Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом здесь наблюдается передний фронт и отсутствует задний фронт волны. В соответствии со сказанным областью влияния ЛХ(К) компакта К является объединение замкнутых будущих световых конусов Г (С, 0), когда их вершины 1С, 0) пробегают К в плоскости т = 0 (ела. '23.2, п.3 и рис. 36). 4. Распространение волн иа прямой. Из вида фундаментального решения одномерного волнового оператора 1 Еь(х,1) = — О(а1 — ~х~), х = хы 2а вытекает, что возмущение Еь(х,1) от точечного, мгновенно действующего источника а(х) а11) к моменту времени 1 > 0 будет сосредоточено на отрезке — а1 < х < а1 (рис.
26). В этом случае наблюдаются два передних фронта х = а1 и х = — а1, движущихся со скоростью а направо и налево соответственно. Как и в плоском случае, за фронтом волны наблюдается возмущение (здесь оно постоянно и равно — ), 1 т. е. имеет место диффузия волн. с1тобы понять эго явление, дадим трехмерную интерпретацию фундаментааьному решению Еь(х,1). Это решение представляет собой возмущение от мгновенного источника а(х) 1(хю хз) б11)., сосредоточенного на плоскости х = 0: сь (х; 1) = сз * ~д(х) 1(хз, хз) ' дМ.
От такого источника в Газ возмущение распространяется в виде плоской волны ~х~ < а1, передний фронт которой ~х~ = а1 движется со скоростью а, перпендикулярной плоскости х = О. Отметим, что здесь передний фронт П состоит из двух плоскостей,х = = а1 и х = — а1, движущихся со скоростью а направо и налево соответственно относительно плоскости х = 0 (рис.38). После прохождения переднего фронта волны возмущение сохранится навсегда. Рис. 38 Действительно, в силу прин- ципа Гюйгенса (см. п.2) в данную точку (ха,О, 0) Е йз в момент времени 1 > 0 возмущение от ис- бу4. Распространение волн 183 точника б(х) .
1(ха., хз) б(1) будет приходить иэ тех точек сферы [х— — хо[о + х~ ~-~- хз = азс~, которые лежат на плоскости х = О., т. е, из точек окружности (рис. 38) э я 2 2 3 .Ат = (хб + хз —— а 1 — хо, х = О). Отсюда следует, что при 1 ( [хо[/а = Со в точке (хо, О, 0) будет покой; в момент времени 1о через зту точку пройдет передний фронт волны (возмущение придет из точки 0); во все последующие моменты времени 1 > 1о в эту точку будут приходить одинаковые возмущения из точек окружности А„б и, стало быть, в ней будет наблюдаться отличное от нуля су.ммарное возмущение (задний фронт отсутствует).
Из наличия диффузии волн на прямой в случае точечного начального возмущения б(х) б(1) следует, что диффузия волн наблюдается и для произвольного начального возмущения ив(х) б(1). Рассмотрим теперь мгновенный точечный источник вида б(х) б'(1). По теореме из 83.3, п.3 этот источник порождает возмущение Е~ (х, 1) = Е, (х, 1) * [б(х) . б'(1)) = дб~(х,1) 1 д 1 д1 2а д1 = — — 0(а1 — [х[) = — б(ай — [х[). (2) 2 Отсюда видно, что возмущение Е~ (х.,1) в момент времени 1 > 0 будет сосредоточено только в двух точках х = ха1, так что после прохождения фронта волны [х[ = а1 снова наступает покой.
В этом случае имеет место принцип Гюйгенса. Для произвольного начального возмущения вида ио(х) б'(1) возмущение и(х,1) при 1 > 0 полностью определяется значениями ио® в точках х х а1, т. е. в точках границы основания конуса Го (х, 1) (см. рис. 29). Это возмущение дается формулой и = 8~(х,1) *[ив(х) . б(с)) = Е1(х, 1) в ио(х). Отсюда, учитывая равенства (2), при 1 > 0 получаем 1 1 1 и(х, 1) = — б(а1 — [х[) * ио(х1 = — ио(х + ас) + — ио(х — ае). (3) 2 2 2 Физический смысл формулы (3) состоит в том, что начальное возмущение ио(х) б'(1) при 1 > 0 как бы распадается на два подобных 184 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Коипг возмущения иа(х т ау), каждое половинной интенсивности (рис.
39). — аг Рис. 39 В соответствии со сказанным области влияния отрезка К = [а, 6) для начальных возмущений иг(я) гг11) и гго(ж) . б'(Г) имеют вид, указанный на рис. 40 и рис. 41. г Таким образом, на прял = — агч-о 44гК) х = ог+с мой для начального возмущения иг(ж) б11) имеет место диффузия волн, а длл начальПокой ного возмущения иа(х).ог14)- принцип Гюйгенса. Для произвольного возмущения Р', Рис. 40 г (я, 1) = О, 1 < О, могут иметь место либо принцип Гюйгенса, либо диффузия волн, либо их наложение. Физические интерпре- О Ь К с л х= — аг+ Поко О Ь К с Рис. 41 тации и геометрические построения аналогичны рассмотренным в п.
2 и п. 3 соответственно. 5. Метод распространяющихся волн. Изложилг другой метод -. метод распространяющихся волн решения классической задачи Коши для одномерного однородного волнового уравнения (4) т Я4. Распространение волн 185 (6) и~тго = ио(.), ит)т=о ит(х). Прежде всего докажем следующунт лемму.
