Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 23
Текст из файла (страница 23)
5 Д. 1, п. 8) г У. б Фундаяеннганьные ренгения 13 10. Упражнения. а) Пользуясь формулой (29), показать, что обобщенные функции ,( -зуг з г г г б(а~ге — (х)г), и, ) 3 нечетное, 2н.а гтаг г1(гг) ) и > 2 четное, 2на наг 4Я гг тгзгг (х~г являютс.я фундаментальными решениями волнового оператора П,.
б) Доказать, что обобщенные функции е"( ) = " гц*, '— $*Е)- "— "ВД*. — 1*$) и Р'(хе, х) = Р'( — хе, х) являются фундаментальными решениями оператора Клейна.-Гордона-Фока П~ + твг; здесь п = 3, хе = 1, х = = (хг,хг,хз),,Уг функция Бесселя (см, еД.1, п. 1). в) Доказать, что обобщенные функции Р'(хо, х) = —, й~дЫоМЫо — ~6 — шо)) 8пег 1 Р (хе,х) = — з. Е[д( — 1о)Й1ез ~6з — п4) удовлетворягот уравнению Клейна-.Гордона -Фока и соотношенивз 11т + Р— Ре Ра Обобщенные функции Р', Р', Рь и Р играют важную роль в квантовой теории поля. г) Пользуясь формулой (39) из ~ 2.5, показать, что функция Ь 1г 2гттгг г 2аг является фундаментальным решением однолгерного оператора Шредингера д тгг дг га — + — —, д1 2тпо дхз д) Показать, что функция ( — 1)" Г (и/2 — й) '"ь 2гь - 1гг® есть фундаментальное решение интегрированного оператора Лапласа Ь" при 2Й ( и.
156 Гл. П1. Фундал«енп«альнае уеи«ение и задача Каи««« 8 3.2. Волновой потенциал 1. Свойства фундаментального решения волнового оператора. Фундаментальными решениями волнового оператора при п = 1, .2, 3 являются (обобщенные) функции (см. формулы (32) и (30) из 83.1) В(а1 — ~х~) 2(х 1)— ьг,/Зьс — ф аЗ =, аз.,(Х) = — а(а 1 — /Х! ). в(1) 4иаз1 " 2ха 1 б«(х,з) = — В(аз — Ц) 2а Функции с«и сз локально интегрируемы, а обобщенная функция сз действует на основные функции «а Е Ю(К«) по формуле (31) из 8 3.1: Носители функций с«и Ез совпадают с замыканиел«конуса оуду«пего Г (см.
рис. 22), а носитель обобщенной функции Вз совпадает с границей (ау = (х!) зтого конуса. ~х~ На рис. 26 — 28 схематически изображены фундаментальные решения Е«, Б~ и сз в момент времени а а« Рис. 26 ез « 2 2яа « ас И а« 14 Рис. 27 Рис. 28 Пусть «"(х,у) Е «з'(Кн ' «) и ««з(х) Е с (Ка). Введем обобщен««ую функцию (1(х,1), ~р(х)) Е 17'(К ), действующую по формуле Я(х, 1), Зз(«с)), «у(1)) = ((, у«В«), ~ Е Ю(К').
(2) 13.2. Волновой потенциал 157 Из этого определения вытекает следующая формула: ,уо(х)) = — „(((х,1),|р(х)), Ь = 1,2,... (3) Действительно, при всех уУ е Р(1к') имеем , уо(х), Ю~(1) = — „; уо4' = ( — 1)" Л р —,„ = (-1)" (~(х,1),.(х)),"„'! = — „',„(~(х,~),.(х», Ь(1), откуда и следуют равенства (3). 'Будем говорить, что обобщенная функция г(х, г) принадлелсит классу Со„О ( р ( оо, по переменной Ьв (а, Ь) (соответственно на [а, Ь]), если для любой основной функции ео Е Ю(К") обобщенная функция (1(х, е), р(х)) принадлежит классу С" (а, Ь) (соответственно С'([а, Ь])) (см.
~ 2.1, п.5). Лгмма. Фундаментальные решения Е„(х,1), и = 1,2,3, принадлеокат классу С по переменной Ь в [О, оо) и при Ь вЂ” у +О удовлетворяют предельным соотношениям Еп(х,1) -+ О, "' ' — у Ь(х), "в ' — + О в Р'(Кп). (4) ВЕп(х,1) . дзЕ„(х,1) д1 яв Доказаткльство. Пусть п = 3 и р е Ю(йк). Из (1) вытекает,что (Ез(х,е),ео(х)) = / уо(х) дв = — / уо(аех) дв.
(5) В(1) Г В(1) 1 Г 4 к а а 1,/в, 4Я „/в, Так как правая часть равенства (5) бесконечно дифференцируема по 1 в [О, оо) в смысле 3 1.1, п. 2, то, следовательно, Вз принадлежит классу С' ' по 1 в [О, оо). Кроме того, из (5) вытекает, что (6) (сз(х,е), у(х)) — у О, 1 — у+О. Далее, пользуясь формулой (3) при 7" = Гз и Ь = 1, 2 из формулы (5) получим при 1 — > +О 158 Гл.
