Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 22
Текст из файла (страница 22)
НаПрИМЕр, раЗЛИЧНЫМИ рЕШЕНИяМИ ураВ- нения сХ = 1 являются обобщенные функции 1 1 1 8+ 10 С вЂ” 10 отличающиеся друг от друга на выражение вида б(~) (см. формулы Сохоцкого (7) и (7') из 0 2.1). Если функция локального интегрируема в К, то она (точ- 1 и нее, определяемый ею регулярный функционал) является решением в о уравнения (9).
Если жс функция не является локаяьно инс 1 тегрируемой в К", то возникает нетривиальная задача о построении 10 В. С. Владимиров, В. В. жариссов Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Коиааа 146 в о' решения уравнения (9). Л. Хермандер доказал, что уравнение (9) всегда разрешимо в о', если Р(~) у: О. Обозначим через геб — какое-либо решение из о уравне- 1 Р(О ния (9). Построение этого решения существенно зависит от структуры нулей множества з'аГр и может быть проведено для каждого конкретного полинома Р. Таким образом, уравнение (6) всегда разрешимо в о', 1 г'(с') = гея Следовательно, всякий линейный дифференциальный оператор Ь(д) с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение медленного роста, и зто решение дается формулой б = Р ' гея = Р тек .
. (10) 3. Уравнения с правой частью. С помощью фундаментального решения б(т) оператора Л(д) можно построить решение уравнения (11) 1(д)н = 1(л) с произвольной правой частью 1. Точнее, справедлива следующая 'ТНОрЕЫа. Пусть 1" Е Р' такова, что свертка Е ь Г" существует в Ю'. Тогда решение уравнения (11) существует в Р' и даегпся форлаулой (12) Этпо решение единственно в классе тех обобщеннгая функций из '0', для которых сузцествует свертка с б. Доказатнльство.
Пользуясь формулой дифференцирования свертки (см. (20) из 6 2.3) и учитывая равенство (5), получим т т цала ° С= т ..а (а ° Ст (т ..а.а) ° а= ~щ=а )щ=-а = (А(д)Е) ь ( = б ь ( = г'. Поэтому формула и = Е * 1 действительно дает решение уравнения (11). Докажем единственность решения уравнения (11) в классе тех обобщенных функций из Ю', для которых свертка с Е существует в '0'.
147 (о.1. Фундаментальные ре«аения Для этого достаточно установить, что соответствующее однородное уравнение Х(д)и = О имеет только нулевое решение в этом классе (см. 3 1.1, п. 9). Но это действительно так,поскольку и = и *4 = а* (Х(д)Е) = (Цд)и) *Е = О. Теорема доказана. Слкдствик. Если и е е" и свертка и «Е существует в Ю', то справедливо ранено»пво и = (Ь(д)и) * Е. (13) Физический смысл решения и = Е а Х.
Представим источник Х(х) в виде «суммы» точечных источников Д~)4(х — Д) (см. замечание в конце 32.3, п.3); Х( ) = Х*б = 1ХЮ6(х — Од~. В силу равенства (5) каждый точечный источник Д~)б(х — с) опре- деляет влияние Х(с)Е(х — е). Поэтому решение и(х) = Е * Х = / Д~)Е(х — Я) Щ есть наложение (суперпозиции) этих влияний. 4. Метод спуска. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве переменных (х, 1) Е К" ь' д, — и = Х(х) . 5(1), Х я с '(К"), (14) д«дд 7 (ь,— ) =1.— «Л«)««Л«| д1) дИ и Хд(д) дифференциальные операторы по переменным х.
Пусть обобщенная функция и из е'(К"+» ) допускает продолжение на функции вида «р(х) . 1(1), где «р Е 'д(Ка), в следующем смысле: какова бы ни была послеДовательность основных фУнкций»1ь(1) Е е 'Е(К» ), а = 1, 2,..., сходящаяся к 1 в К' (см. 0 2.3, и. 2), существует предел (15) 1цп (и, «р(х)«1ь(1)) = (и, «р(х)1(1)) 10* Гл.
1П. Фундаментальное решение и задача Коиссс 148 (этот предел не зависит от последовательности (с!ь)). Обозначим функционал (15) через ио, (ио,~р) = (и,ср(зс)1!с)) = 1!пс (и,.ср(х)с!я(С)), р Е с (К"). (16) Очевидно, при всяком к. функционая (и,!з(х)с!я(с)) линейный и непрерывный на сз(К"), т.е. принадлежит Ю'(К"). Поэтому по теореме о полноте пространства сз'(Ксс) (сьс. 82.1, п.З) и предельный функционал ио принадлежит сзс (К' ) .
Приведем два примера на построение продолжения ио. а) Пусть и(х, 1) .--. функция такая, что функция / ~и(х,с) ~ дс локально интсгрируема в Кн. Тогда ио(х) локально интегрируемая функпия в К" и представляется интегралом (17) Действительно, в этом случае функция и(х, с) локально интегрируема в К"+с и предел (15) 1пп (и,ср(х)с!я!с)) = !пп / и(х, !)срСх)с!ь!с) с!хд! = = / и!х, с)срСх) с!хсзр = / ~р(х) / и(х,1) дсдх при всех сз Е с (Ко) существует.
