Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Я 1.3, п.3). оз) Рнс. 29 Ткоркмя. Если 1" Е Сз(1 > О) в случае п = 2, 3 и 1' Е С' (1 > О) в случае и = 1, то потенциал Ъ'„принадлехсит Сз(1 Ъ О) и удовлетво- Совершая в атом интеграле замену переменных х — у = с, получаем формулу (20). Аналогично, с соответствующими упрощениями, выводятся формулы (20') и (20о) для потенциалов ьз н 1'ь Сопоставим каждой точке (х,1), 1 > О, открытый конус ь о.е. Волновой потенциал ряета оценке е~ [1з(и,с)[ < — шах [,((С,т)[, 2 в(л.(( [Ън(х,с)[ < — шах [1(С,т)[, и = 1,2, 2р — (,О (22) и начальным условиям Ъ'о[, о=о, " =О. дГ„ (23) (=о Доклзлтвльство.
Докажем теорему для п = 3. Замена переменных у = а10, 1 > О, преобразует формулу (21) к виду 1а ( Т(ж+ а1(у, 1(1 — [®) 4к,/в, [В[ (24) Так как 1 б Сз(1 > 0) и подынтегральное выражение в (24) имеет ин- тегрируемую особенность, то Ъз Е Сз(1 > 0) (см. Я 1.1, п. 4). Из пред- ставления (24) следует также опенка (22) для потенциала Гв 12 е ц 12 [Из(в,1)[ < — пзах [1(С,т)[ / — = — шах [Я,т)[. 4х в(аб ',/и, [и[ 2 врьб Так как утз Е Са(1 > 0), то из оценки (22) вытекают начальные условия (23).
Пусть теперь п = 2. Замена переменных С = к+ а1и, т =1 — ос, 1 > О, прообразует представление (20') для потенциааа ) з к виду п=1,2,3, из которого непосредственно и вытекают требуемые свойства этого потенциала. Свойства потенциала И( следуют из представления (20о). Теорема доказана.
4. Поверхностные волновые потенциалы. Если 1 = и((т). о(е) или (' = ио(т) . (а(1), где ио и и1 произвольные обобщенные функции из Р'(Ко), то соответствующие волновые потенциалы 164 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Конт называются поверхностными волновыми потенциал ми [простого и двойного слоя с плотностями ис и ив соответственно). Дв) В силу формул [14) и [17) из п.2 волновые потенциалы 1г„ и 1'а представляются в виде Ф 1, Св) (25) 1'„= " ' е ио[х) = — [Еа[х,«) ь ио[х)], [26) дба[х, «) д д« д« причем обобщеннзл функция «а[х, «) * и[а) действует в соответствии с формулой [15). ЛВММА.
ПОВЕрХНОСтНЫЕ ВОЛНОВЫС Патвпци ЛЫ Ьа и 1а При«с~ СО нсздлелеапс классу С по переменной «в [О,оо)) и при « -+ +О удовлетворяют начальнвсм условиям Ъ„ОО[х,«) — э О, 1ЦО[х «), и,[х), ДОкАВАтгл! стВО. По лемме из и. 1 обобщенная функция Е~ [х, «) принадлежит классу С'" по переменной «в [О, оо). Далее, при каждом «> О носитель с„[х, «) содержится в шаре П,е и, следовательно, равномерно ограничен в Ка при « — ««в > О.
Поэтому, пользуясь теоремой из 3 2.3, п. 4 о непрерывности свертки в Ю', заключаем, что при всех р Е О[5«") с е и [х), сз е С[О, со), дед [. «) Отсюда в силу равенств [3) и [17) дь 1 дл «) е ц [ ) ° ) = — [Са[х,«) ь си[х)], уз выводим, что [Ен[х, «) * ив [х), сз) Е С [О, оо). Это и значит в силу [25), что потенциал Сва принадлежит классу С" по «в [О, со). Заменяя ис на ио, выводим из [26), что таким же свойством обладает и потенци- д1:„66[х, «) -> из[х) д« дЪ;, ~[х,«) д« в Ю'[Б'."), [27) в Р' [1с" ) . [28) 63.2. Волноеой потенциал д14 ~(х,е) д дЕ„(х, 1) дс д1 = — (Е„(х.,с) * и~(х)) = ' * и1(х) — ~ о * а1 — — и1(х) дс при 1 — > +О в Р'(К").
Аналогично устанавливаются и предельные соотношения (28). Лемма доказана. Дальнейшие свойства поверхностных волновых потенциалов и Г„существенно зависят от вида плотностей и1 и ио. ОО [О Если и1 локально интегрируемая функция в К", то поверх~о~ постный потенциал 1'и локально интегрируемая функция в К"+~, выражающаяся формулами (х,с) =, / и1(С) де, ОО о(е) (29) до>(,, Ю / и1(с) д4 ''~ ~и >Е'"-1*-6' В(1) 1л-~-ае Ъ; (х, е) = — / и1(С) еец. 2а ./, (29') (29н) Установим формулу (29). Так как функция и1 локально интегрируемая в Кз, то, пользуясь формулами (25), (15) и (1), при всех ее Е Е 1л(К ) получаем (1лз ~,Ф) = Ф,(х,0) *и,(х), Ф = =(еь,е,н е — ь~)/ (оео.~е,оее) = — — — / и,(х — 9)уе(х е) е1х еее„е11 = ~-О(О) Р 4пал,/о 1,/я, ие (' ) / и, (х — р) д, „,.
