Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Отсюда, пользуясь тем, что свертка ф ад существует в лв'(Кс') (см. п. 2), получим следующую цепочку равенств: (О 0 д), р) = -У * д, Ол 0) = дло(х + у) л = — !цп !гф(х) . д(у), цл(х,у) ь — лсо л дх! = — 1нп ф(х) д(у), — — ср(х + у) д(цлср(х + у)) дцл л — лес дхй дху се д =„!! (Л вЂ”., У(х) д(у))сцлд(х+у) + стцл ! + !цп ((х) . д(у), 'цл + — ) д(х + у) л — лос л л, дху — (У(х) д(у), цьФх + уИ = = ь1!и (0,1"(х) д(у), цлр(х+у))+ У*д, ~) — У*ус ~) = (до1*дс Ф, откуда и следует первое равенство (20) для д,. Второе равенство сле- дует из первого и коммутативности свертки: а!У*у) =В,(у*а=О,д*ф=ф*О,д.
Из равенств (20) вытекают равенства д ф = д"б*ф = б*д"ф, (21) Отметим, что существования сверток д~ф * д и ( * дадс ~а~ > ) 1, недостаточно для существования свертки !" * д и справедливости равенства д (ад= 1*деус например, 0'е1 = б*1 = 1, ио д*1' = = 0 е 0 = О. Другими словами, операция свертки, вообще говоря, не ассоциативна: 0*(б'*1) = 0*0 = О. (0*б ) *1 = 0'*1 = 1, г) Сдвиг свертки. Если свертка р*д существует, то существует и свертка ф(х + ел) * д(х), причем ф(х + Ь) * д(х) = (( в д)(х + Ь), 6 б 2", (22) т.
е. операции сдвига и свертки коммутируют. Действительно, пусть цл. (х,у), 1е = 1, 2,..., --. любая последовательность, сходящаяся к 1 в Кзн. Тогда при любом Ь Е 2" последовательность ць(х — 1с, у), к = 1, 2,..., также сходится к 1 в Кз". Теперь, Гл. П. Обоби«еннь«е фунт«чи 110 пользуясь определениями сдвига 1см. З 2.1, п.9) и свертки 1сл«.
п. 2), при всех «р е '01«1" ) получаем 1ш««у«х) . д1у), «1ь1х — 1«, у)р(х — 6+ у)) = 1пп 111х 4- 6) . д«у), ць1ху)«р1х 4-у)) = '«1«х+ 6) в д(х), «р)« что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой 19) для сдвига прямого произведения.
4. Существование свертки. Установим достаточные условия 1помиь«о приведенных в п. 2) существования свертки в Ю'. Ткогкмл 1. Пуси«ь у' произвольн я, а д финитная обобщенные функции. Тогда свертка у *д суи«ествует в Ю' и представляется в виде (~ яд, «р) = ®х) д)у), ц«у) р1х+ у)), «р Е Ю, (23) где ц . любая основная функция, равная 1 в окрестности носителя д. При этом свертка непрерывна относительно у" и д в отдельносп«и: 1) если )ь — ь О в П', к -4 оо, то уь * д 4 О в П', к — «оо; 2) если дь — ь О в Р, 1 — ~ оо, причем вредя с Юн, где Л > О не.
зависит от «« = 1,2,..., то у * де — у О в '0', й — ~ со. Доклзлткльство, пусть вр«д с Гп, и функция из «з1к"), равная 1 в окрестности вр1д, врсц С Гн 1по лемме из ~ 2.1, п.2 такая функция существует). Пусть, далее, 1о произвольная функ- ция из '01«ян), зр1«о С Гд и ць1х,у), /с = у = 1,2,..., .- последовательность, сходящаяся к 1 в Кз" 1см. п. 2).
