рЛ(рс = )Л! )Яс, где Л любое коллплексное число,. в) ~~У+ у~~с < !Яс + цдус (неравенство треугольника). Вообще всякое линейное множество, снабженное нормой, обладающей свойствами а)- в), называется линейным нормированным пространством. Таким образом, С(Т) линейное нормированное пространство. Последовательность функций дя, й = 1,2....., из С(Т) называется сходящейся к функции )' к С(Т) в пространстве С(Т) (пишут: дя — л У, и — л оо, в С(Т)), если удя — П, -л О, й — л со. Очевидно, сходимость 7я -о 7", к -о оо в С(т) эквивалента равномерной сходимости последовательности функций 7л(х), 7р = 1,2,..., к функции 7'(х) на множестве Т: ул(х) =2 У(х), к — л ~, х к Т.
Последовательность функций ря, й = 1, 2,..., из С(Т), называется сходящейся в себе в С(Т), если Цл — 7ру — о О, й -о со., р о оо. Следующее предложение выражает свойство полноты пространства С (Т) . Ткогкмл Коши. Длл того чпюбьл последовательность функиий иэ С(Т) сходилась в С(Т), необходимо и достаточно, чтобы она сходилась в себе в С(Т). Справедливы сяедующие полезные предложения. Ткогкмл Вгйкгштглссл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
