Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е) Доказать: если обобщенная функция инвариантна относительно всех сдвигов, то она постоянная. ж) Доказать, что система обобщенных функций днб(х), ~о~ = = т, ш = О, 1,..., линейно независима. з) Доказать, что ряд ~ аьб(")1х — й) у=1 1 хи' = Р—, х' хи=Р—, и х и = с) + сгд1х) + 1(г ф, 1 и = сг + с В(х) — Р—, 1 = сг + сед(х) + сгб(х) — Р—, и = сб(х) + Р—, И' Гж П. Обобщенные функяььн 102 Это определение корректно, т.е.
гьравая часть равенства (3) определяет линейный непрерывный функционал на Ю(К" н"'). Действительно, можно проверить, что функция еь(х) = (д(у), Р(х уИ принадлежит Р(Кн), так что правая часть равенства (3), равная (1, бь), определяет функционал на е(К" е'") для любых обобщенных функций ( и д. Линейность этого функционала следует из линейности функционалов 1 и д. Можно доказать, что этот функционал и непрерывен на е(К"+'"), так что 1(х) д(у) Е Хн(Кне ), т.е. является обобщенной функцией на Кн ньн. Перечислим свойства прямого произведения.
а) Операция прямого произведения 1(х) д(у) линейна и непрерывна по 1 (из 'еь'(К") в '0'(К"т'"И и по д (из Р'(К ) в еь'(К"тн'И, например: [Ль (ь(х) + Лг,( (х)) д(У) = Ль[(ь(х) . д(У)) + Лг[(г(х) д(у)), (ь(х) д(у) — 1 0 в Яь(Кн ' "')ь если (ь — 1 0 вЯь(Кьь), к — 1 оо. б) Ассоциативность прямого произведения: пусть 1 Е еь(Кн), д е Юь(К ) и 6 е Юь(К" ), тогда 1(х) [д(у) й(г)) = [)(х).д(у)].1ь(г). (4) Действительно, если ьр е Ю(Кн н ~" ), то (й ) [УЬ) 1ь(г))ьр) = У(х) ЬЬ) й(г) Ф) = = У(х), ЬЬ), (й(г), ч') И = = (1"(х) . д(у),(М ) рИ = ([2'(х) . д(у)) .
А( )ь р). в) Комньутативность прямого произведения: пусть 1(х) Е ье(Кн) и д(у) Е 1ь'(К"'); тогда (5) У(х) УЬ) = д(у) . 2'( ) Действительно, в соответствии с формулой (3) прямое произведение д(у) ((х) определяется равенством (д(у) .1(х), р) = (д(у),(у(х),ьр(х,уИ).,р е 'бь(К"' ). (3) На основных функциях р вида р(х,у) = ~~ ие(х)п,(у), и, Е е (К"), г, Е е (К ), (6) й Е.3. Свеунгко обобиЕеннмх функций справедливость равенства (5) проверяется непосредственно; ое ое иве г 5г), г) = (х, К (г, "е) = К а " нг "в = г=1 г=1 = (г,е..;а.в) =(г(г) Л.г,,) г=1 С помощью теоремы Вейерштрасса (см.
й1.1г п. 3) можно доказать, что множество основных функций вида (6) плотно в ег(вани'и). В силу непрерывности прямого произведения отсюда следует справедливость равенства (5) на всем Р(К"г ). г) Дифференцирование прямого произведения: (7) д:У(х) д(у)) =д1(х) д(у) В самом деле, если гр е 'Р(вг"+го), то (см. й2.2, п. 1) (д.[У(х).дЬ)), р) = ( — 1)' '(У(х) дЬ), д,Ф = = ( — 1)~~~ (д(у), (1(х), д" р(х, уИ) = = ЬЬ) (д 1(х) рИ = (д" 1(х) д(у) г р). д) умножение прямого произведения: если а Е Сг"г(вин)г то а(х)(1(х) .
д(у)) = а(х)1(х) д(у). (8) Действительно, пусть гр е е (Внтгв), тогда (см. й 2.1, п. 9) (а(х)(1(х) .д(у)), гр) = (1(х) .д(у), ар) = = (1(х), (д(у), а(х)гр(х, уИ) = (1(х), а(х)(д(у), гр(х, уИ) = = (а( Шх)г (дЬ),Фх,у)И = (а(х)7(х) дЬ), р) е) Сдвиг прямого произведения: (у д) ( + у у) = у(х + й) . д(у). В самом деле, если гр е Р(Кв его), то (см. й 2.1, п. 9) Иу д)(х + й,у), Ф = У(х) д(уЪ Ф вЂ” 5, у)) = = ЬЬ), У(х),р(х — й,уИ) = = (дЬ) (.г(х+5),р(х,уИ) = Их+5).д(у), р) Га. П.
