Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тгогвмя. Если оператор Ь зрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие разя»»иным собственным значениям, ортоеональны. Доклзятнльство. Пусть Ло собственное значение, а ио соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора Ь, Аио = Лоио. Умножая скалярно это равенство на ио, получим (Еио,ио) =(Лоио,ио) = Ло(ио,ио)Ло()ио()з = Ло.
(14) Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Ь~, » ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (13) Ло . вещественное (неотрицательное) число. Докажем, что любые собственные функпии и» и из, соответствующие различным собственным значениям Л» и Лз, ортогональны. Действительно, из соотношений Еиг = Лгиг, Еи» вЂ” — Л»и», из вещественности Л» и Лг и из эрмитовости оператора Ь полу чаем цепочку равенств Л»(и», иг) = (Л»и», иа) = (Еи», иг) = (и», Еиг) = (и».
Лгаз) = Лг(и»., иг), т е. Л»(и», иг) = Лг(и», .ия). Отсюда, поскольку Л» ~ Ла, вы~екав~, что скалярное произведение (и», иг) равно нули>. Теорема доказана. Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора Е не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные 32 Глк й Паетаноека краевых задач математической физики значения: Лы Лз,.,., повторя Лл столько раз, какова его кратность.
Соответствующие собственные функции обозначим через им из,,.. так, чтобы каждому собственному значению соответствовала толь- ко одна собственная функция иь: Тиь =Люил, й =1,2,. (Ьию и,,) = Лл (иы и;,) = Ллбьь Все сказанное в пп. 5 — 7, 10 о пространстве Пз(С) с очевидными изменениями справедливо и для его дискретного аналога 12, и тем более для всех конечномерных подпространств пространства )з. 8 1.2. Основные уравнения математической физики Математическое описание многих физических процессов приводит к дифференциальным и интегральным уравнениям или даже к интегро-дифференциальным уравнениям. Весьма широкий класс физических процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка (см.
2 1.1, п. 8) а, (х) + ~ ~Ь,(х) + с(х)и = Р1,х). да и " ди дх;дх, * дх; из =л ,=1 В этом параграфе ллы рассмотрим характерные физические процессы, сводящиеся к различным краевым задачам для дифференциальных уравнений. 1. Уравнение колебаний. Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных объемов) и физики (электромагнитные колебания) описываются уравнением колебаний вида дзи р, = Йгг(рягае1и) — е1и+ Е(х,1), д1 (2) Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонслизации Шмидта (ель п.
6). При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По теорелее из п. 10 собственные функции, соответствующие различным собственным значениялц ортогональны. Таким образом, если система собственных функций (илу эрмитова оператора Ь не более чем счетна, то се можно выбрать ортонормальной: 31.2. Основнмс уравнения математической физики 33 где неизвестная функция и(х, 1) зависит от п (и = 1, 2, 3) пространственных координат л = (яы лз,..., х„) и времени 1, коэффициенты р, р и «1 определяются свойствами среды, где происходит колебательный процесс; свободный член Р(я,с) выражает интенсивность внешнего возмущения.
В уравнении (2) в соответствии с определением операторов с!!ч и дгас! д !' дич с!!т(ррасри) = ~ — ! р — ) . ди, дл« «=1 Продемонстрируем вывод уравнения (2) на прил«ере малых поперечных колебаний струны. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть в плоскости (х, и) струна совершает малые поперечные колебания около своего положения равновесия, совпадающего с осью х. Величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в момент времени 1 обозначим через и(х,1), так что и = и(я,1) есть уравнение струны в момент времени а Ограничиваясь рассмотрением лишь малых колебаний струны, мы будем пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с си о = ди,едя. Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение Т(л,1) в точке х в момент времени 1 направлено по касательной к струне в точке я (рис.