П1. Фундаментальное ресаение и задача Коиссс сд« = — / р(а1х) сЬ+ — — / ср1а1х) с«в — ь р(0) = (б,.ср), (7) 4 ./гм 4 д1«' (",*' 'е,.е) = —,'.~ —,' «ы *с~= 1 д 1 «2 = — — / со(а1х)сЬ + — — / срса1х) с1в †О, (8) 2т сМ,/в, 4к с11з,/в, поскольку функция зз1а1х) дв = 1 срС,— а1х) дв вс свс четная бесконечно дифференцируемая по 1, а поэтому ее первая производная при 1 = 0 равна нулю. В силу произвольности со Е Р1Кз ) предельные соотношения (6) — (8) эквивалентны соотношениям (4) при и = 3.
Пусть теперь и = 2, 1 и ср Е 'с (Ка). Тогда при 1 > 0 1 /':р(х) дх 1 /' ср(а«х) дх ,зчт:Т е "з чт:Сс' 1 Гае 1 С' 1сс1х,«), р(х)) = — / р(х) Йх = — / ср1а1х) с1х. 2а«ас 2~ с (10) 11 ад,ф = Я(,1) д(у,т),с1ЯО(т)з1(о т — ~у~ )ср1С+ у,1+ т)), 111) где т1(т) --,любая функция класса С' (Кс), равная 0 при 1 < — б и 1 при 1 > — е 13 ив любые числа, б > е > 0). При этом сверспка «*д обращается в нуль при 1 < 0 и непрерывна относительно «и д в отдельноппи: 1) если«ь-+О в'Пс1К"'с) прий — ьоо, «я=0,1<0, то«ь*д-еО в 'Псарь ~-с ) 1.
2) если дь — ь 0 в «ус1Кь ' с ) при й — у оо, врс де с Г, тпо «еде — ь 0 в «У'(К "ь~) при Й вЂ” у со. Отсюда, как и при и = 3, вытекают все утверждения леммы. 2. Дополнительные сведения о свертках. Установим еше один признак существования свертки. Тгеоггсма. Пусть обобщенные функции «и д из 'Рс1К"тз ) тпаковы, что 1'1х,«) = О, 1 < О, и вр1д С Г . Тогда свертка «ад существует в 'Р(К"ас) и ари всех со е Р1К"ес) предстаавляетсл в виде 1оед б о.Я. Волнооо(у потенциал Доказяткльство. Пусть (р(яд) -- произвольная функция из '0()й"' б)б причем ерс(о С Глб и )1ь(~,1;убт), к = 1,2,,..б последовательность функций из Р(йз"тз), сходящаяся к 1 в Кз"т-' (см.
~ 2.3, п. 2). Тогда при всех достаточно больших Й фа = В(е))1(т))1(а т — ~у) ))уь(~б1;д,т)бр(у+ у,1+ т) = = б1(1))1(т)б1(а тз — ~у~з)(р(С + д,1+ т) = ун (12) Для доказательства равенства (12) достаточно установить,что функция (Д принадлежит 'Р(а(то~~). Но зто следует из того, что она бесконечно дифференпирусма, а множество ((( Е у,т): бт > — о а т — (у( > — б. (у+~(з+(Е+т)з < А') в котором содержится ее носитель, ограниченно, поскольку оно со- держится в ограниченном множестве (Ц, б, бб ): — 6 б б.
( б б б; )У) б б( (б б б) б- б; )Об ОО(ббббе) )' бббб-; — б). По построению ВЯ = 1 в окрестности носителя )б(С, Х) и б)(т)б)(а тт— — )у(з) = 1 в окрестности носителя д(д, т). Следовательно (см. (10) из ~ 2.1), ((С,1) = т)(1)1(С, 1), д(у,т) = В(т)т)(абт — (у/ )д(у, т). У'читывая теперь эти равенства и равенство (12), убеждаемся в спра- ведливости формулы (11): (~ *у, (р) = 1пп (((~,Е) д(д,т), б1ь(~,Е;у,т)(рЯ+ д,Х+т)) = = 1пп ®(,1) д(д,т), бдб) = ®~,1) д(у,т), У)), (о ~ Р(2о ').
Докажем, что 1'*д = О при б < О. Пусть(р(я,Х) ЕЮ(Б'."л '), ер1'р С С (е < 0). Так как носитель р компакт в йп ', то найдется такое число б) > О, что ярт (р с (1 < — б) ). А тогда, выбирая б < б) /2, получим Я)ц(т)тр(азт — )у)~)(о(С + у,1+ т) = О, (13) откуда в силу (11) получим (1" * д, (р) = О, что и утверждалось. Непрерывность свертки 1 * д относительно 1 и д следует из представления (11) и из непрерывности прямого произведения 1бб Гл. 1П. Фундаментальное решение и задача Конт 114,1) д(у,т) относительно 1 и д в отдельности (см. ~2.3, п.1, а)). При этом вспомогательную функцию у можно выбрать не зависящей от и. Теорема доказана.
