Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Наконец, может вовсе не быть непрерывной зависимости решения от начальных данных Это показывает пример, впервые построенный Адамаром. Решение задачи Коши 64 Гл. 1. Поеенанзенп краеемз задач зеатемажинеекой физики Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно (в смысле определения из п.
6). 9. Классические и обобщенные решения. Изложенные в предыду.щих пунктах постановки задач характеризуется тем, что решения их предполагаются достаточно гладкими и они должны удовлетворять уравнению в каждой точке области задания этого уравнения. Такие репюния мы будем называть классическими, а постановку соответствующей краевой задачи классической постановкой. Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных. Однако в наиболее интересных задачах эти данные могут иметь довольно сильные особенности. Поэтому для таких задач классические постановки уже оказываются недостаточными.
Чтобы поставить такие задачи, приходится отказываться (частично или полностью) от требований гладкости решения в области или вплоть до границы, вводить так называемые обобщенные решения. Но иногда встает вопрос о том, какие функции можно называть решениями уравнения. Чтобы сделать это, необходимо существенно обобщить понятие производной и вообще понятие функции, т. е. ввести так называемые обеби1енные функции. Изучению этого вопроса целиком посвящается следующая глава. Глава 11 ОБОБЩЕННЫК сРУНКЦИИ Возникновение обобщенных функций связано с именами многих математиков и физиков. Простейшая обобщенная функция знаменитая д-функция использовалась Д. Максвеллом (1873г.) в работах по электродинамике, О.
Хевисайдом (1899г.) в работах по операционному исчислению, П. Дираком (1926 г.) -- в работах по квантовой механико. Ненапрасно б-функция носит имя Дирака. Основы математической теории обобщенных функций были заложены С.Л. Соболевым (1939г.) и Л. Шварцем (1950г.).
В дальнейшем теория обобщенных функций интенсивно развивалась многими математиками. Быстрое развитие теории обобщенных функций стимулировалось главным образом потребносгями математической физики, в особенности теории дифференциальных уравнений и квантовой физики. В настоящее время теория обобшенньсс функций далеко продвинута вперед, имеет многочисленные применения в физике и математике и прочно вошла в обиход математиков, физиков и инженеров. 82.1. Основные и обобщенные функции 1. Введение.
Обобщенная функция является расширением классического понятия функции. Это обобщение, с одной стороны, дает возможность выразить в математической форме такие идеализированные понятия, как, например, плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного точечного источника,интенсивность силы, приложенной в точке, и т.д.
С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт,что реально нельзя, например, знать плотность вещества в точке, а можно измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить ее плотностью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими «средними значениями» в окрестностях каждой точки. а В.
с. Владимиров, в. В. жаринов Га. П. Обобшеннмс функпни Чтобы пояснить сказанное, попытаемся определить плотность, создаваемую материальной точкой массы 1. Считаем, что зта точка находится в начале координат. Чтобы определить зту плотность, распределим массу 1 равномерно внутри шара Гг. В результате получим среднюю плотность ( 3 [х[ < е, Уе[х) = 47Гж ' ~о, [ [>. Примем сначала в качестве искомой плотности [мы ее обозначим через 6[х)) поточечный предел последовательности средних плотностей 1, [х) при е — > О, т. е.
б[х) = 1пп 1,[х) = ~ От плотности д естественно требовать, чтобы интеграл от нее по любому объему 1с давал массу вещества, заключенного в атом объеме, т. е. ~3[) (1, если 061; 6[х) 0х = ~0, если ОфК Но в силу [Ц интеграл стева всегда равен нулю.
Полученное противоречие показывает, что поточечный предел последовательности 1,[х), е — ~ О., не может быть принят в качестве плотности 3[х). Вычистим теперь слабый предел последовательности функций 1, [х), е -+ О, т. е. для каждой фиксированной непрерывной функции д найдем предел числовой последовательности / 1, [х) р[х) дх при е — ~ 0 [см. 3'1.1, п.8). Покажем, что !пп / ~,[х),р[х) йх = у[0). Действительно, в силу непрерывности функпии ~р[х) для любого О > 0 существует такое ее > О, что [р[х) — р[0) [ < и, коль скоро [х[ < < ес [см.
