Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 14
Текст из файла (страница 14)
д) Если обобщенная функция )' = О, х е С, то д ~ = О, х е С, другими словами, врь д 1 С вр$1. В самом деле, если а б Р(С), то и д у Е Ю(С),. а потому Р 1од) = ( — 1)'"~(~,д"р) = О., х е Ю(С), что и означает д" ~ = О, х Е С (см. я 2.1, п. 4). е) Если ряд и>,.(х) = а(х), Действительно, если 1 Е '0', то О Е Ю; в свою очередь дв — (-~-) е Р' и т. д. в) Результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, у х.р. Дифференцирование обобщеииых уунииий 85 составленный из локально интегрируемых функций иь(х), сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в Ю' В самом деле, поскояьку при любом Л > 0 Яр(х) = ~ иь(х):1 Б(х), ~х~ < В, р -+ оо, то ߄— ~ Я в Ю', р — ) со (см. 8 2.1, и.
6). Но тогда в силу а) ддр — — ~ диу — ~дд в д', р — > оо, что и утверждалось. Отсюда, в частности, вытекает: если (6) )аи! < А(й( + В, то тригонометрический ряд (7) аье' * сходится в В'(К' ). Действительно, в силу (6) ряд аох - ~ ае нх ше-е (,и+ 2)~ с ~ (1ь)т-,з алло сходится равномерно в К~; следовательно, ряд,представляющий его производную порядка т + 2, сходится в Ю'(К1) и совпадает с рядом (7).
3. Первообразная обобщенной функции. В атом пункте считаем о = 1. Всякая непрерывная функция )'(х) имеет (единственную с точностью до аддитивной постоянной) первообразную В(х) = / ((д) е16+ С, (~ В (х) = 1"(х). Равенство 7~ 1' = 7 мы и примем за исходное для определения пер- вообразной произвольной обобщенной функции т". Гж П. Обобщеннь«е функцян Обобщенная функция у«О из 'Р(К») называется первообразной обобщенной функции )' из Ю'(К»), если у'«О = у', т.е. У~ ~ '»» ) = У '»»)«»» е ь'1К ).
(8) К(и) = уУЯ + «э,(и) / у»® «1с, (9) где ш,(и) «шапочка» (см. ~2.1, п.2) и «(е =1' ~.(»)-.,(»)~.ы)««~«« (10) Докажем, что ф Е Ю(К»). Действительно, ф Е С"'(К») и ф(и) = = О, т ( — шах(В, е), если у»1л) = О, ~х~ > Л. Далее, при т > шах(Л, е) ф(л) = / «р19) ~٠— / «сЯ«1) «1»1 / у»(~) «1С = 0 в силу нормировки «шапочки». Таким образом, ф(и) = О, ~л~ > > шах(1«, е). Следовательно, ф Е 1»(К ).
Применяя функционал 1'«О к равенству (9), получим У' ', р) = У' ",ф')+ У' ", ш«)~ р®й~, т. е., учитывая (8), (~~ '~,у») = -(1,6) + С/ у»®«1с, (11) где обозначено С = (~~ '~,«э«). Итак, если УЦ О ---первообрнзная ~-- существует, то она выражается равенством (11), где «д опредеяена формулой (10). Равенство (8) показывает, что функционал 1«О задан не на всех основных функциях, а только на их первых производных.
Наша задача продолжить этот функционад на все ь»(К~) (в смысле определения ~ 1.1, п.8), причем так, чтобы продолженный функционал 1«О был линейным и непрерывным на г(К~ ), и выяснить степень произвола при таком продолжении. Предположим сперва, что 1«О первообразная 1 существует. Построим ее. Пусть ~р .— произвольная функция из '0(К').
