Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 21
Текст из файла (страница 21)
п. 2), получаем Г[О) = [33) Применяя теперь формулу Сохоцкого [10) из ~ 2.1, получаем равенст- во [31). Равенство [3!') устанавливается аналогично. откуда следует справедливость равенства [30) на основных функциях из 'О. Но '0 плотно в о [см. 3 2.4, п. 1), так что это равенство справедливо на всех основных функциях из о [обратиль внимание на то, что правая часть [30) определяет непрерывный функционал на о). г) Справедливы равенства Гл. П. Обобщснньье фунныььн 136 Нетрудно проверить, что ряды слева и справа сходятся в о'.
С помощью формулы (11) перепишем равенство (35) в виде 2я ~ д(х — 2яй) = ~ Е(б(~ — й))(х). Ь= — 2С )ь= — сс Применяя это равенство к ()) е о, получим т. е. 2)г ~~ р(2яй) = ~ ~ГЦ((г). (36) Равенство (36) называется формулой суммирован) я Пуассона. Полагая в формуле (36) 1хв 1 (2(х) = ех𠆆, ), 4яя )' полу чим (37) Формула (37) применяется в теории эллиптических функций. 7. Примеры, п ) 1. а) Пусть квадратичная форма П Е аох(х, = (Ах,х), (,,1=1 А=(аг ), вещественна и положительно определена: (Ах,х) >(т~х~", гг > О. 2 ( 1 2(.— 2 2),г()) = 2я ~ ())(2яй) 2(г ~ (д(х — 2яй), р(х)) = 1= — сс Г(Ыà — 2))(*), „(*)) = ~ (б(б — й),Р(д)Ы)) = ~ ЕЬд](й), 2ят))яь ( С-'я~ '1 г (()2)(1) = ехр ~ — —, 1 > О, =л '( ) ух.б.
Преобразование Фурье обобщенных функций 137 Тогда хн?з г[е 1 е"1) = ехр — — (Е,А 'Е) (38) Для доказательства формулы (38) с помощью неособенного вещественного преобразования х = Ву приведем квадратичную форму (Ах,х) к диагональному виду: (Лх, х) = (ЛВу, Ву) = (В'ЛВу, д) = [у[', так что А ~ = ВВ', йе1 А (е(е1 В) ' = 1. Отсюда с помощью формулы (2?) получаем р[ — 14а,е4)(яе) / — 1Аа,е14-6аз1 з [из 1В[ / — 1АВо,ну1ть16Ви1 з те'пе1 Л ./ зе'оее А ..'.Я / ехр — — [В~с[ = ехр — — (с, ВВ~Я) ехр — — (~,А '() б) Аналогично, пользуясь формулой (30), получим и/я г'[еЦА"'1)(С) = ехр 4 4 — р ехр — — (Е, А 'я) .
(39) ъЯеСА 1 4 ) в) Пусть бя„(х) простой слой на сфере Вн в Кь (см. я 2.1, п. 6). Тогда (40) Действительно, учитывая, что бга финитная обобщенная функция, и применяя формулу (23), получиле "г[бя„)® = (дя (х),П(х)еда~1) = / 41(х)еце'е1е?ЯВ = о Вн Га. П. Обобигснньье функции 138 До / егн<6 > г)о До е гце~ о о'г Рг1бг1гб = 4яД сйп В[С[ о о [6 Тогда Р Р ® = — 2!пф — 2яСо, 1 [*[о [41) где постоянная ~' - у.[.) Г у.[.) Со=/ ди — / аги, / д / аг 1о . — функция Бесселя [см. ниже 8 Д.Ц.
Действительно,при всех р Е о справедлива цепочка равенств р' р —, [с) и[с) = Ру ~И[*) Г[р)[л) — Е[Д(0) /' Г[уг)[к) [ .[г к у,, [л[е 1 г' , / р(С)[ед С1 — 1)г)СгЬ+/ / уг[С)ед"С1г)ог1л ),4„[*[ / ' ./,.„,[к[ / г го" — / ~® / [~'"~С"" — Ц гЮгК~г1г + о г. о г~>1 г + / — / Оо® / .'"В' "н г1ВМ6г = о г'1 г = 2я / — / угЮ[7о(г'ф) — Ц г1~г)г+ 2я / — / ~р[ОХо[гф) г1~г1г о ,„[ [['г.( Ю) — ' „, ~" г.( ЮО,„~ = .~ (г)[~ ',' .+) " ' ./аг= г) Пусть п = 2. Введем обобщенную функцию Р— 4т из о', по[х[ ложна Га. П.
