Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Обобщенные функции 120 Из этих определений непосредственно вытекает, что о' с '0' и из сходимости в о' следует сходимость в 0'. Действительно, если 1 е Я', то 1 е 0', так как '0 с о и из сходи- мости в 0 следует сходимость в б 1см.
п. 1). Далее, если 1ь -э О, к — 1 оо, в Я', то ф, ~з) — 1 О, 1 — ~ оо, при всех д из Р, и, стало быть, 1ь — ~ О, й -+ — 1 со, в '0'. Ткогкмл 1Л. П1варц). Длл того чепобы линейный функционал 1" на о принадлежал о' 1т. е. был непрерывным на о), необходимо и достаточно, 'чтобы существовали число С > О и целое число р > О такие, что (3) НУгр) ~ ( С ~~ р~~„ длл любой р е о, где ДОКЛЗЛтБЛЬСтВО. ДООТЛтОЧНОСть. Пусть линейный функционал 1 на о' удовлетворяет неравенству 13) при некоторых С > О и р > О. Докажем, что 1 б о'. Пусть:рь -+ О, Й -+ со, в о. Тогда ~~1оь~~„— 1 — 1 О, Й вЂ” у оо, а потому (фарое)! ( С ((~рь)(„— у О, к — > со. Это и значит, что 1 непрерывный функционал на о'.
НЕОБХОДИМОСТЬ. Пусть 1 Б о~. Докажем, что существуют числа С > О и р > О такие, что для любой у е о справедливо неравенство 13). Пусть, напротив, указанных чисел С и р не существует. Тогда найдется последовательность функций ры,рх,... из Я таких, что 14) ИУ,Фь)! > й~~уьй Последовательность фу.нкций сходится к О в 5, ибо при л > )о( и к > ф! Отсюда и из непрерывности функционала 1 на Я следует, что 11, фь) — 1 О, 1с — у оо. С другой стороны, неравенство 14) дает о" 24.
Обобтисинььс фуиииии лсдлсниого роста 121 Полученное противоречие доказывает теорему. Доказаннал теорема утверждает, что всякая обобщенная функция медленного роста непрерывна относитечьно некоторой нормы ~~. ~~„(или, как говорят, имеет конечный порядок).
3. Примеры обобщенных функций медленного роста. а) Если 1'1х) -- локально интегрируемая функция медленного роста на бесконечности,т.е. (Д~х)~(1+ ~х() о'итх ( оо при некотором т > О, то она определяет регуллрную обобщенную функцию медленного роста из Я' по формуле (3) из ч 2.1 (У, р) = / 11х)р(х) дх, д Е б. (э) Конечно, не всякая локально интегрируемая функция определлет обобщенную медленного роста, например, еи ~ Я'(Ж' ). С другой стороны, не всякая локально интегрируемая функция, принадлежащая У, имеет медленный рост.
Например, функцил (сов е')' = — ес тйп ес не является функцией медленного роста, но тем не менее задает обобщенную функцию медленного роста по формуле Исоа си) с р) = — / сове'р 1х) дх, р е Я. ту,р) = (1,т1р), р е Я, (6) где т1 Е Р и т1 = 1 в окрестности носителя 1. Действительно, линейный функционал (1, т1 р), стоящий в правой части равенства (6), непрерывен на о: если рь — т О, й — т оо, в о, то тттрь -+ О, к — т оо, в 'Р, и потому У %от) — т О й — ь со Злмгчлник. Почьзуясь теоремой Л. Шварца (см, п.2), .можно доказать, что всякая обобщенная функция из Я' является производной (в смысле обобщенных функций) от непрерывной функции медленного роста. Этим и объясняется название пространства Я'. б) Если 1 --- финитная обобщенная функция из Р', то она единственным образом продолжается на о как элемент из о' по фор- муле Гж П. 06общсннььв функции 122 Единственность продолжения функционала 7" на Я следует из плотности Ю в о (см.