Представим сс в виде в х.й. Дифференцирование обобн(енных функций 87 Теперь докажем обратное: при любой постоянной С функционал 7"( 1), определенный равенствами (11) и (10), дает первообразную (. Действительно, функционал 1( '), очевидно, линеен. Докажем его непрерывность на ь)(К~ ). Пусть (рь — > 0 в 1)(К~), 7с — у сс, т.е. (ря(х) = О, (х( ) 17, и )оя (х):7 О, й — > оо. А тогда по доказанному 00 и, очевидно, ))Уя ~(х):Ф О, й — ь сс, т.е. фь — « 0 в Р(К~), 7с — У ос. ПоэтомУ в силу непрерывности 1 на 7)(К~) имеем (хх( ) (рь) = — (У фя)+С/() яЮ((С вЂ” ьО, й — ь о, что и утверждалось.
Следовательно, (( 0 Е 7)'(К~). Осталось проверить, что 7'( 0 является первообразной 7". В самом деле, заменяя в (10) (р на а)' и учитывая, что / (р'® дс. = О, получим ф = (р, и тогда из (11) вытекает равенство (8), что и требовалось. Таким образом, доказана следующая Ткогкыа. Любая обоби(енная функция 1" имеет единственную (с точностью до аддитивной пос)поянной) нервообразнрю, и всякая ее первообразная )'1 ) выражается формулой ((( ),(р) = — ((,(()) + (С,(р), (р Е Р(К'), (12) где ф определяется равенством (10) и С произвольная постоянная. Доказанная теорема утверждает, что решение дифференциального уравнения (13) и = 7, 1 Е 'х)'(К ), существует в Р'(К') и его общее решение имеет вид а = 7( 0 + С, где )"( 0 — некоторая первообразная и С вЂ” произвольная постоянная.
В частности, если 7 --- непрерывная функция, то всякое решение в Ю'(К1 ) уравнения (13) классическое. Например, общее решение уравнения и' = 0 в 'ь)'(К~ ) есть произвольная постоянная. Аналогично определяется и первообразная 1"( н) порядка и обобщенной функции 1': )'( ") = )'. Применяя доказанную теорему к (н) рекуррентной цепочке для первообразных 1( Я) порядка 1: у( — 0' у Ган П. Обобщенные функции 88 заключаем, что первообразная (~ "0 существует и единственна с точностью до произвольного аддитивного полинома степени п — 1.
4. Примеры, и = 1. а) Вычислим плотность зарядов, соответствующих диполнл с злектрическим моментом +1 в точке х = 0 на прямой. Этому диполю приближенно соответствует плотность зарядов — б(х — е) — — б(х), е > О. Переходя здесь к пределу в 'лн при е — л +О: с 1 1 л 1 — б(х — е) — — б(х),:р[ = — [р(е) — р(0)] — л р'(0) = (б, р') = — (б', р), е Е заключаем, что искомая плотность равна — б'(х). Проверим, что полный заряд диполя равен 0: ( — б', 1) = (л1,1') = (д,.
0) = О, а его момент равен 1: ( — б',х) = (б,х') = (б,1) = 1. б) Пусть функция 1(х) такова. что 1 Е С (х < хе) и 1 Е С (х > > хе) (рис. 17). Покажем, что (рис. 18) (14) 1 = (У (х)) -~- [У]н„б(х — хе), где [Д скачок ('(х) в точке хе..
[(]., = У(хе+ О) — У(хе — О). Действительно, если ул Е Ю, то (У Р) = (У ул ) = — / у(х)ул ох = [У(хо+ О) — 1(хе — 0)]р(хе) + + ~ И'(х) )р(х) дх = (Ы„б(х — хе) + (У'(х) ): р(х)) ГО, х<0, В частности, если д функций Хсвисайда: й(х) = ~ ' ' то х>0, 9'(х) = б(х). (1з) 1'8.Я. Диф4«усни«»уованив обоби»«нных ууанной 89 В теории электрических цепей функция Хевисайда называется «единичной ступенькой», а б-функция «единичным импульсом». ло Рнс.
