Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Смешанная задача. Для уравнения колебаний (1) (гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию и(х,е) класса С-(Цт) О С'(ЦЦт), удовлетворяющую уравнению (1) в цилиндре Цт, начальным условиям (4) при 1 = О, х Е Е С (на нижнем основании цилиндра Цт) и граничному условию ди ои+д — =и дп (14') называется задачей Неймана. Аналогично ставятся краевые задачи для уравнения (3) и во внешности ограниченной области ел (внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия (14) на Я, задаются еще условия на бесконечности.
Такими условиями, например, могут быть: у.словия излучения Зоммерфельда (22) из 81.2 для уравнения Гельмгольца или Шредингера (см. 8 1.2); условия вида $1 4. Постановка основных нрасвььх задач 59 (на боковой поверхности цилиндра Цг). При этом необходимо долж- ны быть выполнены условия гладкости 1' 6 С(Цт), ио Е С (С), и, Е С(С), и Е С(Я х (О,Т)) и условие согласованности дио сьио+ д = ~4с-о дп (21) ди — — иь — ьО, 1 — «+О. д1 (22) Для задачи Неймана для уравнения Лапласа выполнения граничного условия (16) можно требовать в следующем смысле: ди(х') :а и,(х), х е 5, х' — ь х, х' е С, .х' е — п,. (23) дп, 5.
Другие краевые задачи. Сформулируем еще две краевые задачи, часто встречающиеся в математической физике. а) Задачи Гурса. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение гиперболического типа с двумя независимыми переменными в каноническом виде (см. 9 1.3, и. 4) дои ди ди + а — + 5 — +си = 1(х,у) д ду д ду (24) Аналогично для уравнения диффузии (2) (параболический тип) смешанная задача ставится так: найти функцию и(х, 1) класса Сз(Цт) Г~ С(Цт), 5гас1, и Е С(Цт), УдовлетвоРЯющУю УРавнению (2) в Цт, начальному условию (5) и граничному условию (14). Злмгчлнии.
Решения поставленных краевых задач с гладкостью С' вцаоть до границы области задания уравнения существуют но всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от требования такой гладкости и требовать, например, чтобы решение было только непрерывным вплоть до границы области. Эта постановка лвляется естественной в задачах, не содержащих первых производных в краевых условиях, например, для уравнений (2) и (3) с граничным условием 1 рода.
Если же в краевые условия входят первые производные, то в каждом конкретном случае необходимо указывать, в каком сьсысле должны быть выполнены эти краевые условия. Например, для смешанной задачи для уравнения (1) выполнения второго из начальных условий (4) можно требовать в смысле Сз(С): 60 Гл.й Постановка красота задом математическая физики с непрерывными коэффициентами а, Ь и с в замкнутом прямоугольнике П, П = (О, хо) х (О, уо).
Требуется найти функцию и1х,у) класса С (П) Г1 С(П), исо е е С(П), удовлетворяющую уравнению (24) в прямоугольнике П и при- нимающуюнаегосторонаху=О, 0<х<хо и х=О, 0<у<уо (рис.10) заданные значения и~о=о = О21(х), и~*=о = ~Р21у). 125) Уо При этом должны быть выполнены условия гладкости 0 ~Р~ хо л. 1 Е С(П), р1 Е СЯО,хо)), ооз 6 СЯО,уо]) Рис. 1О Дза Пзи к~у) 2+ 2 =О, д ау (26) где Тл 10) = О, Тл '1у) > О,. у ф О При К(у) = у уравнение (26) превращается в уравнение Трикоми (см. 3 1.3, и.
5). У Пусть односвязная область С в ао плоскости (х,у) разделена параболиио ческой линией у = 0 уравнения Трио, коми на две части: эллиптическую Сл(у > 0) и гиперболическую Сэ(у < 2 Л.2 Х < 0). Предположим, что область С1 в Ч ол у > 0 ограничена кусочно гладкой крис, вой Яо, которая оканчивается в точках х1 и х2 х1 < х2> на оси х а Рис. 11 область С2 в у < 0 ограничена дву.мя пересекающимися характеристиками 51 и 52 уравнения (26) (ср. 21.3, п.5), проходящими соответственно через точки хл и хз на оси х (рис. 11).
и условие согласовзнности у21(0) = ю (0). Отметим, что в задача Гурса задается одно краевое условие на двух пересекающихся характеристиках уравнения (24). б) Задачи Траками длл уравнения Чаплыгина. Уравнение Чаплыгина имеет вид 614. Постановка основныа краевыа задач Требуется найти функцию и(к, р) класса Сз(С1 'с1 Са) П С'(С) П П С(С), удовлетворящую уравнению (2б) в областях Сь и Сз и принимающую на дуге Яв и на одной из характеристик, например, на Яы заданные значения и(в = ив, и)в = ~р. (27) При этом необходимо, чтобы ио е С(Яв), ьз 6 С(5ь) и ио1ль) = чз(жь) 6.