Обобщенные функяви 104 ж) Говорят, что обобщенная функция не зависити от у, если она имеет вид 1(х) . 1(у). В этом случае в силу (5) (е(*) еу).,) = (л.), ),ь,,) рь) = = (1(у) 1(х), ее) = ~Ц(х)гд(х,д)) е1у для всех уе Е 'еэ(11"~и ). Таким образом, с Е( Е) еэ,иее) =) УЬЕе(,ееер, у" е Ю'(К" ), 'р е Х>(ре"~ ). (10) 2. Определение свертки обобщенных функций. Длл локально интегрируемых в Ьв функций 1(х) и д(х) их свертка 1 е д определяется формулой (1). Если интеграя (1) есть локально интегрируемая в 2" функция, то свертка )' е д определяет регулярную обобщенную функцию, действующую на основные функции ее Е ь (й") по правилу и+бе) = /(е дуе)м)де= 1' '0 е(еу(е — и)ее/ е(е)ее= =/""У" — ""4~" =/" У"'"" "./ т. е.
(1 *д,д) = ~~ )(х)д(д)р(х+д) Пхееу, ее Е Ю(К"). (11) Ь(х) = )Д * )д)(х) = / )~(д) ( (д(х — у) ( Йд 6 ел„. (12) Отметим, что мы воспользовались здесь теоремой о перестановке порядков интегрирования и о равенстве повторных интегралов кратному (см. [2)). Применимость этой теоремы будет заведомо обоснована, если мы предположим, что свертка ф е ~д~ (х) локально интегрируемых в К" функций ~ )(х) ~ и ~д(х)~ есть локально интегрируемая в К" функцил у И.вц Свертка вбвбцеенных функций 105 При этом будет справедливо неравенство ИУ*д)(хИ < Цх) (13) Отметим три случая, когда приведенное выше у.словие выполнено и, стало быть, свертка 1" * д существует.
1) Хотя бы одна из функций 1, д финитна, например яро д С Гр.. Мх) и= 1 ЬЬН /' т:-д)~:Ь< и эи эи < 1' МЫ~1у)' УЯ~ й< а ие э ин+е Формула (1) принимает вид у*дН ) = / ду)йх — у) у оп (14) 2) Функции ф и д обращаются в нуль при х < 0 (и = 1): / 6(х)дх = / / ~д(у)~ ~Дх — д)~е1удх = — Я о о В и В Л =У. ~ ~)~1 .— ".""-1 "уУ. Формула (1) принимает вид (ф е д)(х) = 1 д(у)Дх — у)е1у. уо (13) 3) Функции у" и д интегрируемы на Кн: Ых) е1х = /!аЬНФх — у) ~ е1х Ь = /ЬЫ е1д~ 1У®! е1С < так что в этом с.тучае свертка ф * д интегрируема на Кн. БУдем говоРить, что последовательность (иь) основных фУнкций из Ю(К") сходится к 1 в К', если: а) для любого компакта 1т найдется такой номер Х, что тх) = 1 при х Е К и й > де; б) функции ~дь) равномерно ограничены в К" вместе со всеми производными, ~д"иь(х)~ < С, х Е К", й = 1,2,..., а любое.
Гж П. Обобнтенньте фуннцттн 166 Возможный график функций последовательности (тть(х) ), й = 1, 2,..., приведен на рис.23. Рис. 23 Отметим, что в силу леммы из 2 2.1, п. 2 такие последовательности всегда существуют. Докажем, что равенство (11) можно переписать в виде (те ддт) = 1пп (т(х) .д(у), т1ь(ху)р(х+у)), р Е с (Р."), (11) где тть(х, у), й = 1, 2,...., — любая последовательность, сходящаяся к 1 В Кэтт. действительно в силу условия (12) функция ~.Пх)д(у)тт(х "у)~ интегрируема на Кзн для любой р Е с (К"). Поэтому, применяя теорему о предельном переходе под знаком интеграла (см.
(2)), получим Ях)д(у)<р(х+ у) дхс1У = 1пп / ((х)д(у)ць(х,.дур(х+ у) с1хйу, что в силу (1Ц эквивалентно равенству (11'). Исходя из равенств (1Ц и (11') примем следующее определение свертки. Пусть обобщенные функции 1 и д из тл'(К") таковы, что их прямое произведение ((х) . д(у) допускает продолжение (см. ~ 1.1, п.8) (т(х) д(у), р(х -~- у)) на функции вида ~р(х+ у), где р произвольная функция из 1т(К" ), в следующем смысле: какова бы ни была последовательность (т1я) функций из Р(П12н), сходящаяся к 1 В Ктн, СущЕСтВуЕт ПрсдЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтн 1пп (Дх) . д(у),тр (ху)ут(х+ у)) = (((х) д(у), р(х+ у)).
