Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Зададим обобщеннун> функцию рбя правилом (рбл.,ф = / р(х'ур(х) ИЯ, 'д с '«-». Очевидно, рбз с Р', дбя(х) = О, х ф Я, так что яр«рдя с Я. Обобщенная функция ддя называется ««ростым слоем на поверхности Я с плотностью р. Замечание. Локаяьно интегрируемые функции и 6-функции описывают распределения (плотности) масс, зарядов, сил и т. д. (см. п. 1).
Позтому обобщенные функции называются также распределения»«и (Л. Шварц). Если,. например, обобщенная функция 1" есть плотность л«асс или зарядов, то выражение (1, 1) есть полная масса или заряд соответственно (если 1 имеет смысл на функции, тождественно равной 1; зта функция не принадлежит Ю); в частности, (б, Ц = 1 и («,1) = /,«'(х)дх, есяи « . (абсолютно) интегрируемая функция на К". обобщенных функций. По лемме Дюбуа-Рейх«она х» 1'(х) = О, и, стало быть, у(х) = О.
Но это противоречит равенству (4). Полученное противоречие доказывает сингулярность 6-функции. Пусть ш,(х) —.- «шапочка» (см. п. 2). Докажем, что Зги. Основные и обоби(енные функции 77 7. Формулы Сохоцкого. Введем линейный функционал Р—, 1 действующий по формуле ( ( ) (/И*)с, (/ / ) е(е( р Е ~(й'). с 1 '1, )' (ое(х), )'~ (оь(0) + х(Р'„(Я) с!х < х сн < / (((о'„ф(с!х < 2Л шах ~(дь(х)~ -о О, й — > оо. -и (о(<Л Таким образом, Р! Е '0'. Обобщенная функция 7> —, совпадает (в смысле п.5) с функ- 1 пней 17Х при х ~ О. Она называется конечной чаев(ью или главным значением интеграла от 1((х. Установим теперь равенство 1пп / с!х = — ссх(со(0) + Ур / — с!х., (д Е 17.
(6) Р Их) 7 ((з(х) то / х+ге ,/ х Действительно, если (д(х) = 0 при ~х~ > Л, то (р(х), рп х — се 1пп / с!х = !пп /,, (со(х) с!х = « — (-~-О х + се - — (~-О н хх + еа сн сн = ((о(0) 1пп /,, с!х + !цп /, ((о(х) — (о(0)) с1Х = о — ств ССХ-+Ез е — (-~-О НХ +Е 17 фн (д(х) — (о(0) = — 2с(о(0) !!пс атс1я — + / с!х = е — с ->- О -н х = — ск(о(0) + Ур / с!х. ф р(х) Соотношение (6) означает, что существует предел последовательности 1((х+ се) в с(, е -о +О, который мы обозначим 11(х + сО), Докажем непрерывность этого функционала на сз. Пусть (рь — ~ 0 в 1з, й -о оо, т, е, (ре(т) = О, (х~ > Л и д" (С(ь(х):7 О, к — о оо.
Тогда Гл. П. Обобщсннмс фуннвон 78 и этот предел равен — Ыб(х) + Р—. Итак, 1 1 . 1 = — 1яд(х) + Р—. х+10 х (7) Аналогично, 1 1 = 1яб(х) + Р—. х — 10 х (7') Формулы (7) и (7') называются формулами Сохонкого (1873 г.). Они широко используются, например, в квантовой физике. 8. Линейная замена переменных в обобщенных функциях. Пусть 1(х) -- локально интегрируемая в йн функция и х = Ау+ + 6, с1ег А У': О, неособенное линейное преобразование пространства К" на себя. Тогда для любой уо Е г полу.чим (1(Ау+ 6)гр(у)) = / У(Ау+ 6)р(у) Иу = 1 1 / 1(х) 1о(А У(х — д)) сЬ = (Д(х),1о[А У(х — 6)]). Это равенство мы и примем за определение обобщенной функции 1" (Ау + 6) для любой 1(х) Е Ю': (4 '(х — 6)) (1"(Ау+ 6),1о) = 1", ' г ' ", уо Е Ю.
(8) (1(Ау), уо) = (1, д(А'х)); если А подобие (с отражением при с ( О), А = с1, с ф О и 6= О, то (((су),~р) = ((,:р ( — )); а если А = 1, то (1(у+ Ь),1о) = (1, р(х — д)). Так как операция уо(х) — ~ уо(А У(х — 6)) линейна и непрерывна из ь в Ю (см. п. 2), то функционал 1'(Ау+ 6), определяемый правой частью равенства (8), принадлежит гл'. В частности, если А вращение, т. е. А' = А ', и Ь = О, то йдн. Оеноеньле и обобщенные фуницни 79 Обобщенная функция 7"(х+ Ь) называется сдвигом обобщенной функции 7" (х) на вектор Ь. Например, б(х — хо) сдвиг б(х) на вектор -хо действует по формуле (б(х — хо), р) = (б, у(х + хо)) = ~р(хо).