п. 1). В частности, продолжение (6) не зависит от вспомогательной функции д. в) Если 7" б Я', то и каждая производная д'*7" принадлежит Я'. Действительно, поскольку операция дифференцирования д~р непрерывна из о в о (см. и. 1), то правая часть равенства (д У, ~д) =(-1)"У, д д) есть линейный непрерывный функционал на о (ср. 3 2.2, п. 1). г) Если ~ Е Я' и с1с1 А ~ О, то Д(Ад + Ь) Е 5'. В самом деле, поскольку операция преобразования р(А '(х — 6)) непрерывна иэ о' в о' (см. п. Ц, то правая часть равенства У(Ад+5) Ф = Л ) ~(А-'(* — 5)) '1 есть линейный непрерывный функционал на о (ср.
3 2.1, п. 8). д) Если ( Е о' и а Е Ом, то а~ е Я'. Действительно, поскольку операция умножения на функцию а б Е Ом непрерывна из о в о (см. п. 1), то правая часть равенства (пУ,~) = У,аФ есть линейный непрерывный функционал на о (ср. 3 2.1, п. 9). е) Так же, как и в я2.3, п. 1, определяется прямое произведение 7(и) д(у) обобщенных функций 7"(л) Е Я'(Б'.") и д(у) Е Я'(К"), причем 7(я) д(д) Е о'(Й" ь ). Все свойства прямого произведения, перечисленные в 3 2.3, п.
1, сохраняются и в этом случае, в частности, прямое произведение ассоциативно и коммутативно, а формула (10) из ~ 2.3 (7) справедлива при всех 1 с о'(11") и:р е Я(йв ~ ). ж) Как и в 12.3, п. 2, определяется свертка 7'* д обобщенных функций у,д Е о', причем все свойства свертки, перечисленные в ~ 2.3, п. 3, сохраняются.
В частности, свертка 7" я д обобщенной функции медленного роста 7 Е о' с финитной обобщенной функциеи д Е с' существует, 7" * д Е Я' и сохраняется представление (23) из 32.3 для всех д 6 Я. Множество обобщенных функций Я'„= Р'„П Я', где Р—. сверточная аягебра, определенная в ~ 2.3, п. 5, образует сверточную алгебру подалгсбру алгебры Р . ~у.д. ОььоььььЬенньье функции медленного роста .1"(в) = ~ С д Б(т). ьаь=в (8) Докязятельство.
Так как обобщенная функция )' имеет носитель (0), то 1 б Еь (ель. и. 3), и в силу (10) из з2.1 ь' = 11(йт)( при всех й > О, где 11(т) основная функция, равная 1 в окрестности точки 0 и равная 0 при ~т~ > 1. Пусть п = 1. По теореме Л. Шварца (см. п. 2) справедливо нера- венство ((и 1 ьр)! = )(У х ь1(Их)ьр)! < С ~(х 11фх)ьр(х)~~ ьр Е Я (9) при некоторых С > 0 и т > О, не зависящих от р, ььь и й. Положив ььь = = т + 1, получим оценку т 11(1"'т)ььо(ьс) ~~ = р (1 + Ф ) ~д ( ' 'т 11(~"' )р( )) ~ < ььь ЬеЬ<1ь'Й,~аЬ<т где Сь нс зависит от й. Отсюда, переходя в неравенстве (9) к пределу при Й вЂ” ь оо, приходим к выводу, что обобщенная функция 1 удовлетворяет уравнению т, 1у Следовательно, в силу формулы (20) нз е2.2 ьь имеет представление (8). Докажем единственность представления (8). Пусть 1(т) = ~ С' д" б(х) ЬаЬ=О другое представление 1; тогда (С, — С,')д 6(х) = О.
ЬаЬ=О Прильеняя это равенство к моному т, ф < т, получаем в 4. Структура обобщенных функций с точечным носителем. ТЕОРЕМА. Если носитель оеоеиценной функции 1 есть точка (0), то она ьо ивет единслпвенное. представление Гл. П. Обобо>енвь>а о>унии»и 124 т 0 = ~ [С, — С')(доб(х),хд) = (л~=е т [ — 1)'"'(С вЂ” С,',)[Б[х),д хб) = [ — 1)~~~>3! (Со — Сб),.
