Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Действительно, в силу (23) при всех р Е '0 имеем 0*1 р) = УЬ) МЫ), у%Фу+О) = = (я«») «!В»(О«(« -оа) = = (л«) 1 ~е)«(«««)«е) = (л»), /«ь»«( — «)») где вспомогательная функция»1 Е е равна 1 в окрестности носителя 1х Замечая теперь, что функция р1х)уу(х — д) принадлежит е(Б!гв), и пользуясь равенством (10), получаем равенство (30): (1»«р,уо) = / ~р(х)®у),ф(х — у)) Йх = Я(д),у~(х — у)).,«р), .р Е 'О. Бесконечная дифференпируемость правой части равенства (30) устанавливается стандартным образом.
Пусть а»«(х) «шапочка» (см. ~ 2.1, п.2). Тогда бесконечно дифференцируемал функция У' х) = У * ° = У(д): =(х — уИ называется регу яризаиией обобщенной функции 1'. ге.Х Свертка обобщенньгх функций В 3 2.1, и. 6 было доказано, что ш, — у б(х), г — ~ +О в 0'. Отсюда, пользуясь непрерывностью свертки относительно го, (см. теорему из п. 4), получаем 1,(х) ь )(х) в 0', г — ~ +О. (31) Итак, всякая обобщенная функция есть слабый предел своих регуляризаций.
Пользулсь этим утверждением, установим более сильный результат. Тгоггма. Всякая обобщенная функция есть слабьгй предел основных функций, т, е. мнохеество 0 плотно в '0'. Доказаткльство. Пусть 1,(х) регуляризация у и ц„е — ~ — > +О, последовательность основных фу.нкций, равных 1 в шаре О'г ге. Тогда последовательность основных функций г1,(х)(,(х), г — у -ь +О, сходится к г' в '0', поскольку для любой че е '0 в силу (31) имеем 1шг (г1,)е, гР) = 1шг (У',, Ц,гР) = 1пп (1,, гР) = (1, Уе), что и утверждалось. Заынчлник. Из полноты пространства 0' (см. 3 2.1, п.3) вытекает обратное утверждение: всякий слабый предел локально интегрируемых функций есть обобщенная функция из '0'. Позтому теорию обобщенных функций можно строить, исходя из слабо сходящихся последовательностей обычных функций.
7. Ньютоновы потенциалы примеры сверток. а) Пусть р -- обобщенная функция из 0'(К"), п. = 2, 3, и 1 1 Рз = — * р, а = 3, 1з = 1п — * р, и = 2. (32) М~ ' ' И Тогда уо называется ньютоновым потенциалом (1гх называется также логарифмическим потенциалом) с плотностью р. Если р финитная обобщенная функция, то потенциаа г'„существует в '0' и удовлетворяет уравнению Пуассона (33) Л1га = — 2кр.
~11(з = — 4кр, Существование потенциала 1'ь следует из теоремы 1 из п.4. Пользуясь формулами (20) из п. 3 и (32) из ~ 2.2, заключаем, что, например, при и = 3 (1 1 1 Л1хе = Ь | — * ру) = Л вЂ” * р = — 4ггб * р = — йхр. ~, )х( у) )х! Гл. 11. Обобазенньье Фуннцпн 116 Аналогично разбирается случай и. = 2. б) Если р (абсолютно) интегрируемая функция в ограниченной области С с К" и р = 0 вне С, то потенциал Г„называется обьемнзам поппенппалом (Гз называется также позпенцаалом, площади). Объемный потенциал Г, - локально интегрируемая функция В К , причем Гз(х) = / 0у, Гз(х) = / р(у) 1п ду. (34) р(у) , р ./о ~х — у~ ' ' Ь ~х — у~ 1'з = * рбв, Цо1 ~х~ 1П = — — * — (идв), )х( дп Г =!и — * рбн, !о! И 1з = — 1п — * — 1ибя) П1 д.
(35) (36) называются соответственно поверхностными тзогпенппаламп пресного и двойного слоя с плотностями р и и. Поверхностные потенциалы 1~„и Г„-- локально интегрируемые функции в К", причем 1з 1х) = ' ддю Гз (х) = р(у11п ддю (37) (38) Докажем, например, формулу (38) для потенциала Гз! 1. Пользу;Ж ясь представлением (23) для свертки и определением двойного своя, получаем (Гз ', ) = - ~ †' * †.' (идя), ~) = % 3 — )х~ ~ д ° ' )— Эти представления вытекают из формулы (14) для свертки финитной интегрируемой функции р с локально интегрируемой функпиеи 1 ~х! (и = 3) и — 1п )х( (п = 2).
в) Пусть К ограниченная кусочно гладкая поверхность в Кз или ограниченная кусочно гладкая кривая в Кз с выбранным направлением нормали п на ней, а р и и — непрерывные функции на Я. Пусть рбв и ††(ибв) соответственно простой и двойной д дп слои на д с поверхностными плотностями р и и (сзк 3 2.1, п.6 и ~ 2.2, п. 5, а)). Порождаемые ими ньютоновы потенциалы бд.Х Свертка обобцееннмх функций 117 Уд 1 = — [ — ( 'бл(уИ . — О(у)р(у+ л) [ дп [с[ — — (ибь (у)), у(у) —, во(у + с) =/., >»й [ /'[~"'~['" =/.. ».-"./~."'*,"*": = — =г ~' д 1 ( ( д 1 и(у) цв(х) — Мхе(Я„= / ео(х) / и(у) ЙЯ„Йх = б(х1) ... б(хн).
