Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 26
Текст из файла (страница 26)
3 1.2, п. Ц вида 7' ( — ) определяются дифференци(х! альным уравнением (д -Ь 1)уо® + (3 — п)Д('(С) = О, дг ф 1. В частности: и(х,1) = с1 1п + сг, 1 + )х( — Фх1, п=1; И (~1~ / ег с11п — +, — 1 +сг, )/ ~*р ' И!' с1гхсяп — + с, И вЂ” >1, Ф И вЂ” <1, Ф И и(х,1) = п=2; и(х,1) = с1 — +се., х те О, и = 3. И ж) Доказать, что задача Гурса (см. ~ 1.4, п.5, а)) и,„+аи,+Ьи„+си=1(х,у), 0<х <хо, 0<у <уо, Ми=в : Ф~(х) 0 < х < хв и~ =е : еог(у)' 0 < у < уо: где 7' непрерывная функция и ео1 и ~рг непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию во1(0) = рг(0), г) Пусть обобщенная функция г' финитна. Доказать, что решение и(х, г) соответствующей обобщенной задачи Коши для волнового уравнения в Кв обладает свойством: для любой ограниченной области С С Кг существует такое число Т = Т(С), что и(х, 1) = 0 при х Е еС>1>Т.
д) Пусть 7' = 0 и функции ио Е Сг(Кг) и ив Е Сг(Кг) финитны. Доказать, что соответствующее решение и(х, е) задачи Коши для волнового уравнения в Кг обладает свойством: для любой ограниченной области С С Кг существует постоянная Л = К(С) такая, что 176 Гл. 1П. Фундаленсаальное решение и задача Коиссс эквивалентна системе интегральных уравнений и(х, У) = ссзс1х) + 1 ш1х, и ) с1У', со сс(хд у) = срд(х) + / (гл — аи — Ьш — си) (и, у') <!у', до иДх, у) = ссз~(у) + 1г — аи — Ьш — си)(х~, у) сКх~. до з) Показать, что уравнение Лиувилля исс — и„= де", д > О, имеет решение 8ср' (х + 1) ш' (х — 1) и(х,1) = 1п д~7з(х + С) — со(х — 1))г ' где ср и сд -- произвольные функции класса Сз, удовлетворяющие условиям аз' > О, уд > О.
и) Показать, что уравнение 81п-Гордона исс — и = — дз1пи, д > О, имеет решение х — ау исх,у) = 4агсс8ехр ~т/д „), (а) < 1. ссà — аг к) Доказать, что функция 1 и(х, с) = 01а1 — ~х~) 4яаг)х( есть решение задачи Коши исс = агЬи+0(х) .
б(с), х = (х„хг,хз), удовлетворяющее начальным условиям и1х,с) — + О, ис(х, С) — с О при 1-+ О для всех х ~ О. б баб Распространение волн 177 3 3.4. Распространение волн В этом параграфе будет дана физическая интерпретация решений волнового уравнения, полученных в 'з 3.3. 1. Наложение волн и области влияния. Пусть задан источник г (х, 1), обращающийся в нуль при 1 ( О. Решение и(х, 1) обобщенной задачи Коши для волнового уравнения с источником г'(х,1) согласно формуле (16) из 3 3.3 имеет вид и = Е„л Е.
Физический смысл этой формулы (срж ~ 3.1, п. 3) состоит в том, что возмущение и(х,1) в точке х в момент времени 1 представляет собой наложение (суперпозицию сумму) элементарных возмущений г '((, т~Ео 7х — С, 1 — т), порождаемых точечными источниками Е((, т)б(х — С) б(з — т), когда точки (С, т) пробегают множество., где сосредоточено возмущение Е. В этом состоит принцип наложения волн (см. '33.1, п.3). Из принципа наложения волн следует, что возмущение и от источника Е, сосредоточенного в множестве Т (т.е. зрс С Т), может достичь лишь тех точек полупространства 1 ) О, которые состоят из объединения носителей Ео(х — С, 1 — т), когда точка 1С, т) пробегает множество Т. Полученное таким путем множество М(Т) называется областью влияния множества Т, ЛХ(Т) = И~ врсс„(х — С,1 — т) = арса„-~- Т. (атЕТ1 Ясно, что вне множества М[Т) будет покой, друтими словами, яр1 и С Л1 (Т), если вру, Г С Т.
Конкретная реализация принципа супер- позиции существенно зависит от структуры носителя фундаментального решения Ен(х, 1) и, стало быть, от числа н пространственных переменных (см. ~ 3.2, п. 1). Это в свою очередь определяет особенности в характере распространения волн в пространстве, на плоскости и на прямой. 2. Распространение волн в пространстве. Из выражения для фундаментального решения трехмерного волнового оператора Ез(х,з) = бв.,(х) = б(а 1 — ~х~ ), х = (х1,хз,хз), ВЯ В71) 4яаз1 " 2яаз гл в. С.
Владимиров, в. в. укаримоо 178 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Коищ вытекает, что возмущение Ез (х, 1) от точечного, мгновенно действующего источника б(х) б11) к моменту времени 1 > О будет сосредоточено на сфере радиуса а1 с центром в точке х = О (рис. 30 и рис. 28). Это значит, что такое возмущение распространяется в виде сферической волны ~х~ = а1, движущейся со скоростью а, причем после прохождения этой волны опять наступает покой. В этом случае говорят, что в пространстве имеет место принцип Гюйгенса. Отсюда в силу принципа наложения волн (см.