Лнмма. Для того чтобы функция и(х,.1) класса Ст была решением волнового уравнен я (4) в некоторой области, необходимо и достапточно, чтобы в этой области она имела предтпавление тл(х, 1) = т (х — а1) + у(х + а1), (6) где т'(с) и у(т1) функции класса Ст в соотвепттвуютцих интервалах изменения переменных С и т1. ДОКЛЗЛткЛЬСтВО. Функция (6) удовлетворяет уравнению (4), так как дз дг = а т'о(х — а1) + а ун(х + а1) = аг д1 дх Обратно, пусть функция и(х,1) класса Ст удовлетворяет уравнению (4) в некоторой области. Представим уравнение (4) в каноническом виде. В соответствии со сказанным в 8 1.3, п.
4 его дифференциальные уравнения характеристик имеют вид дх — = — а, д1 и, следовательно, замена переменных С=х — а1, т1=х+а1 приводит уравнение (4) к каноническому виду (7) д'й — = О. дбдтт Интегрируя зто уравнение по с, получим дй — = ж(у), дт1 где 1С некоторая функция класса Ст. Интегрируя теперь полученное уравнение по т1, запишем функцию й в виде й(С, у) = / т(т1') дтт' + 7(() = ((Я) -Ь у(61, (8) где 1 и д --- некоторые функции класса Ст.
Переходя к старым пере- менным х и 1 по формулам (7), выводим из (8) представление (6) для решения и(х, 1). Лемма доказана. 186 Гл. Г«1. Фундаментальное решение и задача Коизн Физическая интерпретация рслиения (6). Функция 1(х — а«) описывает возмущение, которое из точки хо в момент времени « = 0 приходит в точку х = хо + а«в момент времени «(рис. 42). Поэтому эта 1(я — а«) «(я) яо + аз я яо — ао Рнс.
42 функция представляет собой волну, двигающуюся направо со скоростью а. Аналогично, функция д(х + а«) представляет собой волну, двигающуюся налево со скоростью а. Общее решение (6) волнового уравнения (4) есть наложение этих двух волн. С помощью представления (6) общего решения волнового уравнения (4) классическое решение задачи Коши (4), (5) строится следующим образом. Предположим, что решение и(х, «) этой задачи существует. Тогда по лемме из п. 5 это решение представляется в виде (6) с функциями «и д класса Сз(ро'). Зля того чтобы решение и(х., «) удовлетворяло начальным условиям (5), необходимо, чтобы функции «' и д удовлетворяли соотношениям 1(х) + д(х) = ио(х), -а«'(х) + ад'(х) = из(х), т. е.
1'(С) + д® = ио(С), дЫ) — 1'(С) = — / и,(С') с«С' -~- С, (9) где С -- некоторая постоянная. Решая уравнения (9) относительно неизвестных функций «и д, найдем 1 .)'(с) = - ио(с) — — / (с') «с' —— 2 2а,/о 2 ' д(з)) = — ио(г«) + — / и~(~')с«5 +— 4'34. Раовроотраненио ооон 187 Подставляя полученные выражения для 7" и д в формулу (6), получаем формулу Даламбера (см. ~ 3.3, п. 4) 1 Гаеао п(х,1) = — [ио(х+а1) +по(х — а1)[+ — / и,®о14. (10) 2 ./а „, Непосредственной проверкой убеждаемся, что формула Даламбера (10) действительно дает классическое решение задачи Коши (4), (5), если ио Е Сз(11~) и ьч Е С (й~). Это решение единственно (см. 3 3.3, п. 4). 6.
Метод отражений. Полубесконечная струна. Изложенный в предыдущем пункте метод распространяющихся волн решенин задачи Коши для уравнения (4) позволяет решать некоторые смешанные задачи для этого уравнения. Для определенности рассмотрим смешанную задачу (см. я 1.4, п.4), описывающую колебание полубесконечной струны х > 0 с закрепленным левым концом (11) [а = О. Предварительно докажем, что всякое классическое решение и(х,1) уравнения (4) в квадрате х > О, 4 > О, удовлетворяющее условию (11), представляется в виде и(х, 1) = д(х + а1) — д( — х + и1)., д Е С (й').
(12) Действительно,по лемме из п.5 решение и(х,1) представляотся в виде (6), где Д(6) Е С" (1г') и д(п) е С (и > 0). Отсюда, учитывая условие (11), получим 0 = 7'( — а1) + д(а1), откуда и вытекает представление (12). Физическая интсрпретани решения (12). Это решение представляет собой наюжсние двух волн: волны д(х -~- а1), движущейся со скоростью и налево, и волны — д( — х + и1), движу. щейся с той же скоростью направо. Пусть волна д(т, + ис) движется по полу.
бесконечной струне х > О, закрепленной в точке х = О. Тогда волна — д( — х+ а1) будет двигаться по полуоси х ( 0 навстречу волне д(х+ а1) (рис. 43). В некоторый момент времени эти вояны встретятся в точке х = 0 и, накладываясь друг на друга, дадут нулевое возмущение в этой точке. При дальнейшем движении волна д(х+ а1) окажется за пределами струны, в то время как волна — д( — х+ а1) перейдет на струну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