17 Рис. 18 Формула (15) утверждает, что «единичный импульс» есть производная от «единичной ступеньки». Зал«нчанин. первообразная Б-функции есть д[х) + с, где с произвольная постоянная [см. п. 3). Таким образом, В(х) восстанавливается как первообразная своей обобщенной производной б(х); с другой стороны, й(х) не восстанавливается как первообразная своей классической производной 1й'[х)) = О,х у': О. в) Если же функция 1(х) имеет изолированные разрывы первого рода в точках 1х») и 11'[х)) кусо »но непрерывная функция на К', то формула [14) естественно обобщается: 1' = 11'[х)) + ~ [1)и„б[х — хл). [16) Формулу [16) удобно получать локально в окрестности каждой точки х» с использованием формулы (14) и теоремы «о кусочком скле- Рис.
19 ивании» [см. замечание из 8 2.1, п. 4). В частности, если 1 х Хо[х) = — — —, х Е [0,2я), 2 2я' Га. П. Обобщенного функиггн 90 2я-периодическая функция [рис. 19), то 1 1о — — — — + ~ б[х — 2Ьг). 2г ь= — оо (17) Мы видим, таким образом, что обобщенные и классические производные, вообще говоря, не совпадают. г) Докажем формулу [18) Для этого разложим 2я-периодическую функцию Г' , э УоЫ) гК = — —, х е [0,2х) .о 2 йгг' (функция уо опредешена выше), в равномерно сходящийся ряд грурье. х 1 1 А[й) К = — — — ~ — е™ 6 2л И ь~о что и требовалось. Отметим, что левая часть равенства [18) есть ряд Фурье 2я-периодической обобщенной функции 2 ~~ б[х — 2йн). д) Покажем, что общее решение уравнения (19) х'"и = 0 в Р'(Й') дается формулой т — 1 и = ~ ~сяб~~~(х), я=о (20) где сн -- произвольные постоянные.
Поскольку при всех д Е Ю и й = О, 1..., т — 1 [ 1ггбгаг ) [б(ь1 ш ) [ 1)ь[б [ т, )гьг) Согласно п.2, е) этот ряд можно почленно дифференцировать в Р' любое чисгю раз. Дифференцируя его дважды и учитывая (17), получим уо = — — + ~ ~б[х — 2Ьг) = — ~ ~е'"', 2н 2г ь= — го я~о т" 2.9. Днф(берени(лроеание обобщенных 4уннцнй 91 = Л вЂ” 1)лЛх (рлх)))л) !е = О, то хтб001х) = 0«й = О, 1« ..,, т — 1, л (р(ло 10) Фх) тМх) ~',,' х" +хт рЫ, ь=.о 121) где ' рл'л(О) , «( ) = — ) «( ) — «(*) е. л=о Функция щ принадлежит л, так как она финитна и имеет производные всех порядков; существование производных в точке х = 0 следует из формулы Тейлора " р®(О) л.
~Л(х) = ~ хл + О(!х!~ л), й=т справедливой в некоторой окрестности 1гдс )1 = 1) точки х = 0 при всех л")). Следовательно, если и Е е ) решение уравнения 119), то в си- лу 121) т — 1 (09 «()е., *')«(,* «())= (О) ь ь=о ) 1и, г11х)хл) + 1хти, щ«) = ~1 — 1)лс рЮ(0) = л=.о ли,р) = и, т — л и) — 1 ( 1)л сл.(о("'), у«)«сл = (и,)1(х)х ), о=о что и требовалось доказать.
и, следовательно, обобщенная функция 120) удовлетворяет уравнению 119). Докажем, что всякое решение уравнения 119) в '0' дается формулой 120). Пусть )1(х) — основная функция, равная 1 в окрестности точки х = 0 лпо лемме из 9 2.1, и. 2 такая функция существует). Тогда любая функция (р Е Р имеет представление Ган П. Обобщеннмс фуннчян 92 Ьг = гго+ а~1с)гг" ~ + ... + а,(с)г = О, удовлетворяя>щее начальным условиям г(о) = г'(о) = ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
