Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 15
Текст из файла (страница 15)
= г~ -'~ <о) = о, г~--ц<о) = 1,. есть решение уравнения ЛЕ = б1г). Действительно, пользуясь формулой (14) и начальными условиями,получаем д'® = очаг'<б), ..., д~--'~«) = ®у)гон '~<с), до"~<с) =4~1)+д(1)г~ ~(2), откуда ЬГ = 6Яйг+ б1г) = б1с), что и утверждъюсь.
5. Примеры, п 3 2. а) Многомерным обобщением обобщенной функции — 0'(и) является двойной слои на поверхности. и Пусть Я кусочно гладкая двухсторонняя поверхность,п нормаль к Я т (рис. 20) и и(и) --- непрерывная функция, заданная на Я. Зададим обобщенную функцию Рис. 20 ††(ибн) правилом д дп — — (нбя).,;а) = / Р(и) с)Б, а Е сс д 1 дус(л) дп ' ' /в дп Очевидно, д д — — (цбв) е с', ярс~ — — (нбя)1 с Я. дп дп ЗлыгчАяиг,.
Справедливо более общее утверждение: всякая обобщенная функция, носитель которой есть точка, представляется в виде конечной линейной комбинации б-функции и ее производных в этой точке (см. 9 2.4, п. 4). Отметим, что в классе локально интегрируемых функций уравнение (19) имеет единственное решение и = О. е) Проверим, что функция с'(с) = 011)г(с), где г(1) решение однородного дифференциального у.равнения Бе.х. Дифферениироеание обобщенных фунниий уз Обобщенная функция — — (оБл) называется двойным слоем на д дп поверхности 5 с плотностью о(х), ориентированным по нормали п.
Эта обобщенная функция описывает плотность зарлдов, соответствующую распределению диполей на поверхности Я с поверхностной плотностью момента р(х) и ориентированных вдоль нормали п на Я (ср. п.4, а)). б) Пусть область С имеет кусочно гладкую границу Я и функция ! принадлежит С' (С) ! ! С' (С~ ), где Се — — Ко '1С. Тогда дф ( дф ) ~ -!- [,([лсое(пх,)Бл, 1 = 1,2,...,п, (22) дх; дх, где п = пх внешняя нормаль к Я и [1) е скачок функции ф при переходе извне через поверхность Бй !пп ф(х ) — !нн ф(х ) = [1[ (х), х Е 5. и — ехмеп1 х'- хл'ео Для вывода формулы (22) используем формулу Грина и определение простого слоя (см.
3 2. 1, п. 6): ( — ", )=-[ =",) =-1 '2 "= = ! е[ 1Уо(х)йх+ / [Дл(х)сое(пх;)оо(х)йд= Г (дУ( )1 дхе Я вЂ” + [у] соа(пх;)Бл, уо в) Пусть в условиях примера б) функция г принадлежит Сз(С) П О дв(С1). Тогда ) + — ([Дл сое(пх;)Бя) + ~~ — ~ сов(пх,)Бл. дх,дх, дх;дхо дхб х 'е (23) Для вывода формулы (23) продиффсрснцируем равенство (22) 1дф(х) ! по х и при дифференцировании функпии ~ ~ воспользуемся у дх, опять формулой (22): + соя(пхб)Бл.
уаь Гб Обб)бщснньбс функи)би Полагая в [23) г = ~ и суммируя по б = 1б 2,..., и, получаем = (Ьб) б б ))б)ге ( .)бл) б б [[ 1[ . ( *,)б,. б=) [24) Принимая во внимание равенства — [[7[ сов[ил,)бл) = — [[7] бн), д д б.=б [25) *б)б =[ — [ б, [26) перепишем формулу [24) в виде Ь~ = ~ЬГ)+ ~ — ~ б ~- — [[Днб~). [дГ) д '[д ~, д (27) Докажем формулу (25).
При всех е) б Р имеем ))б), ) т)б,), б 1 = — б [)б) . ( *,)б,, ~~ и ~ г ~ Л Ч ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ б д )б дбл б=.) б=) д и — / [Г[чсоа[плб) ЙЯ = — / [7[а~~ соа[пт,)ЙБ = б=б л дуб н длб )=1 =-)' )))г — „-= [б— ,))б)гб ),,) Формула [26) устанавливается аналогично. Полагая в формуле [27) 7 = 0 при и Е См получим блу' = (блу) — — бя — — [~ба). дГ д дп дп [28) 1' )б бб - б бб) б* = 1' [б бл - б бб) бб [29) Если С ограниченная область, то формула [29) справедлива для всех ))б е д [С).
