Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. (РМ, р) = У, Г[р]): (7) Равенство [7) мы и примем за определение преобразования Фурье обобщенной функции яеедленного роста 7 Е К. Проверим, что правая часть равенства (7) определяет линейный непрерывный функционал на о, т.е. что г'[7] е Я'. Действительно, так как г'[(р] Е о для любой (р б о [см. п. 1), то (7, .г'[(р]) есть функционал (очевидно, линейный) на о.
Пусть у)ь — 1 О, й — 1 оо, в о. По лемме из и. 1 г'[(рь] — ~ О, й — 1 оо, в о, и потому (7', Е[(рь]) — ~ О, й — 1 оо [напомним, 1 й Я'), так что функционал (1, г'[(р]) непрерывный на Я. Таким образом операция преобразования Фурье 16 переводит пространство о' в о'. Более того, г" линейная и непрерывная операция из о' в о'. Линейность Е очевидна. Докажем ее непрерывность.
Пусть 5ь — 1 О, к — 1 оо, в о'. Тогда в силу (7) при всех (р Е о имеем [г [Я, (р) = [7ы г [(р]) — 1 О, и — 1 оо. Это и означает, что г'[Я вЂ” 1 О, Й вЂ” 1 оо, в о'. Введем на 5' еще операцию г' (8) тЯ.б. Преобразование Фурье обобьяеннььх 4дннннй 127 Г [Г[Д = т, Г[Г [т']] = т, т Е Я'. (9) Действительно, из (5) — (8) для любой о Е о имеем [~ [П, р) — „(~[~[Л( д)], р) —, „(~[УН ~), ~[р])— — „(~[7"], Г[р]( 0) — (~Ш, [р]) — У, Г[~ [р]])— = У,р) = (У,Г '[Г[ П) = (Г 'И,Г[р]) = (Г[Г '[УЛ, р), откуда и следуют формулы (9). Из формул (9) вытекает, что всякая обобщенная функция 7' Е Я' есть преобразование Фурье обобщенной функции д = Г ' [1] Е о', 1' = = Г[д], и если Г[Я = О, то и 7" = О. Таким образом, мы доказали, что преобразование Фурье Г отображает о' на Я' взаимно однозначно и взаимно непрерывно.
Пусть ((х, д) Е Я'(К"т~), где х Е м", д е 11™. Введем преобразование Фурье Г [/'] по переменным х = (хы..., х„), положив для тьфу) Е О(1ьо ' ~) (Г*[Л: р) = У,Ге[р]) Как и в лемме из п. 1, устанавливается, что (10) Ге[рПх,д) = / И69) ц*д'Ж~ ~ ~(11"+ ) и что операция Ге[~р] непрерывна из о(К"е ) в о(Бн+"'), так что формула (10) действительно определяет обобщенную функцию Гх [7](С, у) из У(11н ' ). Пгимнг. Покажем, что Г[б(х — хо)](() = еда'ь~. (11) Действительно, (Г[б(х хо)] ьо) = (б(х — хо), Г[чо](х)) = Г[~р](хо) = = / ~р®е ~ ь' 9 ьК = (еда ™, ьо(р)),,о Е,ч.
Проверим, что операция Г ' является обратной к операции преобра- зования Фурье Г, т. е. 1 ан П. Обобщенное функции 128 Полагая в (11) тв = О, получим (12) Р[б] = 1, откуда б = Г "[1] = Р[1], так что (2я)нб(~) (13) 3. Свойства преобразования <1зурье. а) Ди4ференцирввиние превбр зевания Фурье. Пусть 1 Е 5', тогда д"Г[7] = Г[(1х)" 1(х)]. (14) Действительно,пустыр Е Я,тогда в силу (2) (д Г[Лор) = ( — 1) '(Р[Л,д"уз) = = ( — 1)~" ~(~, Г[д ~р]) = ( — 1)нч(((х), ( — гх)~Р[д](х)) = = ((1х) ((х), Г[р]) = (Р[(1х) У(х)], р), Р[х ] = ( — 1)~ ~д Г[1] = (2я)н( — 1)~ ~д б. б) Преобразование Фурье производной.