Докажем следующее: сели д(х,1) Е '0'(К"~'), врс д С Г, а и(х) Е е гг'(14"), то (14) д*]и(х) б(1)] = д(х,1) *и(т), причем обобщенная функция д(х,1) * и(х) действует по правилу (д(х, 1) * и(т), ф = ЦЦу 1) и® у(а~1г ]у]а)фу+ Е 1)) ~з а ~(снег) (1а) Действительно, полагая в формуле (1Ц 1 = и(х) б(1), при всех дз Е гг(й" ~~ ) получим (д * ] (х) . й1)],:р) = = (яу, т) и® . б(1), з1(т)г1фз1(аята — ]у]а)ез(у+ р т,'-1)) = = (д(у, т) и®, у(т)уят~(аята — ]у]а)(о(1), з1]1) р(у+ р,т+1)))— = (д(у, т) и®, з1(т)з1(аз та — ]у]з)ез(у + р т)) (1б) Поскольку носитель д(у, т) содержится в полу пространстве т > О, то в силу (10) из ~ 2.1 д = т1(т)д. Далее, 'еда т — ]у] )фу+ С, т) Е Р(К "~ ). Поэтому, продолжая равенства (16) и учитывая (15), получим ра- венство (14): (у*~и(х) дф], ф = Ц~т)д(у,т) и®, т1(а т — ]у] )фу+С,т)) = = (д(у,т) иЯ, т1(а т — ]у] )Чз(у+ 4,т)) = (д(т,1) *и(х), р).
Здесь последнее равенство получено в силу теоремы 1 из ~ 2.3. Пользуясь теперь формулой (14) и правилами дифференцирования прямого произведения (см. ~ 2.3, п. 1, г)) и свертки (см. ~ 2.3, п. 3, в)),при всех й = 1,2,... получаем равенства д * [и(х) . б~~~(1)] = — „]д(х,1) ли(х)] = „' *и(х). (17) уа.е.
Волновой потенциал 3. Волновой потенциал. Пусть обобщенная функция 1" (х,1) из Ю'(Ь"т1) обращается в нуль в полу пространстве 1 < О. Обобщенная функция 1 и — аа * Л где с„-. фундаментальное решение волнового оператора, называется волновым потенциилом с плотностью 1. Так как Орска с Г, то по теореме из и. 2 волновой потенциал Г, существует вен(Иа+~) и представляется в виде (1эмво) = (Си(у,т) )(~,т'), 0(т)г1(т')0(ол гз — !у!~)Оо(у+ С,т+ г')), (18) д а О(ви~-1) (19) Дальнейшие свойства волнового потенциала 1'„существенно зависят от вида плотности 1. Если 1 локально интегрируемая функция в и"те, то и'„ локально интегрируемая функция в Ии ы, причем 1',(,1) =, ~ 11~, 1 Р У(С, е — 1х — ~~/а) 4таз ./1да;аб 1х — ~! 1 УеУ Я,т) ЦУ,6т '2(Х~ а)— О Щв;а(1 — еО д-' а11 — а1 1'1(х,1) = — ~ ~ 1" (й, т) е1й пт.
О и — а11 — е1 (20) (20') (20о) Докажем формулу (20). Пусть 1о Е Ю(ад~). Так как 1 --. локально интегрируемая функция в 11~, то, учитывая, что ( = 0 при 1 < О, и принимая во внимание формулу (1), из представления (18) получаем (1'., р) = = (аь, 1«С 1в1 ' ' — МЕ1) ЛЕ, Ов( ЭвЬ+Е + '1ава ') = 11 В. О. Владимиров, В. В. Жарииав где п(т) любая функция класса С (111), равная 0 при т < — б и 1 при т > — е; б и е любые, б > е > О. Кроме того,по той же теореме волновой потенциал ра(х,с) обращается в нуль при й < 0 и непрерывно ЗаВИСИт От ПЛОтНОСтИ 1" В '0'(2ат1).
НаКОНЕц, ПО тЕОрЕМЕ ИЗ ~ 3.1, П. 3 этот потенциал удовлетворяет волновому уравнению 1б2 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Ковш = (йЬ, С ь(еь( ' ' — Ь~') ) ЗЬ вЂ” ь,с — )еа,аз*а) = 1 Г 1 11х — у1 — ~у~/а) 4ьаз,/,/Р !У~ Это значит, что потенциал 1зз — — локально интегрируемая функция в 11~ и представляется в виде йх — у,1 — ЬУо) 4яаз,/р, ~у~ (21) Го (х,1) = Г (х,1) П 10 < т < 1) с вершиной (х, 1), основанием 11(х; оу) и боковой поверкностькэ В(х, 1) (рис. 29); здесь Г (х,1) -- конус прошлого (сьз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