Это есть вторая формула Грина, записанная в терминах обобшенных функций. Применяя [28) к основной функции бе, получим эту формулу в обычной записи; ,1 2.2. Дий14ереииирооаиие обобиееииых 49икиий 95 г) Пусть п = 2. Вычислим Ь !п ~х(. Функция 1п ~х~ локатьно интегрирусма в 112. Если х ф О, то 1п ~х~ Е С', а поэтому до 1п)х( = !до 1п/х)) (см п 1) Следовательно, переходя к полярным координатам, получаем (сьь 9 1.3, п. 2, 6)) 1 д / д1пг'1 Ь!и)х( = — — ~ 1 ) = О., х ф О. (30) Рис. 21 :д 1, дг) Пусть ео б е, ври р С Гн. В этом случае получим следующее: (Ь!п~х~, ео) = ! 1и!х~,Ь~р(х)е1х = !пп / 1п~х~Ьд(х)е1х. 2 11и Š— ~О 1 <~ ~<н 1Ь1п (х), ~р) = =.:.~~„,„'* * (~ Г)(" й- "."!*')-1= е<~х~<Я Зв = 1пп — 1п ~х( — + х — ) ь1Я = 1пп — ) еееБ = е — ее /~ 1, д!х! )х! ) е — ее е ~ч l! Р = 1пп ~ — / ~1о(х) — 1о(0)) е1Я+ 2яфО) = 2л.~р(0) = (2яб,~р). е — ~о е я Таким образом, Ь1п(х~ = 2яб(х), п = 2.
(31) Аналогично, при п > 3 получим 1 Ь = -(и — 2)пиб(х),. )Х!и-2 (32) где пи -- площадь поверхности единичной сферы в К", п12 пи= е15= Г(11/2) ' Применяя формулу (29) при у" = 1п !х! и С = 1е < )х! < ЕЦ (рис. 21) и учитывая 130), получим Гж П. Обобщенные фуннцььн (33) (~+йя) ьььь/ 1 И = еь"~*~Л вЂ” '+2)бкгабе*"~*1ь агади+ — 'Ле"! ~+ —" (х) ~, ' )х)/ (х) (х! ьь 2й 2й й-' йз '1 = — 4гьем~ '~ьбьх) + ~ — + н — — + — ) е'~'*ь = — 4пьЫх)ь ~ и и- и И) что и утверждалось. е) Пусть Е(х,б) = д(1) / И' ~ ехр (2ах/х1)" 1.
4а'-'1.) Докажем, что — — а~аьЕ = б(х 1). дд д1 (35) Функция Е(х, С) локально интегрируема в 2"о ь, поскольку Е = О, 1<0; Е>0,1>О,иприт>0 1'ьь*ь)'= /'* ( — '! ))'*=П вЂ” ) ' "'ь =' (36) Г --- эйлеров интеграл (гамма-функция), Г(я) = ~ е '1' 'ььь'. уо д) Проверим, что функции е'"~*~ ,— ьн)н~ 4я/х/ ' 4х/х! при п = 3 удовлетворяют уравнению ь)ьд+ 1с~с = б(х).
(34) Действительно, так как функции сов й~х~ и ~х~ ь ьйпй~х~ бесконечно дифференцируемы, то при дифференцировании функции ~х~ ье'"~ьь~ можно пользоваться формулой Лейбница (сьь. п. 2, г)). Учитывая равенства ху д м, йхб н~ ~ ь'~ (2ьй э м д' И !хГ' дх И ' ~И и пользуясь формулой (32) при и = 3, получаем у 2.9. Диф4еренцллроеоние обобщенных функций 97 Если 1 > О, то д Е С'"', а поэтому дд 17 )х)г и') д1 (, 4аг1г 21,е дхг 1,4аейг 2аг1) с 1х)г п л) 4аг1г 21/ — — д = О. дд х; дхл 2агй г — — а'гас = (,, — — )д— д1 [,4аг1г 21) (37) Пустыр Е е (Кит~).
Учитывая равенство (37), получаем — — а гла, уг = — с, — + а глуг = — 1л ~ и ь, о ('— " .л "и,) и* и = = — 11ш) ) д(х,1) 1 — +аггее е1хе11 = 7ду .-.,/, ) ~д = ° . ~ /еь, )ль, )е*л 1 /( — — 'ве)ле..й~ = = 1пп 1 е(х,е)~р(х, 0) е1х+!пп 1 Г(х, Яр(х,е) — фх,.О)) е1х = е — ло / и — лв / = 1пп / д(х,е)у(х,.О) е1х, (38) так как в силу (36) Г(х,вар(х,е) — уг(х,О)) е1х < Ке / д(х,е) е1х = Ке. Докажем теперь соотношение Действительно, пусть р(х) Е Р. Тогда, учитывая, что с(х,б)(уо(х) — р(0)) е1х <,, / ехр ~ — —,~ ~х~ е1х ~, ~г ) (4яаг1)и7г,l ( 4аг1) 7 В. С.