Изложенное позволяет определить сферически-симлеетричныс, центрально-симметричные, однородные, периодические, лоренц-инвариантные и т. п. обобщенные функции. Например, обобшеннал функция 7' называется инвариаитной относительно группы Лоренца (лоренц-инвариантной), если Д(Ах) = = 7" (х) для всех преобразований А из группы Лоренца (т. е.
для всех линейных преобразований А в Н", сохраняющих квадратичную форму х, — х~ — ... — х„). г х зл Непосредственно из определения (8) вытекает, что операция линейной замены переменных линейна и непрерывна из Р' в Р'. (Л7" + рд)(Ау+ Ь) = Л7"(Ау+ Ь) + рд(Ау + Ь), 7, д Е Р'; ль(Ау+ Ь) з 0 в Ю', Ь вЂ” > со, если Д -л 0 в Р', й -+ оо.
9. Умножение обобщенных функций. Пусть Дх) -- локально интегрируемая в В" функция и а(х) б С (К"). Тогда для любой ~р Е Х> справедливо равенство (а),9ь) = / а(х)7(х)р(х) Йх = (7',ау). Это равенство мы и приллелл за определение произведения ау обобщенной функции 7" Е 'Р и бесконечно дифференцируемой функции а; (9) (а /, р) = (7, а~р), ьь Е 'лл. Так как операция умножения на функцию о Е С (л") линейна и непрерывна из Р в л (см. п.2), то функционал аг, определяемый правой частью равенства (9), принадлежит 'П'.
Из определения (9) вытекает, что операция умножения на функцию а е С' '(ел") линейна и непрерывна из лз' в 'лл'. а(Л7'+ рд) = Л(аД + р(ад), 7", д 6 Р'; а1ь — ~ О в Ю', Ь вЂ” ~ сю, если 7ь — л О в лг, й -+ оо. Гл. П. Обобн»еннь»с фуннц»»н 80 Если у Е '0', то справедливо равенство (10) У=И, где»1 . любая функция класса С' (Кн), равная 1 в окрестности носителя у.
Действительно, для любой х Е Ю носители у' и (1 — »1)е» не имеют общих точек, а потому в силу. (2) У вЂ” пУ» р) = (У, (1 — и) р) = О. Пвимн ы. а) а(х)д(х) = а(0)6(х), так как при всех р Е ь (аб, е») = (д, ах) = а(0),р(0) = (а(0)блд). б) х'Р— = 1, так как при всех р Е ь (К~ ) Возникает вопрос: нельзя ли определить произведение любых обобщенных функций твк, чтобы это произведение опять было обобщенной функцией" .Отметим, что произведение двух локально интегрируемых функций не обязательно должно быть локально интегрируемым (например, (~х~ »~х)з = ~х~ » в К»).
Подобное имеет место и для обобщенных функции: сЕ Шварц показал, что на множестве всех обобщенных функций нельзя определить произведение., которое было бы ассоциативно и коммутативно. Действительно, если бы оно существовало, то, пользуясь примерами а) и б), мы имели бы противоречивую цепочку. равенств: 0 = ОР— = (хб(х)) Р— = й(х) ) х Р†) = б(х).
1 Г Чтобы определить однозначно произведение обобщенных функций у и ЬЬ достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, следующими свойствами: насколько 1»нерегулярна» в окрестности (произвольной) точки, настолько у должна быть «регулярной» в окрестности этой точки, и наоборот. Например, естественно считать д(х — а)б(х — Ь) = О, если а ф Ь, и а(х~6(х) = а(0)6(х), если функция а(х) нопрерывна в окрестности точки О.
1'х.й. Дцф4еренц(лглввание обвблценных пункций 81 10. Упражнения. а) Доказать, что функции Е-хх/(Ле) 2л((яее 1, х — 61п —, 7Гх Е 1 е х ялл! ллхг е , хл+ г' стремятся к д(х) в Р' при е -+ +О. б) Доказать предельные соотношения в 1л' при 1 -+ +ос; Еллн е — л 2ялб(х), л О, х — 00 х — лО елхл — лхл -+ О, -+ -2ялб1х), х + лО ' х + лО Х~е™ -+ О, ла > О, Я(х)е™ вЂ” Л гб1х). в) Доказать., что ряд аьб1х — 1) я= — лх сходится в лх' при любых аю г) Доказать, что бл 1х) — л О в лх', Л вЂ” + оо.
