Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 12
Текст из файла (страница 12)
13.) Рнс. !3 Рис. Ы Доклзлтильство. Пусть Х(х) характеристическая функция множества Сзе (т.е. УЛх) = 1, х Е Сте и 1(х) = О, х ф Ст,). Тогда функция цтх) = ~ХЬ) Мх — и) Ь Гл. П. Обобщенные функции 70 обладает требуемыми свойствами. Действительно, так как ат, Е 'О, О < от (х), вр1ат. = Ст„ / ат (х) бх = 1.
то (рис. 14) т1(х) = ате(х — У) ттд с С (К"); О < Ч(х) < 1 от (х — У) «У Далее, если;е е С,е и ~х — д~ < е, то д = х+ у — х с Сое, и, стало быть, Х(У) = 1; если же х ф Сз, и ~х — У~ < г, то У = х + У вЂ” х ф Са„ и, стало быть, Х(у) = О. Поэтому Ч(х) = Х(у)ьте(х У) ад = ттттент 1. ате(х — У) т1У = / ьте(С) ате = 1, х Е Се, птл:ет О.
ые(х — у) е(у = О, х ~ Сз,. тдх;ет Лемма доказана. Из доказанной леммы вытекает Слгдствиг.. Если область С ограничена и С' с С, то суитествуетп функция тт Е е (С) такая, чтпо О < тт < 1 и д(х) = 1, х Е С'. Можно показать, что запас основных функций достаточно велик. Например, множество ет(С) плотно в Са(С) (см й1.1, п.5). 3. Пространство обобщенных функций ьт'.
Обобщенной функцией называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций е. В соответствии с обозначениями ~ 1.1, п. 8 значение функционала (обобщенной функции) т на основной функции ео будем записывать (г, ут). Обобщенную функцию г будем также формально записывать в виде 7(х), подразумеваемая под х аргумент основных функций, на которые действует функционал т. Расшифруем определение обобщенной функции т". 1) Обобщенная функция т" есть функционал на Ю, т, е, каждой основной функции ьо Е Ю сопоставляется (комплексное) число (7, ут).
2) Обобщенная функция 1 есть линейный функционал на тт, т. е. если ут, ф Е тт и Л, р --. комплексные числа, то 3) Обобщенная функция т" есть непрерывный функционал на тт, т. е. если ать — ~ О в 1т, й — т оо, то (т, ать) — т О, к — т со. Е д.а Основные и обобщенные функции 71 Обозначим через Р' = '0'[И") множество всех обобщенных функций. Множество П' линейное, если линейную комбинацию Лу" +дд обобщенных функций 7' и д определить как функционал, действующий по формуле (Ч + дд, р) = ЛУ, р) + р[у, р), р й а. Проверим, что функционал Л5 + ид линейный и непрерывный на Р, т.
е. принадлежит Ю'. Действительно, если о и /5 комплексные числа, то по определению [Лу+ пд,од+,'5ф) = Л[7",ар+ дф) + р[д, ар+ ~5ф) = = о[Л[5рр) + п(длр)] +,3[Л[Урф) 5- р(д, ф)] = = о[ЛТ' + рд, р) + ЯЛ) + пд, ф), и потому этот функционал линейный. Непрерывность его следует из непрерывности функционалов 5 и д: если рь — ь 0 в Р, й — ь оо, то [Лу" +рд,рь) = Л[у,рь) + п[д,.ьоь) -+ О, й — ь оо. Определим сходимость в Р' как слабую сходимость последовательности функционалов [см.
~ 1.1, п.8): последовательность обобщенных функций ~м ую... из Ю' сходится к обобщенной фу.нкции 7" й Е '0', если для любой р Е Ю числовая последовательность [5ю р) сходится к (7', р), к — ь со. В этом случае мы будем писать 5ь — ь 5' в Р', к — ь — ь со. Линейное множество '0' с введенной в нем сходимостью называется пространством обоби1енных функций Р'. Злмнчанин. Линейные функционалы на с не обязательно должны быть непрерывными на 'О. Однако в явном виде не построено ни одного линейного разрывного функционала на '0; можно только теоретически доказать их существование, используя аксиому выбора. Весьма важным является свойство полноты пространства с Тногнмл.
Пусть последовательность ~муз,... иэ Р' такова, что для каждой р Е Р числовая последовательность [5ю р) сходится при к -+ со. Тоеда функционал 7' на Ю, определенный равенством [у,р) = 1цп [Уь,р), рЕ'О, также является линейным и непрерывным на 'О, т, е, 5 Е '0'. Мы не будем доказывать эту теорему. Заинтересованный читатель может найти доказательство сс в книге [1]. Гл. П. Обобгценные функции 72 4.
Носитель обобщенной функции. Обобщенные функции, вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить об обращении в нуль обобшснной функции в области. Говорлт, что обобщенная функция 7" равна нулю в области С, если (7', 1о) = О для всех ус е '0(с). этот факт будем записывать так; 7" = О, х Е С, или Д(х) = О, х к С. В соответствии с этим определением обобщенные функции 7" и д называются равными в обласп1и С, если 1 — д = О, х Е С; при этом пишем: 1 = д, х Е С. В частности, обобщенные функции 7" и д называются равныии (1 = д), если (1, со) = = (д, р) для всех ~р Е Й". Пусть обобщенная функция 7' равна нулю в области С. Тогда она, очевидно, равна нулю и в окрестности каждой точки этой области. Справедливо и обратное.
ЛРММЛ. Если обобщеннал функция Г равна нулю в окрсстногти каждой точки области С, то она равна нулю во всей области С. Доклзлткльство. Сделанное выше замечание позволяет нам считать окрестности шарами. Нужно доказать, что ((, ус) = О для всех уо Е с (С). Фиксируем какукь либо функцию 1о из '0(С).