п. 1) вытекает, что возмущение и от произвольного источника Р, сосредоточенного в Т, может достичь лишь тех точек, которые состоят из объединения границ а11 — т) = ~х — ~~ конусов будущего Г ' 1С, т), когда их верши- й сз яз Рис. 31 Рнс. 30 ны (С, т) пробегают множество Т 1рис. 31), так что М(Т) = Ц грГ~(Г,Т). (ат''~ет При этом возмущение и(х, 1) при 1 > О полностьнз определлется значениями источника г (С, т) на боковой поверхности В(х,1) конуса Г„(х,1) (сьь 33.2, п.3 и рис. 29). В этом состоит математическая формулировка принципа Гюйеенса.
В частности, если возмущение Е сводится к начальному возмущению вида Г(х,1) = и01х) б'(1) + иь1х) б11), то и(х, 1) при 1 > О полностью определяется значениями ио(() и иь (() на сфере Я(х;а1), т.е, в точках границы основания конуса Г (х,1). у Я.1. Распространение волн 179 . о/) / / / 1 / 1 / 1 / 1 1 1 сой Рнс. 32 Рис. 33 Другими словами, к моменту времени 1 > 0 возмущение распространяется на область, заключенную между передним и задним фронтами.
Рассматривал эту картину. при всех 1 > О, заключаем, что в пространстве м~ переменных (и,/) это возмущение будет сосредоточено на объединении границ 1т — с1 = а/ конусов будущего Г+ (с, 0), когда их вершины (~в 0) пробегают компакт К (в плоскости т = 0), т.е.
на ЛХ(К). 3. Распространение волн на плоскости. Из формулы для фундаментального решения двумерного волнового оператора вВ в †1* В В*, 11 = , ' = 1 ..../,1, 2 в — 11 вытекает, что возмущение с (л,1) от точечного, мгновенно действующего источника о(т) б11) к моменту времени 1 > 0 будет сосредоточено в замкнутом круге радиуса а/ с центром в точке т, = 0 Пусть теперь возмущение (1) сосредоточено в компакте К плоскости 1 = О, т.е. вр1 ио, вр1и/ С К. В силу сказанного в точку т вр К возмущение придет в момент времени /о = /1//а и будет действовать в этой точке в течение времени (Р— д)/ва, где д и Т/ минимальное и максимальное расстояния от точки т до точек множества К (рис.
32). При 1 > 17/а = П в точке л снова насту. пает покой. Таким образом, в момент времени 1о через точку х проходит /середний фронт волны, а в момент времени /1 через эту точку проходит зас/ни/1 фронт волны. При этом в момент времени 1 передний фронт будет внешней огибающей сфер 51С1а/), когда С пробегает К, а задний фронт— внутренней огибающей этих сфер (рис. 33). 180 Гл. П1. Фрндаментальное решение и задана Ковш (рис.
34). Таким образом, наблюдается передний фронт волны [х[ = = а1, движущийся на плоскости со скоростью и. Однако, в отличие от пространственного случая, за передним фронтом возмущение наблюдается во все последующие моменты времени, так что задний фронт волны отсутствует. В этом случае говорят,что на плоскости имеет место диффузия волн. При этом принцип Гюйгенса, очевидно, нарушается. Чтобы понять, почему. происходит диффузия волн на плоскости, заметим, что фундаментальное решение Ез [х, 1), рассматриваемое как функция четырех переменных [х, хз,й), представляет собой возмущение от мгновенного источника 5[х).1[хз).6[1), сосредоточенного на оси хз [снь 83.1, п.7), сз(х,1) = сз * [о[х) 1[хз) о[с)). От такого источника в и~ возмущение распространяется в виде иилиндрическо й волны [х[ < а1, передний фронт которой [х[ = а1 движется со скоростью а перпендикулярно оси хз (рис. 35). После прохождения переднего фронта возмущение сохраняется бесконечно долго.
Поко ой Рнс. Зз Рнс. 34 Действительно, в силу принципа Гюйгенса (см. п.2) в точку [хв,О) Е Зхз в момент времени 1 ) 0 возмущение от источника б[х) 1[хз) 5[1) будет приходить из тех точек сферы [х — хв[з + хз з—— = аз1з, которые лежат на оси хз, т. е. из точек [рис. 35) Отсюда следует, что при 1 < [хо [/а = 1о в точке (хо, 0) будет покой: в момент времени 1в через эту точку пройдет переднии фронт В Я.В.
Распространение волн волн (возмущение придет из точки х = О); во все последующие моменты времени 1 > 1е в эту точку будут приходить одинаковые возмущения из точек +Л„м и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличнос от нуля суммарное возмущение (задний фронт волны отсутствует). Из наличия диффузии волн на плоскости в случае точечного начаяьного возмущения б1х) о11) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного возмущения Т(х,1), Р' = О при 1 ( О. Действительно, в силу принципа наложения волн (п.
1) возмущение и от источника Е, сосредоточенного в Т, может достичь лишь тех точек, которые лежат в объединении замыканий Г (Е, 7) конусов будущего Ге(Е, т), когда их вершины ((, 7) пробегают множество Т (рис. 36), так что ЛХ(Т) = Ц Г+(~ 7) (сл)ет Здесь при 1 > О возмущение и(х, 1) полностью определяется значениями источника г'(С, т) на замыкании конуса Г (х,1) (свь рис, 29). 77Да) окой Рис.
37 Р .ЗЕ В этом состоит математическое содержание понятия «диффузия волна. В частности, если Р начальное возмущение вида (1), то и(х, 1) при 1 > О полностью определяется значениями иа(х) и и~(х) в круге П(х; ас), т.е. на основании конуса Г„(х,с). Поэтому если начальное возмущение сосредоточено на К, то к моменту времени 1 > О возмущение и1х, 1) распространится на область, представляющую собои объединение кругов с7(х;ае), когда их центры С пробегают К 182 Гл. П1. Фундальантальнае раи~ание и задача Каиш (рис. 37).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