(16) Отметим, что при каждом й функция т1ь(х,у)р(х+ у) принадлежит Ю(К2"), так что наша числовая последовательность определена; кроме того, предел (16) этой последовательности не зависит от выбора последовательности (т1ь). Сеертинвй те и д таких обобщенных функций т' и д называется функционал й" е.оц Свертка обоби«еннмх функций 107 У * д, р) = У(х) . д(д), р(х+ дИ = 1пп (х(х) ' д(д) хь(х д) р(х + д)) <р а 77(Ка) (17) Докажем, что функционал ф э д принадлежит е«'(Кн).
Для зтого в силу полноты пространства ех'(К") (см, й 2.1, п.З) достаточно установить непрерывность линейных функционалов (7(х) . д(д), ця(х,д)~р(х+ д)), й = 1,2,..., (18) на Ю(Кн). Пусть р„— «О в е(Кн), о -+ оо. Тогда Оя(е,д) р,(е+ д) — «О в 1«(КЯ'), к — + со, поскольку «1« ~ е (Кза). Отсюда в силу непрерывности функциона- ла ф(х) . д(д) на ь(Кан) (см. п. 1) получаем (7(х) .д(д), «1е(х.,д)р,(х+д)) — «О, н — «оо, что и доказывает непрерывность функционала (18) на х(Ки). Заметим, что функция р(х + д) не принадлежит 'е«(КЯ" ) (она не финитна в Ка" ), так что правая часть равенства (17) существует не для любых пар обобщенных функций 7" и д, и, таким образом, свертка существует не всегда.
Например, свертка локально интегрируемых функций 7" (х) = 1 и д(х) = д(х) не существует в Ю'(К«), поскольку для всякой р Е Ю(К' ) должно быть (1 е д, р) = 11п«(д(д), ««я(х, д)и«(х + д)) = 1пп ~ / пь(х, дрр(х + д) е1хе1д, а последний предел не существует (иначе он был бы равен ~ р(х) дх х х 1 е1д, где первый интеграл всегда конечен, а второй расходится). зо Свертка любой обобщенной функции 7" с д-функцией существует и равна 7; Действительно, пусть р Е е (К") и (Оя) любая последовательность функций из е (Кзн), сходящаяся к 1 в Ка". Тогда пя(х,О)и«(х) †« р(х) в е (К"), й †« ж, Гль Ке Обобгвеннььа функции 108 и поэтому 1пп (Д(х) . б(у), уя(х, д) р(х+ у)) = 1пп (((х), уя(х,.
0)р(х)) = ((, р). Отсюда в силу. определения (17) следует, что свертки 1 * б и б * 1 существуют и равны 1, что и утверждалось. 3. Свойства свертки. а),Линейность свертки. Свертка 1 в д линейная операция из Ю' в Р' относительно 1 и д в отдельности, например, (Л17г + Ля (з) в д = Л1(~1 ь д) + Лз(згя ь д), (~, Я, д й Р, при уг човии, что свертки у1 * д и 1з * д существуют. Это свойство свертки непосредственно следует из определения (17) и из линейности прямого произведения 1"(х) .
д(у) относительно 7 и д в отдельности (см. п. 1, а)). Отметим попутно, что свертка 1 яд, вообще говоря, не является непрерывной операцией из '0' в Р' относительно 1 или д, например, б(х — й) — ~ 0 в Р'(11' ), й -+ со, но 1*у(х — 1г) = 1 0 в Р'(й~), й -э со. б) Коимутптивность свертки. Если свертка 1 *д существует, то существует и свертка д * 1 и они равны: (19) Это утверждение вытекает из определения свертки и из коммутативности прямого произведения (см. п.
1): (1 * д, р) = 1пп ®х) д(у), пя(х, у)~р(х + у)) = = 11п1 (д(у) .((х), уу(х, у)р(х + у)) = (д * 7, р), :р Е Р. в) Дифференцирование свертки. Если существует свертка 1" в д, то существуют и свертки д" Р * д и 7 * дьд, причем (20) д 1*у =д (у*д) = 1*дпд. Это утверждение достаточно доказать для первых производных д, 1 = 1,..., и. Пустыр 6 Р(й1") и уь(х, у), й = 1,2,..., сходится к 1 в йзп. Тогда последовательность пь + -"- также сходится к 1 а-, д:г, бд.Х Свертка ооооиленных функций в 1лзн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
