Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(4) Обозначая теперь через ась новые коэффициенты при вторых произ- водньсх~ ам(у) = ~ ао(х) дус дуь ьс=с дх;, дх, ' (5) перепишем уравнение (4) в виде (1): дгй аеь(у) +Ф(у,й,ягас)й) =О. ь,с=с (б) Так как Р ф- О, то в некоторой окрестности можно выразить переменные х через переменные у: х = х(у). Обозначим и(х(у)) = й(у); тогда й(у(х)) = и(х). Имеем 44 Гл. й Постановка краевых задач математической физики Фиксируем точку хо и обозначим Уо = у(хо), ап = ПУ~(хо)/Пхь Тогда форллула (5) в точке хо запишется в виде ап(уо) = ~ а з(хо)Ю оьз. щ=л (7) Полученная формула преобразования коэффициентов ам в точке хо совпадает с форлоулой преобразования коэффициентов квадратичной формы а ~ алз'лехе)Р~Р1 йз'=! (8) при неособенном линейном преобразования р, = ~ онео, с$ел(ап) ~ О, !=1 (9) переводящем форму (8) форму ~ аи(уо)йлдл.
од=1 (10) т 9~ — ~ 9~, т<п. 1=1 !=о, 1 (11) Кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм целые числа г и т не зависят от преобразования (9). Это позволяет классифицировать дифференциальные уравнения (1) в зависимости от значений, принимаемых коэффициентами ам в точке хо. Если в квадратичной форме (11) т = и и все слагаемые одного знака (т.е. либо т = т, либо г = О), то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в точке хо, если т = и, но имеются слагаемые разных знаков (т. е. 1 < г < а — 1), то уравнение (1) Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке хо с помошью замены переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8) с помощью неособенного линейного преобразования (9). В курсе линейной алгебры (ель ~4)) доказывается, что всегда существует неособенное преобразование (9), при котором квадратичная форма (8) принимает следующий канонический вид: б1.3.
КлаееиФикацил квазилинеаных диф4еренциальных уравнений 45 гиперботьчеекого типа в тпочке хо (при т = 1 или т = п — 1 --- нормально-гиперболического типа в точке хо); наконец, если т < п, то уравнение (1) параболического типа в точке хо (при т = п — 1 и т = 1 или т = и — 1 нормально-т~араболического типа в точке хо). Подчеркнем, что приведенная классификация зависит от точки то, так как числа т и т зависят от хо. Например, уравнение Три- коми дги дхи у —,+ —, =О дхг дуг (12) смевоанного пеипа: при у < О гиперболического типа, при у > > О . эллиптического типа, а при у = О параболического типа.
Пусть коэффициенты а;. в уравнении (1) постоянны, и пусть преобразование (9) приводит квадратичную формулу (8) к каноническому виду (11). Тогда линейная замена независимых переменных у~ = ~~ овх, 1=1 преобразует уравнение (1) к следующему. каноническому виду: дг '" дгй — ", +Ф(у,й,3 Ой) =О.
ш1 ' с=. — 1 ду' дуг (13) х| — — т вш д сов ~р, хв = тсовд., хг = твшдвш р., б) Цилиндрические (полярные) координаты; х1 = тсовуо, хг = т в1пув, хз = х, 1 д / д У 1 д' д' Ь = — — ~ т — ) + — —. + —.. тдт ~, дт) т'дра дха' (1т) Пвимвгы. Уравнение Лапласа эллиптического типа, волновое уравнение гиперболического типа и уравнение теплопроводности . †.параболического типа. 2. Выражение оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах.