Корректность постановок задач математической фнзнкн. Так как задачи математической физики представллют собой математические модели реальных физических процессов, то их постановки должны удовлетворять следующим естественным требованиям. а) Решение должно существовать в каком-либо классе функций Мы б) Решение должно быть единственнььн в какоы-либо классе функции Из. в) Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.
д.). Непрерывная зависимость 1>ешения и от данных задачи ТУ означает следующее; пусть последовательность данных 1Уы а = 1, 2,..., в каком-то смысле стремится к 11, й — ь оо, и ия, й = 1,2,..., соответству.ющие решения задачи; тогда должно быть иь — ь и, к — у оо в смысяе надлежащим образом выбранной сходимости. Например, пусть задача приводится к уравнению Ьи = Е, где Ь . линейный оператор, переводящий М в Л, где М и Лс линейные нормированные пространства.
В этом случае непрерывная зависимость решения и от свободного .тена Г бу.дет обеспечена, если оператор Т ' существует и ограничен из Лд в М (сьь б 1.1, пп.8,9). Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближению, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не бу.дет существенно зависеть от погрешностей измерений. Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям, называется корректно поставленной (по Адамару), а множество функций Мз йМа называетсл классом корректности. Задача, не удовлетворяющал хотя бы одному.
из условий а) — в), называется некорректно поставленной. К некорректно поставленным задачам часто приводят обратные задачи математической физики; по некоторой информапии о 62 Гл. й Постановка краевых задач матемагпичеекой физики решении прямой задачи восстановить некоторые неизвестные физические величины, определяющие эту задачу 1источники, краевые условия, коэффициенты уравнения и т. д.). В этой книге мы устанавливаем корректность поставленных основных краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка в том или ином классе, .а также изучаем качественные свойства решений и методы построения 1точных или приближенных) решений этих задач. 7. Теорема Коши — Ковалевской. В этом пункте мы выделим довольно общий класс задач Коши, для которых решение существует и единственно.
Прежде всего введем определение 1гвы используем обозначения, введенные в 2 1.1, пп. 1г 2). Система Х дифференциальных уравнений с гг' неизвестными функциями им 'иа,..., илг д *иг ' = ф,(х,1,и„из, „,и „„.,д,'д,,и„...), 1 = 1г2,...,Х, (28) г называется нормальной относительно переменной 1, если правые час- ти Ф1 не содержат производных порядка выше Й; и производных по 1 порядка выше к; — 1, т, е. оо + о, + ... + он ( Ум оо ( йг — 1.
Например, волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности нормальны относительно каждой переменной х; волновое уравнение, кроме того, нормально относительно й Для нормальной относительно 1 системы уравнений 128) поставим следующую задачу Коши: найти решение им из,... г им этой системы, удовлетворяющее начальным условиям при 1 = 1о дои — = зггв1х) дсь к=0,1,...,к,— 1, 1=1,2,...,Х, 129) (хо 1о ° ° д гезее (хо) ° ° .) то задача Коши 128), 129) имеет аналитическое регаение в некото- рой окрестности пгочки 1хо, со), и притом единственное в классе аналитических функций. где грги1х) .-- заданные функции в некоторой области С С Нг'. Творима Коши — Ковалввской, Если все функции уць1х) аналигпичны в некоторой окрестноспги точки хо 'и все функции Ф,1х,с,..., и, „, „., ) аналтпичны в некоторой окрестноспги точки $1иб Постановка основных красных занан бЗ Приведем идею доказательства.
Решение ив, и,..., им в окрестности точки (хо, 1о) ищется в виде степенных рядов оо.' о.' а, >нодар>во (30) 1 ис(г о — — — сйпйх й Мс=о =" для уравнения Лапласа дги дги д1г д,г есть вЬ й1 ив (х, 1) = —, вш йх. Если й — у +оо, то — в|пйх:$ 0 по х; тем не менее при х ~ уя, 1 с у =0,~1,... вЬ й1 иь(х,1) = сйпйх -о О, й — > со. йг Из начальньпс условиях (29) и из уравнений (28) последовательно определяются все производные д, 'д,".и, в точке (хо, 1о). Доказывается равномерная сходимость рядов (30) в некоторой окрестности точки (хо,1о). Единственность построенного решения в классе аналитических функций следует иэ теоремы единственности для аналити геских фу нкций. 8.
Пример Адамара. Теорема Коши — Ковалевской, несмотря на ее общий характер, полностью не решает вопроса корректности постановки задачи Коши для нормаоьной системы дифференциальных уравнений. Действительно, эта теорема гарантирует существование и единственность решения лишь в достаточно малой окрестности, или, как говорят, в малом; обычно же эти факты требуется установить в наперед заданных (и отнюдь не малых) областях, или, как говорят, в целом. Далее, начальные данные и свободный член уравнения, как правило, оказываются неаналитическими функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