Тогда при всех достаточно больших к «11«у)ць(х, у) р1х+ у) = ц1у)фх+ у). 124) Для доказательства равенства 124) следует проверить, что функция Ряс. 24 «1(у)фх + у) принадлежит Ю1«4зь). Но зто вытекает из того, что она бесконечно дифференцируема и ее носитель лежит в ограниченном множестве (рис.24): 11х, у): !х+ у( ( А, )у/ ( Л) С Глл н х Пн. уй.Х Свертка обобисенных функций Учитывая теперь соотношение (24) и равенство д = с1д (см. (10) из 3 2.1), убеждаемся в справедливости формулы (23): У д, у ) = „11 У(х) д(у), ць(х, у) р(х + у)) = 1пп (((х) . с1(у)д(у), с1ь (х, у)ср(х + у)) = 1пп (1(х) д(у), с1(у)пь(х, у)ср(х + у)) = (1(х) . д(у), с1(у)со(х + у)). Непрерывность свертки ( е д относительно ( и д вытекает из представления (23) и из непрерывности прямого произведения ((х) д(у) относительно ( и д в отдельности (см.
п. 1, а)). При атом Условие ЯР1 де С Гн позволЯет выбРать вспомогательнУю фУнкцию пб единую для всех дь. Теорема доказана. Дадим еще одно условие существования свертки. Обозначим через 0' совокупность всех обобщенных функций из 0'(Кс ), обращаю- шихся в нуль при 1 ( О. Тгоргмя 2. Пусть у,д е '0' . Тогда их свертка ф яд еущест; вует в '0' и представляется в виде ((*д,ср) = ®1) д(т), с1с(1)с1г(т)Се(1+т)), ср 6 Ю(К'), (25) где у„цг любые функции класса 0 (Кс), равные 1 в окрестности полуоси [О, оо) и 0 при достаточно боль сассх отрицательных а При оспом свертка непрерывна относительно 1" и д в отдельности, например, если (ь Е 0' и (р„— « 0 в '0', Й вЂ” с оо, спо )ряд — > 0 в '0', Й вЂ” с ос. Доклзаткльство.
Доказательство аналогично доказательству теоРемы 1. Наметим его. ПУсть со(1) Е 0(К~) и с1ь(1, т) сходитсЯ к 1 в Кг (см. п.2). Тогда при всех достаточно больших к справедяиво равенство с1с (1)та(т)с1ь(1, т) ср(1 + т) = с1с (1)т1з(т)ср(1 + т) Е 0(К~ ). Учитывая зто равенство и равенства ф = цс (, д = цсд (см. (10) из 32.1), убеждаемся в существовании свертки 1 * д в '0'(Кс ) и в справедливости формулы (25): (ф яд, ср) = 1спс (ф(1) д(т), ць(1,т)ср(1+т)) = 1шс (с1с(1)ф(1) т1з(т)д(т), с1я(1,т)ср(у+ т)) = = 1спс (1"(1) д(т), с1с(1)с1г(т)с1ь(1,т)ср(1+ т)) = (1(1) д(т)., с1с(1)с1г(т)ср(1+ т)). Гл. Ей Обобщенньтв функции 112 Из представления (25) следует, что 7' * д = О при у ( О (т, е, 1' в д Е Е тт ), и остальные утверждения теоремы.
Представление (25) влечет Слгдствиг,. Свертка обобщенных функций из '0' коммутативна и ассоциативна: 1 * дт = д * ), У * (д л и) = (7 * д) * и, ), дмй Е 'ьт Опггьдглгнигь. Линейное множество А называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого сомножителя в отдельности. Алгебра А называется коммутпатпттвной, если ху = ух для всех х, у е А, и ассоциапптвной, если х(уг) = (ху)х для всех х, у, г е А. Теорема 2 и следствие из нее утверждают, что тт' образует коммутативную ассоциативную алгебру, если в качестве у.множения взять операцию свертки *; поэтому.