Компакт врС со содержится в области С. Пох2 этому по лемме Гейне — Бореля (см. 5 1.1, п. 1) врс уо можно покрыть конечным числом шаров П(хг, ть), Й = = 1, 2,..., Ьс(р), в которых 7" равна Рис. 15 нулю. Возьмем уменьшенные шары П(хь, т~~), тс < 11., все сщс покрывающие аргус (рис. 15). По следствию из леммы из п.2 существуют основные функции Ьь(х) такие, что Ьь(х) = 1, х Е 1~'(хь, гь), вР1 Ьс С П(хь1ть).
Положим Ь(х) = ~ Ьь(х), ась(х) = 1о(х) 1м(х) Ь(х) По построению Ь(х) > 1 в окрестности вр1~р. Поэтому соь Е 72(Н(хе,'ть)), р(х) = ~ ~рь(х). Гл. П. Обобщенные функции 5. Регулярные обобщенные функции. Простейшим примером обобщенной функции является функционал, порождаемый локально интегрируемой в К" функцией 1(х) (см. у 1.1, и. 1) (~гр) = / 1(х)~р(х) дх., ~р Е ь'. Из линейности интеграла следует линейность этого функционала: (3) ()',Л|р+ пф) = / ~(х)(Л,р(х) + 1цй(х)) дх = — 1 1 (х) ~р(х) дх + 1ь 1 йх)Ф(х) дх = Л(У, Ф + рУ, ф), (1,ьгь) = / Ях)~рь(х) дх ь О, й — ь оо, если рь — ь О в Ю, к — > со. Таким образом, функционал (3) определяет обобщенную функцию из ьг.
Обобщенные функции, определяемые локально интегрируемыми в й" функциями по формуле (3), называются регулярными обобиценными функциями. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями. Далее нам понадобится следуюпхгя Лкгнмл (Дюбуа-Реймон). Длл нного чтобы локально интегрируемая в С функция ((х) обращалась в нуль в области С в смысле обобиьенных функций, необходимо и достаточно, чтобы ((х) = О в С. Доклзятндьство. Достаточность условия очевидна.
Необходимость условия следует из основной леммы вариационного исчисления (см. (5)). Всякая локально интегрируемая функция в Б!" определяет по формуле (3) регулярную обобщенную функцию. Из леммы ДюбуаРеймона следует, что всякая регулярная обобщенная функция определяется единственной локально интегрируемой в К" функцией. Следовательно, между локально интегрируемыми в Иь' функциями и регулярными обобщенными функциями сучцествует взаимно однозначное соответствие.
Поэтому мы будем отождествлять локально интегрируемую функцию 1(х) и порождаемую ею по формуле (3) обобщенную функпию функционал (1, ьо). а из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла следует его непрерывность на ьь. в" с.б Основные и вбвбщеьиък 4ункции 75 Из леммы Дюбуа-Реймона вытекает также, что для непрерывной функции 7(х) носитель в смысле определения из 5 1.1, п.
2 совпадаот с носителем порождаемой ею регулярной обобщенной функции (3) в смысле определения из п. 4. Наконец, отметим, что если последовательность (ь(х), й = = 1,2,..., локально интегрируемых функций в ~а сходится равномерно к функпии 1(х) на каждом компакте, то она сходится к 7(х) в Р ~ ( в ) Действительно, для любой р е с имеем Уыр) = ~Б(, )р(х)с) -в ~ах)Фх)ах = У,р), 1 — > Будем говорить, что обобщенная функция 7" прпиадлелсиш классу Сг(С), 7" Е Сл(С), если в области С она совпадает с функцией уп класса С"(С) (см. 5 1.1, .п.2), т.е. для любой р Е '0(С) (~, р) = / ~н(х)р(х) с(т. Если к тому же 7п б Се(С), то будем говорить, что 7" принадлежит классу С" (С) (см. 51.1, .п.2). 6. Сингулярные обобщенные функции.
В соответствии с определением, данным в предыдущем пункте, сингулярную функцию нельзя отождествить ни с какой локально интегрируемой функцией. Простейшим примером сингулярной обобщенной функции является д-функция Дирака (см. п. 1) (б, р) =р(0), ряЮ. Очевидно, б е 'О', д(х) = О, х ф О, так что зрс д = (0). Докажем, что д -.- сингулярная обобщенная функция. Пусть,. напротив, существует локально интегрируемая в К" функция 7(х) такая, что для любой функции р Е 'св (4) Х(х)р(х) сЬ = р(0). Так как х|р(х) е 'О, если р е с, то из (4) вытекает 7(х)хгр(х) Их = [хгр(х)) ~, = 0 = (х17', р) при всех р Е 'О; здесь х~ первая координата х.
Таким образом, локально интегрируемая в Ж" функция х11(х) равна нулю в смысле Гл. П. Обобщенн»»а функц«»и ш«(х) » б(х) в 'П', е — » +О. (5) Действительно, по определению сходимости в 'ь»' соотношение (5) эквивалентно равенству 1пп / ш,(х)»:(х) «1х = «е(0), д е « . »-»«-0 / По непрерывности функции у»(х) для любого и > 0 существует та- кое ее > О, что ~~р(х) — р(0) ~ < и, коль скоро ~х~ < ее. Отсюда, пользуясь свойствами «шапочки» ш,(х), при всех е < ее получаем ы,(х)«р(х) «1х — с»(0) < / «з»(х)~р(х) — с»(0)~ 6х < «1 / ш,(х) «1х = О, что и утверждалось. Естественным обобщением б-функции является простой слой на поверхности. Пусть Я кусочно гладкая поверхность и р(х) непрерывнвл функция, определенная на Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