дхл ... дхн б) Доказать; яр([1(х) д(у)) = врс/ х врсд. в) Доказать: для того чтобы обобщенная функция /(х) не зависела от х„ необходимо и достаточно, чтобы — = О. де дх г) Доказать; для того чтобы обобщенная функция ((х) не зависела от х;, необходимо и достаточно, чтобы она была инвариантной относительно всех сдвигов по х;.
д) Доказать: вр1(1 * д) С (х: х = у+ х, у Е арсу, х Е вред). е) Доказать: если обобщенная функция / не зависит от х,, то таким же свойством обладает и свертка ( * д. (Указание: использовать в) или г).) ж) Пользуясь е), доказать: если свертка / в 1 существует, то она совпадает с постоянной. з) Проверить равенства: 0(х) . 1 ., 1) Л */в — Хн-в Л,(х) х е а > О Г(а) 1 ( хх1 2) / * Хз = У ., „, У (х) = ,.
р 1 - , 1, 1 а 3) У- * Б = Х. в: /.(х) = — , „ а ) О. а)О; для любой ео Е ех, что и требовалось доказать. Дифференцирование под знаком интеграла здесь обеспечивается теоремой из в 1. 1, п. 4, а перемена порядка интегрирования законна (см. [2)). 8. Упражнения. а) Доказать равенство Гл. П. Обоболеняььа фднкцпи 118 и) Доказать, что (.(б Лб)я]-л =.((б Лб)-л]ь = '(') ь-л л* (и — 1)! где * 1~ = 1* ... ьу (Й раз). к) Пользуясь формулой (29), показать, что функция в1п ха /' д'(С) и(х) = ( ) ( с)л есть решение интегрального уравнения Абеля сК = д(х), д(0) = О, д е С'(х > 0), 0 < о < 1.
Г и® о (х с) л) Доказать равенство е"1 ь еььд = е~~() * д), 1, д Е 1Л м) Доказать: если 1 Е '0'(К~ ), 1 ь 1о Е Р' при всех ~о Е '0(х > 0), то 1 е Р„. н) Обозначим через б' пространство финитных обобщенных функций со сходимостью 1"ь — л О, Й вЂ” л оо, в б', если: 1) 1ь -ь 0 в 'Р', 2) существует В > 0 такое, что вр1 ул С Гп при всех х = 1, 2,...
Доказать теорему: для того чтобы оператор Л, действующий из б' в Ю', представлялся в виде свертки Лу' = д ь 1, где д Е Р', необходимо и достаточно, чтобы он был линейным и непрерывныль из б' в '0' и коммутировал с операцией сдвига (см. п.З, г)). При этом элемент д единственный и д = Ьд. 8 2.4. Обобщенные функции медленного роста Одним из мощных средств решения задач математической физики является метод преобразования Фурье. Естественным образом преобразование Фурье действует на пространстве обобщенных функппй мсдленноео роста, к изучению которых мы приступаем.
1. Пространство основных функций о. Отнесем к множеству основных функций о' = Я(Кь) все функции класса С "(Рп), убывающие при (х( — ь оо вместе со всеми производными быстрее любой степени (х( л. Сходимость в о определим следующим образом; ~24. Обобьысннмс функции мсдлснного роста последовательность функций рь, ргь.,, из с сходится к функции р Е б о, рь -1 р,к -1 сс, в с, если для всех о и р' х' д~ьрь(х):1 х да р(х), х Е Ни, Й вЂ” у сс. (1) Очевидно, 5 линейное пространство. Легко проверить, что ьг С Я и из сходимости в ьг следует сходимость в Я.
Однако Б не совпадает с сь. Например, функция с * принадлежит с', но не принадлежит 'О. Тем не менее, Р плотно в Я, т. е. для любой ьр Е Я найдется последовательность ря Е 'О, й = 1, 2,..., такая, что рь — 1 ьр, к — 1 сю, в Я. Действи тельно, последовательность ьрь (х) = ьр(х) у( х ) Е с, й = 1, 2,..., К где ь1 Е Р и ь1(х) = 1, ~х~ < 1, сходится к ьр в Я. Операции дифференцирования д" р(х) и неособенной замены переменных р(лу + б) непрерывны из с в с'. Это вытекает из определения сходимости в 5. С друтой стороны, умножение на бесконечно дифференцируемую функцию может вывести за пределы множества Б, например, а, с е 'е' =1ьро'.
Обозначим через Ом множество всех функций а Е С (К" ), растущих на бесконечности вместе со всеми производными нс быстрее полинома: )д а(х)~ < С (1 + ~х~)ть"ь. (2) Операция умножения на функцию а Е Ом непрерывна из Б в 5. Действительно, из неравенства (2) вытекает: если ьр Е Я, то аьр Е Е с', и если ьрь — 1 О, к — 1 ос, в с, то при всех о и д х' да(а(х)ьрь(х)):1 О, х Е Й", й — 1 сс, т. е, арь — 1 О, й — 1 сю, в Я. 2. Пространство обобщенных функций медленного роста Я'. Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций Я.
Обозначим через 8' = Я'(И"ь) множество всех обобщенных функций медленного роста. Очевидно, с' — линейное множество (ср. ((2.1, п. 3). Сходимость в Я' определим как слабую сходимость последовательности функционалов: последовательность обобщенных функций уь, уз,... из 5' схоДитсЯ к обобщенной фУнкции 1 Е Я' (пишем: уя — 1 1, й — 1 ос, в Яь), если ((ы р) — 1 (1, р), й — 1 ос, для любой ьр Е Я. Линейное множество 5' с введенной таким образом сходимостыо называется нространстсом обобщсннььх функций медленного роста 5'. Гл. П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