Обобщенньга функцсси 140 = 4я 1пп с1РН~. (44) Так как ~ вш]с]р соя]с]Л г ~ соя]с]р 1 г ' г1р 2 ]б] 1р = — ~1 я 1р < — +~1 н Р гг н Р и и Р~ то возможен предельный переход при  — ~ оо под знаком интеграла в последнем члене равенств (44). В результате, учитывая, что I ""]~]Р4р=-, К]~О, уо Р 2 получим Я ' ]сгс бсе] = с" "гссгс ("""сс" асс= "/'сссас откуда и следует формула (43). 8. 'Упражнения. Используя (31), (31') и равенство Р1т = — ~Р— ) (см. ~2.2, п. б, а)), показать, что: а) 1г(яцпх] = 2сР1, Р ~Р1~ = кгянпС; б) Е [Р-т~ = — яф, Е(]х]] = — 2Р-т, в) Г(0(х)х] = — гни'® — Рт.
4 г) Доказать, что ряд асс 1(х — й), ]аь] < (1+ ]й])'" сходится в Я'(К~) и г ~ з .,юс . — ~)] = з д) Пользуясь теоремой из ~ 2.4, п.4, доказать: если 1 Е ь '(К") СфЕричвеки СиммЕтрична (т.Е. 1(АХ) = Г"(Х) для вСЕх вращЕний А в К" ) или лоренп-инвариантна (см.
3 2.1, п. 9) и яр1 у" = (О), то у'(х) = = Р(сл)6(х) или Г" (х) = Р(П)6(х) соответственно, где Р некоторый полипом. з 2.б. Преобразование Фурье обобщенных фунииий 141 е) Пусть ) Е Ю'(Й~ ), вр1 1 С [ — а, а), н пусть и --. произвольная функция нз Р(К~ ), равная 1 в окрестности носителя 1. Доказать, что функция комплексного переменного х = х+ 1у 1(х) = (1(д),П(е)е"ь) (45) не зависит от и, целая и при некотором т > О удовлетворяет оценке: для любого е > О найдется Се > О такое, что [1(х+1у)[ < С,е~" "ебо~(1+ [х[)~.
(46) Обратно, если целая функция 1(х) удовлетворяет опенке (46) с некоторым т > О, то существует (единственная) функция 1 Е Р'(К~), вру 1 С [ — а, а), для которой имеет место представление (45) (теорема Пейли — Винера — Шварца). Глава 1Н ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАНА КОШИ В этой главе теория обобщенных функций применяется к построению фундаментальных решений и к решению задачи Коши для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности.
При этом задача Коши рассматривается в обобщенной постановке,что позволяет включить начальные условия в мгновенно действующие источники (типа простого и двойного слоя на поверхности ~ = 0). Таким путем задача Коши сводится к задаче о нахождении такого (обобщенного) решения данного уравнения (с измененной правой частью), которое обращается в нуль при т < О. Последняя задача решается стандартным методом -.— методом суммирования возмущений, порождаемых каждой точкой источника, так что решение ее представляется в виде свертки фундаментального решения с правой частью. ~ 3.1. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Для построения фундаментальных решений линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами применяется метод преобразования Фурье.