д) Доказать, что Р~ов 1лх — л 0 в ех'1Кл ), я — ~ со, где е) Пусть о Е 'лх111н), о > О, ~ о(х) дх = 1. Доказать, что е "о(4 -л б(х) в Р',. е-л+О. ~ег ж) Доказать равенство 1а))1х+ )л) = а(х+ 6)г"ах+6), а и С (Бн), л" Е ли лйй"), 1( Е К". 8 2.2. Дифференцирование обобщенных функций 6 В. О. Вхииииирои, В.
В. Жирииои Обобщенные функции обладают рядом удобных свойств. Например, при надлежащем обобщении понятия производной любая обобщенная функция оказьлвается бесконечно дифференцируемой, сходящиеся ряды из обобщенных функций можно почленно дифференцировать любое число раз. Ган П. Обобоиннме фуннеен 82 1. Производные обобщенной функции. Пусть 2" Е С" (Кн) (см. 81.1, и.
2). Тогда при всех о, ~о~ < р, и р Е 0 справедлива формула интегрирования по частям (д У, р) = / д У(х) р( ) д = = ( — Ц~"' / у(х)д ~р(х) е1х = ( — Ц' '(Х, д р). Это равенство мы и примем за определение (обобщенной) производ- ной д у обобщенной функции у Е Р': (д" Р,ео) = ( — Ц~ ~((,д"р), ее Е е .
(Ц Проверим, что д у Е Р'. Действительно, поскольку у Е Ю', то функционал дну, определяемый правой частью равенства (Ц, линейный: (д (,Лд+ обе) = ( — Ц' '((,д"(Лео+уМ)) = ( — Ц~ ~(у Лд ер+ Иди = = Л( — Ц~ '(1, д" р) + ~ ( — Ци(1, д ~) = Л(д" 1, р) + 1 (д урр), и непрсрывныи: (д (, ~рь) = ( — Ц~ '((, д"рь) — е О, 1. — ~ оо, если ~рн — у О в ее, й — у оо, поскольку в этом случае и д" рь -+ О в е, й — ~ — ~ со (см.
8 2.1, п.2). В частности, при у" = б равенство (Ц принимает вид Обозначим через (дну(х) ) классическую производную (там, где она существует). Из определения обобщенной производной вытекает, что если обобщеннал функция (' принадлежит С" (С), то д'у = (д" у(х)), х Е С, ~а~ < р (в смысле определений из 82.1, пп.4,5). 2. Свойства обобщенных производных. Операции дифференцирования обобщенных функций обладают следующими свойствами. «х.ец ди4»4ерениллрование обобщенных уднниий 83 а) Операция дифференцирования д" линейна и непрерывна из ел в елл д" (Л(+ рд) = Лд" (+ 1«д~д, у',д Е '0'; д )ь — » О в ел', й — ~ оо, если 1» — ~ О в ел', й — ~ оо.
(д" Б, лв) = ( — Ц' '((ыд лло) — » О, й -+ оо, что и означает, что д'* (ь — ~ 0 в ел, Й вЂ” » оо (см. 8 2.1, п. 3). Линейность доказывается аналогично. В частности если иле(х) «шапочка» (см. 8 2.1,п.2),то д ше(х) -» д о(х) в хе, е -в О. Соотношение (2) вытекает из соотношения (б) из 8 2.1. (2) Рнс. 16 Например, ил,'(х) — » о (х) в ллл, е -+ +О. Последовательность ил,'(х), е — ~ +О, изображена на рис. 16. б) Каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. 6* Докажем непрерывность.
По определению производной при всех лло Е 'лл имеем Гл. П. Обобщенные функции а1(д 1) = дз(д11) = дц'ОУ, Х е ~' (3) В самом деле, для любой ~р Е '0 получаем (дцл1У, д) = У,а,а,д) = (а,(азУ),д) = (д,~а,У),д), откуда и вытекают равенства (3) (сьь ~ 2.1). И вообще, а+"~=а"(о"у) =ад(а у). (4) г) Если )' е Р' и а е С' '(К"), то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения а)' (см. 3 2.1, п.9), Например, д(ау) да д) = — 1 + а —. д, о, а.,' (5) Действительно, если р любая основная функция, то д(ау) дд ду д(ар) да а,р + ~р = а + ~у откуда и вытекает равенство (5) (см. з 2.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