Отсюда в силу (16) и вытекает формула (17). б) Пусть и = 11х) 511), где 1" Е сс'(К"). Тогда ио = 7', поскольку (иогр) = 1пп (и,ср(х)с!ь!1)) = 1сщ (~(х) бСс)„срСх)ця(с)) = !пп (;С Сх),~ср(х)с!я(0)) = 1„с',ср), ср е с (К"). творима. если решение и е сз'(к'т') уравнения (14) допускает продолжение (16), то обобщенная срункиия ио из Р'(К') рдовлеспворяет уравнению ьо(о)ио = У(се). (18) Докаэаткдьство, Пусть с!я(1), к = 1,2,..., последовательность функций из сс(Кс ), сходящаяся к 1 в Кс. Тогда при с7 = 1, 2,... ! У. О свундаменшааьные реаления последовательности функций дь(1) +(! (1) также сходятся к 1 в К~, и, следовательно, при всех р из Р'(К") (ср. 3 2.3, п. 3, в)) !шл (игр(х)л1„"'(1)) = 1цп (и,(р(х)(га(1) + л1„(1)])— — !!(и (и,~(р(х)(!ь(1)) = (ио,(р) — (ио,(р) = О.
(19) Учитывая (19), проверим, что обобщенная функция ио удовлетворяет уравнению (18): (То(д)ио, р) = (ио, Ьо( — д) р) = „!цп (и, Ао( — д)у((х)(!ь(1)) = = г (,л (-лм*(| а(+К(-1('л (-л(и*(нца() = а=( = !цп и, Ь -д,— — Лс(х)Ча(1) !1пл д д, — и, ул(х)ць(1) = 1пп (у(х) б(1), р(х)(1ь(1)) = !пп У(х) Ф(х)~Ь(0)) = (1 'р). Теорема доказана. Изложенный метод получения решения ио(х) уравнения (18) с и переменными через решение а(х, 1) уравнения (14) с и+ 1 переменными называется метаном спуска по переменной б Метод спуска особенно удобно использовать для построения фундаментальных решений.
Действительно, применяя доказанную теорему при у" = б(х),получим: если Е(х,1) фундаментальное решение оператора Е (д, — 1( — допускает продолжение Ео(х) вида (16), то обобщенная функция (со,(р) = (с,<(р(х) 1(1)), (р е л((!и"), (20) до(х) = / с'(х, 1) сй. (21) Фундаментальныс решения Го и Е удовлетворяют соотношению ) 1 ( ! ) ~ а ( ( х ) 1 ( ! ) ] есть фундаментальное решение оператора Ьо(д); в частности, ес- ли с(х,1) такова, что функция / ]с(х,1)]с!! локально интегрируе(иа в !ан,то 150 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Коим Физический смысл этой формулы состоит в том, что Ее(х) есть (не зависящее от 1) возмущение от источника 5(х) 1(1), сосредоточенного на оси 1 (ср, и.
3). 5. Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора с обыкновенными производными. Рассмотрим уравнение лаЕ ли †ьЕ= „„+О1 „1+...+ОаЕ=5(1). В 52.2, .п.4, е) было показано, что фундаментальное решение этого оператора выражается формулой Е(1) = В(у)г(1), где У(1) удовлетворяет однородному уравнению АЛ = 0 и начальным условиям К(б) = г'(б) = ... = к~а аца~ = О, г~"-В(О) = 1. В частности, функции Е(1) = 0(1)е Е(1) = 0(у) (22) (23) являются соответственно фундаментальными решениями операторов е1 е1 — +а, —,+а.
е11 ' е11з б. Фундаментальное решение оператора теплопроводности. Рассмотрим уравнение — — азЬЕ = 5(х 1) 2 ду (24) Е(х,у) = ехр ( !хР~ (2О./я1)н ), 4О'13 ' (25) и, следовательно, эта функция является фундаментальным решением оператора теплопроводности. В 5 2.2, п. 5, е) было показано, что решение уравнения (24) выражается формулой (8.1. Фундаментальные решения 151 Выведем формулу (25) методом преобразования Фурье.
Для зтого применим преобразование Фурье Е, (см. у2.5, п.2) к равенству (24): Е, ~ — ~ — а Г,[гас[ = га[б(х,1)[, (дЛ и воспользуемся формулами (21) и (22) из ~ 2.5: Р,[б(х,1)[ = Р,[б(х) б(1)[ = Г[б[(~) б(1) = Щ б(1), 1)1 — уР,%, ~;[Рб[ = — Фзг,[б[. В результате для обобщенной функции Е(Р,1) = К [Е]((,1) получаем уравнение + а ф Е(5,1) = 1(~) б(1). (26) Пользуясь формулой (22) с заменой а на озфз, заключаем, что решением в Я' уравнения (26) является функция ~(~ 1) 6(1) е —.'К['е Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье г" ~ и пользуясь формулой (38) из у 2.5, получаем равенство (25): ах 1) =Р- Д<х1) = у(1) 1 е е ( В(1) Г [х[2 '[ (2а Я)н [ 4аз1 [ 7.