[2)). Отсюда при всех е < ее получаем Я*)у[*) — [О) = 1 [х[ ) — [0)) 3 4 ез 3 й 3 з / [Ф[х) У[о)[~ 0 з / ~ 9 '1 не 4яез /~ ~< 62.1. Основные и обобщвннь»в 4унии»»и б7 что и утверждалось. Таким образом, слабым пределом последовательности функций 1»(х)» в — ~ О, является функционал, сопоставяяюший каждой непрерывной функции р(х) число»7»(0) ее значение в точке О. Вот этот-то функционал и принимается за определение плотности 6(х); это и есть известная 6-д)уикиия Дирака. Итак, 7»(х) » 6(х), в — » О, в том смысле, что для любой непрерывной функции р(х) справедливо предельное соотношение 1»(х)»»»(х) дх — » (6, »о), в — ~ О, где символ (6,»»о) обозначает число»»о(0) значение функционала 6 на функции»о.
Чтобы восстановить теперь полную массу, нужно подействовать функпионалом (плотностью) 6(х) на функцию»о(х) = 1: (6, 1) = = 1(0) = 1. Если в точке х = 0 сосредоточена масса т, то соответствующую плотность следует считать равной т6. Если масса го» сосредоточена в точке хо, то ее плотность естественно считать равной т6(х — хо), где (т6(х — хо),»»»(х)) = то»(хо). И вообще, если в различных точках хь сосредоточены массы тя, Й = 1,2,..., »У, то соответствующая плотность равна т»6(х — хя).
я=1 Таким образом, плотность, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия фу нкции, и для ее описания следует привлекать объекты более обшей математической природы -- линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции). 2. Пространство основных функций Ю. Уже на примере 6-функции видно, что она определяется посредством непрерывных функций как линейный непрерывный функционал на этих функциях (см. ~ 1.1» п.8). Непрерывные функции, как говорят, являются основными д»ункииями для 6-функции. Эта точка зрения и берется за основу определения произвольной обобщенной функции как линейного непрерывного фу.нкпионала на пространстве достаточно «хороших» (основных) функций.
Ясно, что чем уже пространство основных функций, тем больше существует линейных непрерывных функционалов на нем. С другой стороны, запас основных функций должен быть Гж П. Обобсценные функции д'.рь(х) =$ д~~р(х), х Е Вк, й -в со. В этом случае будем писать; рь — у ~р в с, к — ~ оо. Линейное множество д с введенной в нем сходимостью называется пространством основных функций Р. Операция дифференцирования р(х) е+ дор(х) непрерывна из ?з в 'О. Действительно, если уоь — > О в д, 1 — > со, то; а) врт сов Е Пн при некотором В > О и всех 1. = 1,2,...; б) при каждом о д"|рь(х) ~ О, х Е К", Й вЂ” ~ со. Тогда; а) вртдорь С Пн для всех 1с = 1,2,...; б) при каждом о д ~дбрь(х)) = д'+""рр„.(х) .=4 О, х е 2"', й — э оо, в силу определения сходимостн в '0 означает, что дерь — ~ О в ы, к — у со.
Это и значит, что оператор дб непрерывен из с в Ю (см. ~ 1.1, п.8). Аналогично, операции неособенной линейной замены переменных у1х) ев у(Ах+ Ь) и умножения на функцию а(х) Е е С (11~), ~р(х) ~ у а1х)р(х), непрерывны из Ю в 'ь'. Совокупность основных функций, носители которых содержатся в данной области С, — — Π— — 1 х обозначим через '0(С); таким 2 4 4 2 образом, а это Рис. 12 'й(С) с 'с (2") = 'д.
В связи с приведенным определением возникает вопрос; существуют ли основные функции, отличные от тождественного нуля? Яс- достаточно велик. В этом пункте мы введем важное пространство основных функции д. Отнесем ко множеству основных функций д = 12(И'"" ) все финитные бесконечно дифференцируемые в К" функции. Сходимость в Г определим следу ющим образом. Последовательность функций ~р ы сею... из '0 сходится к функции со из д, если: а) существует такое число?? > О, что врс хь с Пн; б) при каждом о = (ом оя,,,., о„) еем. Осноеные и обобщенные функции но, что такие функции не могут быть аналитическими в Кн (сьт.
91.1, п. 1). Примером основной функции, отличной от нулевой, является»шапочка» (рис. 12) ез С,ехр —,„, (х~ < е, ~О, (х! > е. Постоянную Ст выберем так, чтобы / отт(х) дх = 1, т, е. Легко поверить, что 1 х отс тх) — сот ( ) ° Следуюшая лемма дает другие мнот очисленные примеры основных функций. Лкммл. Для любой обласп»и С и любого числа с > О сущестеуепт функция ц Е С' 1Кн) таакая, чпто О ( ц(х) ( 1, :т)(х) = 1 при х Е С,-; т~(х) = О при х ф Сее. (График функции»1(х) при С = (а, о) изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