Для иллюстрации преобразований из п. 1 приведем выражение трехмерного оператора Лапласа 1х (и = = 3, а, = бо, Ф = О) в сферических и цилиндрических координатах. а) Сферические координаты: 46 Гл. й Постановка краевых задач математической физики 3. Характеристические поверхности (характеристики). Пусть функция се(х), х = (хыхз,...,х„), и > 2, класса С' такова, что на поверхности щ(х) = О, ягас1аз(х) ф О и дщ(х) доз(х) О дх, дх, аз=1 (16) Поверхность аг(1 — го) — (х — хо~ = О, (17) называемая характеристическим конусом с вершиной в точке (хо,йо), есть характеристика волнового уравРвс. й пения.
Характеристический конус (17) является границеи конусов Г+(хо:1о) = (а(И вЂ” 1о) > !х — хо~), Г (хо,1о) = (а(1 — 1о) < ~х — хо~), называемых соо~ветственно конусами будущего и прошлого с верши- ной в точке (хо,1о) (рис. 5). Тогда поверхность оз(х) = О называется характеристической поверхностью (или характеристикой) квазилинейного дифференциального уравнения (Ц, а уравнение (16) харпктерислпическим уравнением. При и. = 2 характеристическая поверхность называется характерисзвической линией. Предпояожим, что каждая поверхность семейства щ(х) — С = = О, а < С < Ь, есть характеристика уравнения (1). Поскольку на каждой характеристике игасуаз ф О, то это семейство заполняет некоторуку достаточно малую область С., через каждую точку которой проходит одна и только одна характеристика.
Пусть ео е Пз(С). Тогда если в преобразовании (2) взять дс = оз(х), то в силу (5) и (16) коэффициент аы обратится в нуль в соответствующей области С. Поэтому знание одного или нескольких семейств характеристик дифференциального уравнения дает возможность привести это уравнение к более простому виду. Прими ы хягяктп истик. а) Волновое уравнение (см. (10) из а 1.2).
Его характеристическое уравнение имеет вид у1.У. Классификация нвазилинлиных дсц44еранциальных уралненид 47 Обозначим Гх = Гх(0,0). Волновое уравнение имеет и другое семейство характеристических поверхностей семейство касательных плоскостей к характеристическим конусам (18) а1 + (х,Ь) = С, где Ь = (Ьс,Ьз,...,Ь„), Ьь и С --- любые вещественные числа, причем )Ь! = 1. б) Уравнение теплопроводности (см. (13) из ~ 1.2). Его характеристиками, очевидно, является семейство плоскостей 1 = С.
в) Уравнение Пуассона (см. (18) из у 1.2). Оно не имеет (вещественных) характеристик, ибо из характеристического уравнения следует 8тас1ы = 0 на ы = О, что невозможно. 4. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными. В п. 1 рассмотрен способ приведения квазилинойного дифференциального уравнения второго порлдка к каноническому. виду в каждой отдельной точке, где задано зто уравнение. В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (13) в какой- либо окрестности данной точки? Чтобы такое приведение можно было сделать для любого уравнения, необходимо, чтобы число условий ась=О, 1фй, 1,1=1,2,...,п, асс =есасс, 1=2,3,...,п, ими:О, где е = О, ~1, не превосходило числа неизвестных функций ус, 1 = =1,2,...,п; п(п — 1) +и — 1(п, 2 т.е.п<2, Покажем, что для и = 2 (и, очевидно, для и = 1) такое приведение всегда можно сделать.
Рассдсотрим квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными д'и д'и д'и / ди ди1 а —,+2Ь, +с —,+Ф(х,у,и,—,— ) =О, (19) дхз дхду дуз дх ду 48 Гл. 1. Поетаноока краеоых задал математической физики ~ = Я(х,у), и = п(х,у), (,О е Сз, В ( ' 1 ф О, (20) з,х у/ приведем уравнение (19) к виду дай — д й д'й — е' дй дйЛ где в силу (5) д8 д„'~ д8 дц а — — + Ь вЂ” — + — — -ь с — —, дхдх дхдр дрдх дрдр' (22) Потребуем, чтобы функции ~(х,у) и п(х,у) обращали в нуль коэффициенты а и с, т. е. в силу (22) удовлетворяли уравнениям 2 -~- с — = О, + с — = О. (23) Так как а ф О, то уравнения (23) эквивалентны линейным уравнениям — + Лз(х,д) — = О, (24) дд дд дх ' ду дб д5 — + Л1(х, у) — = О, дх ' др где Ь вЂ” ме1 Ь+ Л 1= 2— а а 2 Гй а а' = Ьа — ас. (25) причем предполагаем, что коэффициенты и, Ь и с принадлежат классу Са в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль одновременно.