Этим методом, естественно, могут быть получены только фундаментальные решения медленного роста. 1. Обобщенные решения линейных дифференциальных уравнений. Пусть ~ п (я)д" и = )'(и), ~ Е Р', (а,'=0 Е" 3.1. Фундаментальные решени --- линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэффициентами а й С (й"). Вводя линейный дифференциальный оператор Ь(х,д) = ~ а,„(х)д )с )=о перепишем это уравнение в виде Л(х, д) и = 1(х). Обобщенным решением уравнения (1) в области С называется всякая обобщенная функция и б Ю'(С), удовлетворяющая этому уравнению в обобщенном смысле, т, е, для любой р Е Ю(С) (см. ~ 2.1, п. 2) (2) (ь(х, д) и, ф = (1, р). Равенство (2) равносильно равенству (2') (и,1'(х, )) = (ЛФ, ' е д(С), где ы Г(х,д)~о = ~~ ( — Ц'"'д (а„). ,'и,'=-о Действительно, ы т (1(х, д)и, ф = ~ ~ а„д"и,,о ~ = ~ (а дев, ф = ,'щ=о (и(=о Ш ы = ~ (д"и, а~уо) = ~ ( — 1)'ь~(и, д (а,„р)) = )щ=о (щ=о ы = (" л (-ч"'ь ь ы) = (е, '"ь.ь)л )и)=0 Ясно, что всякое классическое решение является и обобщенным решением.
Обратное утверждение сформулируем в виде следующей ломмы. ЛНММя. Если С' Е С(С) и обоби1енное решение и(х) уравнения (1) в области С принадлежит классу Сы(С), то оно является и классическим решением этого уравнения в области С. Гл. ПХ. Фундаментальное решение и задача Ковш Доклзятгльство. Так как и е '0'[С) пС [С), то классические и обобщенные производные функции и до порядка т включительно совпадают в области С (сьс.
~ 2.2, п. 1). Поскольку и обобщенное решение уравнения [1) в области С, то непрерывная в С функция ХДх, д)и — Х обращается в нуль в области С в смысле обобщенных функций. По лемме Дюбуа-Рейьсона (см. ~ 2.1, п. 5) Е(х, д)и — Х = О во всех точках области С, так что и удовлетворяет уравнению [1) в области С в классическом смысле. Лемма доказана. 2. Фундаментальные решения. Пусть Х дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, аа[х) = аа, т Цд) = ~ аад, Е*(д) = Х,( — д).
(4) /а!=о Фундаментальным решением [функцией влияния) оператора Х (д) называется обобщенная функпия С Е Ю'(И" ), удовлетворяющая в ья" уравнению Цд)Е = б(х). [5) Фундаментальное решение Е(х) оператора Цд), вообще говоря, не единственно; оно определяется с точностью до слагаемого Со(х), являющегося произвольным решением однородного уравнения Цд)Е = О.
Действительно, обобщенная функция д(х) + Ео [х) также является фундаментальным решением оператора Цд): Цд)(с + со) = Цд)с + ь[д)со = б[х) Лвммл. Для того чтобы обобщенная функция Е из Б' белла фундаментальным реиьением оператора Х(д), необходимо и достаточно, чтобы ее преобразование Фурье г'[Е) удовлетворяло уравнению [6) где ДОКЛЗАТВЛЬСТВО. ПуСть е Е У вЂ” фундамЕнтальнОЕ рЕшЕниЕ оператора Х [д). Применяя преобразование Фурье к обеим частям равенства [5),.
получим [7) ЯЦд)Е) = Е[б) = 1. йоц1. Фундалсентпаяанасе ренсения В силу формулы (16) из 0 2.5 имеем т Ш е(с(асс) =е(я д е] = Е е(д с] = )сс)ме )сс)мв ~ а ( — гЯ)~Р[6] = А( — Ц)Р(6]; (8) ,)а!.=О отсюда и из (7) вытекает, что Г(с] удовлетворяет уравненино (6). Обратно, если Р е ос удовлетворяет уравнению (6), то в силу (8) е удовлетворяет уравнению (7), откуда следует, что 6 удовлетворяет уравнению (5), т.е. является фундаментальным решением оператора т (д).
Лемма доказана. Доказаннал лемма сводит задачу. построения фундаментальных решений медленного роста линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами к решению в о' алгебраических уравнений вида (9) РЯХ = 1, где Р произвольный полипом. Как видно из уравненил (9), всякое его решение из ес (если таковое существует) должно совпадать с функцией вне множест- 1 ва свр нулей полиномов РЯ, Отсюда следует, что если Яг ~ о, то решение уравнения (9) не единственное: разные решения отличаются друг от друга на обобщенную фуНКцИЮ С НОСИтвяЕМ В 71ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