Пусть 1 Е 5', тогда Г[д.~](» = (- О" Р[~]® (15) (16) В самом деле, пользуясь формулой (1),при всех:р Е Б,получим (Р[д й, р) = (д 1,Г[р]) = = ( 1)~ ~(У д Г[уз]) = ( 1)и(7 Г[(16 зз(й)]) = = ( — Ц ' ~(Г[7](С), Я) ~р(С)) = (( †) Г[З](С),уз(С)), откуда и следует формула (16). В частности, полагая 1" = б и пользуясь формулой (12), получим откуда и следует формула (14). В частности, полагая в (14) 7" = 1 и пользуясь формулой (13), полу чим зд.б. Преобразование Фурье обобщеннь(х ф(унииий 129 в) Преобразование Фурье сдвизш Пусть (о Е Я(, тогда г[П*-")]В = д""Юиа Действительно, при всех р Е Я имеем (18) (Ю(х хв)]Ы) (РЫ)) = У(х хо) г [(р](х)) = = (У(х) Г[(Р](х+ хв)) = (1(х) г'[(Р®е)(х™](х)) = = (Г[Д(~) е)~~а~)(р(~)) = (е'(*ас1Е[Д(Я (р(()) откуда и следует формула (18).
г) Сдвиг преобразования Фурье. Пусть 1 Е 5), тогда ЮИ+Ы = ~["" 'Лх)Ю. В самом деле, пусть (р б Я, тогда в силу (18) (19) (ЕИЫ+ 4о), р(6) = (р [у](6, р(4- 4о)) = = (у, г'[(р(г. — го)]) = Ях), е(КО'х)р[(р](х)) = = (е((оо х)1(х), Г[(р](х)) = (Р[е'(хо х)1(х)], р), г'[б" (сх)]® = — г'[1] [ - ]. (20) Действительно, при всех р Е Я имеем (см.
9 2.4, п. 3, г) (К[1(сх)],(р) = ®сх),Е[р](х)) = (((х),Е[(р]( — ')) = = — ( у(*) 1' и(() '*("" х() = (х( ), 1' и(м) '"" Ф) = = (1(х), г'[(р(с)1)]) = (г'[1](у), д)(с)1)) = [ г'[(] [ — ], (р® е) Преобразование Фурье прямого произведения. Пусть (' е Е о'(К"), д Е о'(К ), тогда 9 В.
О. Владимиров, В. В. Жарииов откуда и следует формула (19). д) Преобра ование Фурье подобия (с отражением). Пусть (' Е Е Я', тогда при всех вешественных с у- .0 Гл. П. Обобщенные функции Е[У(х) . дЬ)] = ~Л(х) Е[дНц)] = = Еи[ЕИЮ д(у)] = Е[.(НО. Е[дНц). (21) Действительно, при всех ф~, ц) Е о(14"т'") имеем (ЕУ(х).дЬ)] р) =(У(х).д(у) Е[рНх уИ = = У(х),(д(д),К Мр](х,д))) = У(х),(Е[дНд),Е~[уН ',д)И = = У(х) Е[дНц) Ее[ НхлИ = (Е.йх) Г[дНЙЮ РЖдИ = = (Г[дНц), (((х), Х~ [~р])(х, дИ = (Е[дНц), (Е[Д®, ~р(~, дИ) = = (Е[у"НЮ . Е[д](д);, Тл)), откуда и следуют равенства (21).
лс) Аналогичные формулы справедливы и для преобразования Фурье Е . Например, пусть 1(х, у) Е Я'(Ноет), тогда д"д~дЕ,[~] = Е,Н1х)~д~(], Г,[д,"ду~Н(.,У) = ( — 1~)~дузГ,[дН(,У). (22) 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем. Теорема. Если 1 финатная обобщенная функция, то ее преобразование Фурье принадлежит классу Ом и иметп представление г'[1НС) = ®х),т~(х)еца~~), (23) где ц --.
любая функция, из т, равная 1 в окрестности носителя 7". Доклзяткльство. Учитывая равенства (6) из 3 2А и (16) из п.3, для любой ~р б 5 имеем (д Е[Л, р) = ( — 1)' '(Е[Л,д р) = = ( — 1)'"'У, Е[д р]) = ( — 1)'"'(Х(х), НхН вЂ” 'х) Г[~ НхИ = я*),1' в*и'е'лс ц*"л) с Намечая теперь, что ц(х)(гх) р(с)ец*'Е~ е Я(К и), и пользуясь формулой (7) из 3 2.4, получаем уд.б. Преобразование Фурье обобщенных убуннний 131 Далее, из предыдуших равенств выводим равенство [д" б[Д,(д) = ~Ц[х),г([х)[1х)не'(бо))д)[б) (1б, из которого вытекает, что д Г[7]® = [7'[х),ь1[х)[гх) енб')).