Вводил~ирои, В. В. Жвриллов д(х,1) =,, ехр ~ — ~ — 7 6(х) в ех'(14"), 1-+ +О. (4наг1)и7г ~ 4аг1) (30) Гл. ГГ. Обобщснныо фуннняи 2Ка„нГа Г ннГ2 / о в силу (36) получаем при с -о +О соотношение (39): (Е(х,1), р) = / Е(х,б)р(х) йх = = р(0) ~ Е(х, Г) дх + / Е(х, б) [р(х) — д(0)) дх — ~ р(0) = (б, р). Теперь формула (35) следует из соотношений (38) и (39). Отметим, что предельное соотношение (39) справедливо и на ограничен- ных функциях, непрерывных в точке О. ! ж) Пусть х = х1 и 1 Е1(х,с) = — У(аà — !х/). 2а Докажем, что 0 П„Е~ = б(х,Х).
(40) Риа 22 Функция Е1 локально интегри- руема на Гхо и обращается в нуль вне замыкания конуса будущего Г (рис. 22). Пусть р Е 22. Тогда (П, Е„р) = (Е„П„р) = / Е, (, ) П„р(, ) =,' 1 1 ',"; . ",11"'",,,см™= 1 Г д р (х ~х~/а) а Г Гдр(аГ б) др( аГ 1) ) 2а„/ д1 2„/о ~ дх дх 1 /' др(х, ~х~/а) а /' др(аб,б) 2а ./о дГ 2,/о дх х-~- -/' й = 1 Г др ( — х, ~х~/а) а Г~ др( — а1, Г) 2 /о дб 2/о д 1 / ~ др(а1, 1) др(ас, Г) 2 х.р. Ди4)4еренц1ерооание обобщенных Яуннций 99 1 1" ~ др( — а), 1) др( — ае, '1) е)е — — / ' е)1 = 1 1" е)р(а),1) 1 1" Йр( — а$, 1) 2 /~ е)1 2 /~ а)е 1 1 р(о, о) + р(о, о) (а, д), 1 1е 1 Л 1 — бв„— й ] — 1 — Ьб в '0', т — й О.
(41) 1а хп-1 . ,~ 2п Действительно, для всех 1р Е 'е2 при х -+ 0 имеем с р(о) бв — —,б, 1ру] = / уо(х) 1)в — —. апх"+1 1.2 1 Р 2( ~(|р(тв) — 1р(0)] е)в = .„' Л-- вй + — ~ ей ее + 0(х~) еЬ вЂ” > д1р(0) 12 д 1р(0) й=1 дх1,. 2 дхйдхе йо=1 1 1 -+ —,2)еуо(0) = — (Лб, 1р), 2п 2п так как 2 ап вйеЬ = О, ~ вйв;еЬ =бы ~ ейеЬ = — ййо — 1 уя — 1 и поскольк) вй еЬ (в1 + вх + + вп) е)в 1Ь вЂ” '..
=-'/' — П 1л.— " Пйв., П ' величина а„определена в г). 6. оепражнении. а) Доказать, что е) 1 — !п]х] = Р—, е)х е) 1 1 е) 1, 1 — Р— = — Р—,, — = хб'(х) — Р—, е)х х хз е)ххх10 х2 ' что и доказывает равенство (40). з) Пусть бв„- простой слой на сфере ]х] = х (см. 22.1, и. 6). Докажем соотношение (формулу Пипетти) Ган П. Обобщенна(е функ)гнн 100 где ( ( ) „1 ~*(*) — и~) б) Показать, что стоящие справа обобщенные функции являются общими решениями в гг(1Кг ) уравнений хи =1, и = ~~ сьб(х — Ьт), 1в1п х)и = О.
где ~( ) — ~Р) г,, )" ~(*) „, Обратим внимание на то, что классические решения дифференциальных уравнений первого порядка содержат лишь одну произвольную постоянную. в) Доказать равенство а1х)б'(х) = — а'(0)б1х) + а10)б')х), а Е С )2~). г) Доказать: если 1 Е гг' и 11х) = О, х < хе, то существует единственная первообразнвя 1( г), обращающаяся в нуль при х < хе. д) Доказать равенство (д~г"))х+ Ь) = д~)'1х+ 6), г" е х)', (( е кн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