Фундаментальное решение волнового оператора. Рассмотрим уравнение (27) П, Е„= б(х,1). Применяя к равенству (27) преобразование Фурье Г, и действуя, как в предыдущем пункте, вместо уравнения (26) для обобщенной функции Г,[Е„[ = Ен(С.,1) получим уравнение даЕ„ф 1) + ай б„(е,,1) = 1(6 б(1). (28) 152 Гл. 1П. Фундаментальное решение и задача Коизи Пользуясь формулой (23) с заменой а на аф, заключаем, что реше- нием в 5' уравнения (28) является функция .К: ) = д(1) ""'"" аф Следоватезэьно, Ен(х,з) = ЕЗ '[5„](х,з) = В(1)г' о(б( (29) Пусть п = 3.
Тогда из формулы (40) из Ц 2.5 выводим , (з1ппфХ) 1 Отсюда и из (29) получаем Ез(х, 1) =, бл., (х) = — 6(аззз — !х/з), (30) д(1) . 9(1) 4хаза ' " 2ха причем обобщенная функция бз действует по правилу 1 Р е11 (бър) = — / И~.,:з) — = ,1 3 1 Г' 1 Р з 4наз /о 1 /я, ~р б Б(еь ). (31) Аналогично, пользуясь форллулами (26) и (42) из 52.5, получим (ср. 52.2, п.5, ж)) Е,Ь,О = — Ь( 1 — Щ*Ь, Е. Ц .,Е = . (32) 9(,~ — ьз | ' '' 2 1 — Ь) 1зс", = б(х). (33) В 52.2, п.5, г) было показано, что функции — И "", 1 (и — 2)о„ 1 сз(х) = — 1п ~х~, 2л п>3, (34) Для получения фундаментальных решений Ез и Еь можно также воспользоватьсл методом спуска (см. 3 3.2, и.
4). 8. Фундаментальное решение оператора Лапласа. Рассмотрим уравнение 43.1. Фундаментальные решения У 53 (35) Пусть и = 2. Проверим, что обобщенная функция — 'Р— т (сьь 1 К] 22.5, п. 7, г)) удовлетворяет уравнения (35). Действительно, для любой р Е о. Следовательно, в соответствии со схемой из п.2 можно положить Отсюда, пользуясь формулой (41) из 2 2.5, получаем Се Ез(х) = Е ь ~ — Р „~ = —, Е ']'Р, ~ = — 1п]х] + —.
(36) ]Р]Я~ 4пз ~ фа~ 2н 2я Так как постоянная функция удовлетворяет однородному уравнению Лапласа, то, отбрасывая в (36) слагаемое --'а, убеждаемся, что фундаментальное решение ез (х) можно выбрать равным — 1п ]х]. 1 2н. Пусть теперь ть > 3. В этом случае функция — ]Я] а локально интегрируема в К", и потому в соответствии с п. 2 Ьы Отсюда при и = 3, пользуясь формулой (43) из 2 2.5, получаем 1 сз1х) = 4х]х] (37) Анаюгично вычисляется с„(х) и при и > 3. являются фундаментальными решениями оператора Лапласа. Вычис- лим эти фундаментальные решения методом преобразования Фурье.
Применяя преобразование Фурье к равенству (ЗЗ), получим 154 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Каизи Особенно просто Ян(х) строится методом спуска по переменной 1 (см. п. 4) из фундаментальных решений оператора теплопроводности или волнового оператора. Например, пользуясь формулой (2Ц, из (25) при а = 1 получаем формулу (34): Е„(х) = — / Е(х,1) <И = — ( ехр ~ — — ) Ж = 1 ( (х)з) Л (2.=1). 1 ) !х/ н ьз Г'~ — ч н12 — 3 4ян1з,/ 1п т )х( 'ьз 1 ( 2 ) 4нн1з (и — 2) стн 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца.
Рассмотрим уравнение (за+ йз) Е„= б(х). (38) В 5 2.2, п. 5, д) было показано, что е бз(х) = -' 4я/х/ е'"~*~ б~(*) (39) фундаментальные решения оператора Гельмгольца при и = 3. Формулы (39) справедливы и при комплексных а. Метод преобразования Фурье сводит уравнение (38) к алгебраическому уравнению ~б~з + низ) 1з[аа (40) сз(х) = — НОВ Ж~хр, сз(х) = Но~ (йИ ° (41) Аналогично, в случае п = 1 фундаментальными решениями оператора Гельмгольца являются фу нкпии 1 Г~(х) = — — е 2гн Е~(х) = — е' ~~~, 2й (42) Прямые вычисления показывают, что в случае п = 2 фундаментальные решения оператора Гельмгольца суть функции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