[24) При а = О отсюда следует формула [23). Из представления [24) следует [сы. )) 2.3), что д г'[1] Е С[К"), так что г'[7] Е С [1я"). Далее, по лемме Л. Шварца [см. ~ 2.4, п.2) сушествуют С > О и целое р > О такие, что справедливо неравенство [3) из в 2.4. Применяя это неравенство к правой части равенства [24), получим оценку ]д~г'[я[С)] = ][7[х),)1[х)[гх)ое))бн()] ( С О[х)[гх) "едбы р = С япр ][1+]х])одв[)1[х)х"е™н)]] < С„[1+]с])о )в~<о, оен" для всех С б Жо, из которой и вытекает, что У[7] Е Ом [см.
~ 2.4, п. Ц. Теорема доказана. 5. Преобразование ьрурье свертки. Пусть 7' Е Я', д финитная обобщенная функция. Тогда [25) Действительно, в силу ~ 2.4, п. 3, ж) свертка 7" * д принадлежит о' и представляется в виде [Ход,()о) = [1[х), [д[у),О[у)у[х+ у))), (о Е Б, где О Е 'ь), у = 1 в окрестности носителя д. Учитывая это представ- ление, для всякой ()) Е о имеем Принимая во внимание, что по теореме из п. 4 Е[д] Е Ом, и пользуясь формулами [7) из 3 2.4 и [23), преобразуем полученное равенство: Гн.
П. Обабщснньье фуннцььн 132 = (/( ), (' тм(еб(С 'ь*'ь г() = (/ т(т(ь(г() = = (ГИ,~Ыч) = (Р[уМЛ,Ф, откуда и вытекает формула (25). 6. Примеры, п = 1. а) Легко проверяется равенство г [а(л /т~)[(4) = / е'г*/(и = 2 г' — и (26) б) Имеет место равенство г х//х ( Е[е * )(~) = — ехр1— о 1, 4оя! (27) Лействительно, Е[е '*' ) (С) = / е ~ и ь(тг дх = — / ехр ~ а + т. — а т йт = =-'- [ — '[/- [-("-') [" = ~я г / е "(4с=/ е Йт=у/я. 1пьоь и (28) Рис. 25 Но теореме Коши при любом Н ) О имеем (см. [3[) е С (ь'(', ь Нь (', = а+ ьть он (29) где контур Сп = с' 01 0с" ОГ~ изображен парис.25.
Но на отрез- Осталось доказать, что линия интегрирования 1)п(, = ~,/(2о) в последнем интеграле может быть сдвинута на вещественную осьь т. е, при всех а Е й ух.б. Преоброзоеоние Фурье обобщенных угуннний 133 ках Гй = (О ( т ( а, гг = ~хь) (е ь !=(е ет тн'!=е не':10, тЕ[О,а), Л-эоо, а потому справедливо равенство откуда в силу (29) следует равенство (28); о г 1 г 1 2 1' Г ус с' 'Н в) Имеет место равенство Гхо ( г К(е'х )(~) = гхехр — -(~х — гг) 1, 4 (ЗО) Действительно, из сходимости несобственного интеграла (интеграла Френеля) г е~х+дхЦх= 1пп ~ егх ~-ге»Пх= мн. -м Ю в = ' 1 - (("-) --' ')'= гм-';-е/2 4 ) М,ГΠ— гоь~ М+С~Е 2 = ЕХр — — С 1 / Ееи Гбу = ЬгХЕХр ~ — — (С вЂ” Х) вытекает равномерная сходимость по С на каждом конечном интер- вале несобственного интеграла Гл. П.
Обобнленньье бьункьлььн 134 Итак, мы доказали равенство [30) поточечно при условии, что преобразование Фурье понимается как несобственный интеграл. Докажем справедливость этого равенства в о'. В силу доказанного при всех ьд Е л, яр! уь С [ — Л, Л), имеем [Г[е'* )ф,ьр[с)) = [еьн, ЕЦ[х)) = з/ е'* Р[р)[х) ь1х ,л гя !пп / еьн / ьр[с)е'*Л Дс ь1х — лл — я 1ьпь ! уь® ! е'* 'нс ь1т ь1( м.л'-ь у я у-лл =/ я га уь[я) 1'пп / е ' ььх ььй я мя — ь~ — м =,ч...( — "[)ьььь ь( — *ь'[ьь К[0)[~) = 7Гд[() Ч- ьль —, 1 ' С 1 Р[6[ — х))® = ньбЯ вЂ” ьР—. [31) [31') Действительно, при всех а ) 0 имеем Е[0[х)е "'([~) = е '*ей* ь!х = [32) Так как а[х)е "-~ д[х) в Я', а -~+О, то, переходя в формуле [32) к пределу при а — л +О и пользуясь непре- рывностью преобразования Фурье [ель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