3). Любой участок струны (а, Ь) после откло- и!х л «-ссг Рис. 3 пения от положения равновесия в рамках нашего приближения не изменит своей длины; 3 В.О. Виалииирои, В.В. Жврииои 34 Гл. й Постановка краеоых задом математической физики и, следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяжения ~Т(х,е)~ будет оставаться постоянной, не зависящей от х и 1, ~Т(х,е) ~ = То. Обозначим через Р(х,е) плотность внешних сил, действун>щих на отру.ну. в точке х в момент времени 1 и направленных перпендикулярно оси х в плоскости (х,и). Наконец, пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х, так что приближенно р(х)Ьх масса элемента струны (х,х+ Ьх). Составим уравнение движения струны. На ее элемент (х,х + + гах) действуют силы натяжения Т(х+ глх,г), — Т(х,1) (снн рис.3) и внешняя сила, сумма которых согласно законам Ньютона должна быть равна произведению массы этого элемента на его ускорение,.
так что Т(х + Ьхч г) — Т(хт 1) + Г(х, 1) гхх 1 = р Ьх дги(х,е) где единичный вектор 3 направлен вдоль оси и. Проектируя это век- торное равенство на ось и, на основании всего сказанного получим равенство Твейпо~ — Твейпо~ + Г(х, Е) Ьх = р(х) Лх, ' . (3) дг дег Но в рамках нашего приближения сего ди сйпо = Фяо = —, 1+13го а потому из (3) имеем дги(х,е) „1 ~ди(х+ Ьх,1) ди(х,е)1 откуда при Ьх — > О сяедует равенство дги дги р, =Т„, +К (4) дги г дги дег дхг + з' (5) Это и есть уравнение малых поперечных колебаний струны. При Р у': ф О колебания струны называются вынужденными, а при Т = О--- свободными.
Если плотность р постоянна, р(х) = р,то уравнение колебаний струны принимает вид в 1.г. Основные уравнения математической физики 35 где 1' = Е(р, а аг = То) р .-- постоянная. Уравнение (5) мы будем также называть одномерным волновым уравнением. Уравнение вида (2) описывает также малые продольные колебани упругого стпероиня ди д Т ди! рЯ вЂ”,, = — ! ЕБ — ) +Е(х,!), д!г дх дх (6) где о(х) площадь поперечного сечения стержня и Е(х) модуль Юнга в точке т. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать смещения и и скорости ие в начальный момент времени 1,нач льные условия) и режим на концах (граничные условил). ПРимеРы ГРаиичыых услОВий.
а) Если конец хо струны или стержня движется по закону р(!), то и), „= !!®. б) Если на правый конец хо струны действует заданная сила Р(е), то ди .М дх ь .„т, ' Действительно, в атом случае ди Тв — — То сйп о~, = о!се). .=ео в) Если правый конец хо стержня закреплен у.пруго и о козффициент жестокости закрепления, то ди Š— +ои(е л =О дх дги 7'дги дги ! р — =т, ! —,, + —.)+е.
д!г ~ д~г д г( (7) Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны аг + + е аг ф д!г '! дхз дл/ в соответствии с законом Гука. Аналогично выводится уравнение. малыд поперечнь!х колебаний мембраны 36 Гл.б Постановка краевых задач матсмаспичсской физики будем называть двумерными волновым уравнением. Трехмерное волновое уравнение дзи (дзи дои дои'1 (9) описывает процессы распространения звука в однородной среде и электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому. уравнению удовлетворяют плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также составляющие напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие потенциалы (см.
и. 5 ниже). Мы будем записывать волновые уравнения (5), (8) и (9) единой формулой (10) П,и=), где П„волновой оператор (операгпор Даламбера), д' П„= —,, — азЬ (П = П~), доз ст — — оператор,Лапласа, дг д да — + . +...+ 2. Уравнение диффузии. Пропессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются следующим общим уравнением диффузии: ди р — = с11ч(рдгас1 и) — ум+ Г(х, 1). д1 (11) ди Ю~ = / Й вЂ” ЙЯЛ1 = ~ (к8гас1и, п) <1ЯЫ, дп уя Выведем уравнение распространения итало. Обозначим через и(х,1) температуру среды в точке х = (хыха,хз) в момент времени 1. Считая среду изотропной, обозначим через р(х), с(х) и г(х) соответственно ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности в точке х. Обозначим через г (х, 1) интенсивность источников тепла в точке х в момент времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