тт' называется сверточной алгеброй. Единицей в Р' является б-функция, поскольку б ь 1' = 1" для всех 7" Е '0' . 5. 5'равнения в сверточной алгебре ТУ+. В алгебре Р'„ рассмотрим уравнение (26) а*и=7, где а и 1 - -- известные, .а и - неизвестная обобщенные функции из '0' . Решение уравнения (26) при 7' = б, если оно существует, называется фундаментальным решением сверточного оператора ав и обозначается а т. Другими словами, а т обратный элемент к а в алгебре Р~, а * а ' = б; отметим, что в этом случае и а ' * а = 5, поскольку алгебра 71'т коммутативная. ТеОРемА. Если а ' сущестпвует в 'ьт'т, то длл любой 7 из тт'т рставнив уравнения (26) в Ю' существует,, единственно и вьтразсается формулой и=а '4:7. (27) ДоклзАтгльство.
Действительно, свертка а * 7 принадлежит тт и удовлетворяет уравнению (26); а ь 1а ' ь 7") = (а * а ') * 7" = б ь 7" = 7'. Так как однородное уравнение а в ио = О, соответствующее уравне- нию (26), имеет только нулевое решение; а " * (а в ио) = (а ' ь а) * но = 5 * ио = ио = а ' ч О = О, В 2.3. Свертка обобщенных функций то решение уравнения (26) единственно в '0' (см, г 1.1, п.9). Доказанная теорема сводит задачу решения уравнения (26) при произвольной 1 из Ю' к решению его при конкретной 1" = б, т.е, к нахождению а Следующее предложение весьма полезно при построении фундаментальных решений в алгебре Х>'ь: если и ~ и а ' существуют в Х>'ь, то — 3 -1 — 1 (аг * ог) = аг * о1 (28) Действительно, (аг *аг) * (а.
ь а ) = о, * (аг ь о' ) *а = аг ь б * о. = ог * а = б. -1 — 1 -1 -1 — 1 — 1 В качестве полезного примера определим в алгебре гг' операторы дробного дифференцирования и интегрирования. Для этого введем обобщенную функцию у„из Р~, зависящую от вещественного параметра о: х~ ', а>О, 1„(х) = Г(а) а <О. Проверим,что (29) Действительно, если а > О и Д > О, то (см. (15)) О(х) 1" Г(а)Г1а) / (1 — 1)В г11 = Г( )ГР),/, й(х)х~чь ' В(х)хо+о Г(а)Г(Д) ' Г(а + 6) причем мы воспользовались известной формулой В(а,® = 1 ~(1 — 1)в 'пс = ,/~ Г(а)Г(,9) Коли же а < О или Д < О, то, подобрав натуральные числа т > — а и и > — Д, получим Оь) (и) (т-ьв) (тг- О гьь * Гв = Хъет * Г~д+п (Уь-ьт * 1в+и) 1ь+в<ьтг,и Льв' 8 В.
С. Вльлимьрот В. В. Жьрьтьь Гл. П. Обоби»еннв»е фуннц«»и 114 что и требовалось доказать. Рассмотрим сверточный оператор 1 » в алгебре Ю' . Так как уо = б, то из (29) следует, что фундаментальное решение )' » оператора 1,* существует и равно 1 „,т.е. 1 ' = 1 . Далее,при целых п < 0 имеем 1„= б«"1, и потому 1„*и = б~ "~ «и = и«" ~, т.е. 1„* --- оператор и-кратного дифференцирования. Наконец, при целых и > 0 У, и)'"' =1 — вУ»*и) = У-.*1«»)*и= б*и=и, т.е.
1"о * и -- первообразная порядка и обобщенной функции и (сьь 'у'2.2, п.3). Поэтому оператор 1о* называют оператором дробного дифу»ерениирования при о < 0 и дробного интегрирован я при о > 0 (а также операп»ором Риз«ана — Лиувилля). 6. Регуляризация обобщенных функций. Пусть 1 обобщенная функция и у, --- основная функция. Поскольку йв финитна, свертка 1» у«существует по теореме 1 из п. 4. Докажем, что (30) 1 * й» = (1(у), Ях — у)) Е С о(1«").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