~а(=0 т.е. Сд = С!,. При и ) 1 доказательство аналогично. Теорема дока- зана. 32.5. Преобразование <Фурье обобщенных функций медленного роста Г[р][() = / р[х)еда б дх; интеграл справа определен для всех С Е К", поскольку р(х) абсолютно интегрируема на й". Функция Г[р][с) называется преобразованием ФурЬЕ функции р[Х). ОчЕвиднО, ГЦ[С) нЕпрЕрывна и ОграничЕна в К". Поскольку р(х) убывает на бесконечности быстрее лн>бой степени ]х] ', ее преобразование Фурье можно дифференцировать под знаком интеграла любое число раз: блГ[р][~) — ( [>х)" р[х)ЦС *> бх — Г[[1т)" л[х)]® [1) так что Г[р](с) е С"'[Но).
Далее, такими же свойствами обладает всякая производная д р, а потому интегрирование по частям дает Г[д~~р][С) = ~[д ор[х))еда*>йх = [ — >с)оГ[р][(). Наконец, из формул (1) и [2) получаем б.'дГ[р]Я = "'~"'ГР'(х р(х))Нс). [3) [2) Из равенства (3) вытекает, что при всех а и,В функции Сбд~ГЦ(~) равномерно ограничены по С на >Р: ]сад Г[р](с)] < / [д [х ~р(х))[сХх. [4) Замечательное свойство класса обобщенных функций медленного роста состоит в том, что на нем определено преобразование Фурье. 1. Преобразование Фурье основных функций из Я. Для основной функции р Е о положим [см.
[2]) уе.б. Преобразование Фурье обобщенных 4уннций 125 Это означает., что Р'Ц Е Я (см. 22.4, п. 1). Итак, преобразование Фурье переводит пространство д в себя. Отметим, что преобразование Фурье не переводит пространство основных функций ь в себл, поскольку преобразование Фурье финитной функции есть аналитическзл функция и, стало быть, не может быть финитной (см. [3]). Так как преобразование Фурье г'Ц основной функции 1о Е Я есть интегрируемая и непрерывно дифференцирусмая функция на К", то согласно общей теории преобразования Фурье (см. [2]) функция ~р восстанавливается по Г[уь] операцией обратного преобразования Фурье г' " р( ) = р 'Мр]Н ) = р'Т '[р]]( ) (5) где г' [щ](х) = / ьб(С)е ЦЯД1ь1С = Е[ф](-х) = — (2н)п / — (2я)н / у1( — с)ецас1ь1с = Е[уУ( — с)](х). (6) (2х)н / (2п)н Из формул (5) и (6) следует, что всякая функция уо е Я есть преобразование Фурье функции ф~ = г' '[1о] Е Б, ьо = г'[уь]. причем, если КЦ = О, то и уь = О.
Другими словами, преобразование Фурье г' взаимно однозначно отображает д на Я. Лнмма. Операция преобразования Фурье непрерывна из Я в Б. Докязятнльстно. Пусть ьзя — 1 О, к -+ оо, в Б. Применяя оценку (4) к функциям ьоя при данных о и,д, получим ]4дд.Е-[;,]Ы)] < / [дб(х-,ь(.))] ~х < < р ]д'(х р (х)Н1+[х])нт'[ /( ьен" з (1+]х])"+' откуда следует,что Ддд Е[ьрь]] =ц О, ( Е 14', й — 1 оо, т. е. г'[~ря] — 1 О, 1е — > оо, в Я (см. 2 2.4, п. 1).
Лемма доказана. Аналогичными своиствами обладает и операция обратного преобразования Фурье г' Гл. П. Обоби(енине функции 126 2. Преобразование Фурье обобщенных функций из о'. Пусть сначала 1(т) (абсолютно) интегрируемая функция на Б!". Тогда ее преобразование Фурье Г[У]Ю = ~ Пт)ейг *) бт, есть непрерывная, ограниченная в Кь функция, и, следовательно, оп- ределяет обобщенную функцию из о') (Г[У].,~) = ~ Р[7](Р) р(Р) <, Используя теорему о перемене порядка интегрирования (см. [2]), преобразуем последний интеграл: (' е(Л(()е(() е( = (' () Е( ) иь'*' еи) е(() е( = = 1' Л*) (1' е(() '* ь6() ь = 1' /( )е(е)(*)е*. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