Для определенности можно считать, что а у: О в этой окрестности. Действительно, в противном случае может оказаться, что с ф О, Но тогда, меняя местами х и у, получим уравнение, у которого а ф. О. Если же а и с обращаются в нуль одновременно в какой- либо точке, то Ь ф О в окрестности этой точки. В таком случае после деления на 2Ь уравнение (19) уже будет иметь канонический вид (26). Переходя к новым переменным Э ЕЗ. Классификации кваэилинейных дифференциальных уравнений 49 Согласно классификапии, изложенной в п. 1, возможны следующие три типа уравнений (19).
1. Гиперболический тип, если д > О. П. Параболический тип, если д = О. П1. Эллиптический тип, если д ( О. Рассмотрим отдельно все три случая. 1. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ТИР!, д ) О. В этом случае уравнение (19) приводится к каноническому виду да д(д +Ф=О (26) Отметим, что замена переменных р = с + ц, о = о — ц приводит уравнение (19) к другому, эквивалентному, каноническому виду да и дги — — — +Ф =О. др дп (27) с(х,у) = С,, тр(х, у) = Сг (28) определяют два селлейства характеристик уравнения (19). Для дальнейшего нам понадобится следующая .ЛЕММа.
Пусть функция ы(х, у) класса Сг такова, что ды1ду ф у- 'О. Длл того чтобы семейство кривых ы(х, у) = С давало харакхперистики уравнения (19), необходимо и достаточно, чтобы выражение ы(х,у) = С было общим интегралом одного иэ обыкновенных дифференциальных уравнений — = Ль(х,у), — = Лг(х,у). ду ду (29) дх дх Уравнения (29) называются дифференциальными уравнениями характеристик данного уравнения (19).
Л В. С. Вводил~ирои, В. Н. Жориков Для доказательства представления (26) установим существование хотя бы одной пары решений с, ц уравнений (24), удовлетворяющих УсловиЯм (20). Отметим, что Лы Лг Е Сэ. Установим сначала свлзь этих решений с характеристиками уравнения (19). Предположим, что существуют решения уравнений (24) такие, что 8гадц ~ О и 8гадц у- .О в рассматриваемой окрестности. Тогда по определению (см.
п. 3) кривые 50 Гл. б Постонооко кроеомх задач математическое физики Доклзлтгльство, В силу теоремы о неявной функции уравнение со(х,у) = С при условии дш/ду ~ О определяет неявную функцию у = з1х, С), причем Далее, согласно определению (16) функция со(х, у) — С является характеристикой уравнения (19), если справедливо уравнение (ЗО) а — +2Ь вЂ” — +с — =О, т.е. если /суд Лз суд а [ — ) — 2Ь вЂ” + с = О, ),й ) 1х т.е. если с1со Ь х к/оЬ вЂ” ас с1х т.е. когда р(х, С) есть решение либо уравнения с1д/с1х = Лз(х,у), либо уравнения дд/с1х = Лз(х, д). Последнее условие и означает, что выражение со(х, у) = С есть общий интеграл одного из указанных дифференциальных уравнений. На основании доказанной лем- О=С мы общие интегралы уравнений (29): ((х,у) = С1 и П(х, у) = Сз такие, что б,у б С', д~/ду р'= О и ду/ду ф О, определяют два семейства характеристик уравненил (19).Как доказывается в общей теории обыкновенных дифференциальных у равнений (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