ю) откуда следует, что Г локально интегрируема в Кл и представллется в виде (ср. с формулой (34) из 3 2.3) Ъ~ (х,1) =, / и,(х — д) Йею пп о(г) 4яаз1,/я Докажем предельные соотношения (27). Учитывая предельные соотношения (4) и пользуясь непрерывностью свертки Е„(х, е) *, и1(х) в Р'(К"),получаем 1„~ ~(х,с) = Еп(х,1) * и1(х) — ~ О я и1(х) = О, 166 Гл. 1П.
Фундаментальное решение и задача Коши Совершая в этом интеграле замену переменных х — у = с, получим формулу (29). Анавогично, с соответствующими упрощениями, выводятся формулы (29') и (29о) для потенциалов 1'. ~ и Ъ'~ Тгьорвыл. Если ио й С (Ь"), ит е Сз(Ян) нри и = 3,2 и ио е б Сз(1ч~ ), ит б С (е1~ ) при п = 1, тпо потпенциалы 1 о а (т, (принадлежат, классу Сз(1> 0) и удовлетворяют оценкам (1тз( (х,1)/ < 1 шах (ит(С)/, н(евац (1т(от(х,()/ <1 тпах (из(Ц)/, п, = 2,1, Г(ео 1 (1з(О(х,()/ < шах (ио(()/+ а( шах !6гае1ио(я/, в(евьтт я(елатт ((з (х,г)(< тпах ~(иоЯ(+а1 тпах (3гас(иоЯ(, Г(л:ае( Гт(,,ое> (1:,~ ~(х,1)( < тпах (ио(С)( о(е;ает (30) (30') (31) (31') (31о) и начальнь ми условиями о .(о( = ит(х), т=о др;('т т о (32) (т,( ~(, = ио(х) (33) Доклзлтгьльство.
Пусть и, = 3. Совершая в формуле (29) замену переменных х — с = а(в, 1 > О, получим представление (х,1) = / тц(х — аув) дя, .(о) д(1)1 1' 4к,/н, (34) (хц1) = / ио(х — агз) дв — / (6гас) ио(х — а1в), ь) едв. (О д(О Г а(о(1) Г 4к,/гн Отсюда вытекает, что 1'.з ~ удовлетворяет опенке (31): из которого следует,что Р удовлетворяет оценке (30) и принадлет(о) жит классу С (1 > 0), поскольку ит е Сз((((~). Дифференцируя формулу (34) по 1 и пользуясь формулой (26), получим представление для ,(О потенциала Ъз 33.3.
Задача Коши для аолноаого ураангния 167 ~Рз (х,1)~ < шах~но(х — а1зЯ+а1шах~(8гас1, ио(х — а1а),а)( < р =1 < шах ~ио(с)) + а1 шах ) бгас1ив(6~; 51г;аб Ябнаг1 и принадлежит классу С (1 > О) (поскольку ао Е Сг(газ)). При и = 2 замена переменных С = х — асгб 1 > О, преобразу.ет представления (29') и (26) для потенциалов Гг и Нг к виду Гз (х,т) = З1 Иц, 1о1 О(1)1 1" иг(х — аЯ и Ч7Т вЂ” ~71~ рц с, О(1) / ио(х — а10) „ 2н дп, тгг1 — 01Р а1О(1) )' (8гас( ио(х — ггЬ0) и) оЬ~, 2Я „/и, ггпу — фз откуда и вытекают требуемые свойства гладкости и оценки (30') 1о1 1Ц и (31') для потенциалов рг и Ъ;~, например,. ~Гг (х,1)~ < — шах рц(х — аЬЯ / 1о1 Р Йо 2н оеГ, о'ш, гг1 — )О~з = 1 шах (и1(~)! / Р рдр ьдя;оц о угг1 — ра Соответствующие свойства потенциалов 1'"~ и н1~ следуют из ,.~о1 1Ц представлений (29о) и (26), например, 1; (х,Й) = — !ио(х+аз)+ио(х — ас)) О(1) Теперь установим справедливость начальных условий (32) и (33).
В силу (27) и (28) эти условия выполнены в смысле сходимости в пространстве Р'(К"). Но по доказанному функции г',~ и 1г„ принадлежат классу С (1 > О). Следовательно, зти функции удовлетворяют условиям (32) и (ЗЗ) в обычном смысле. Теорема доказана. 8 3.3. Задача Коши для волнового уравнения В этом параграфе мы будем применять теорию обобщенных функций к решению (обобщенной) задачи Коши для волнового уравнения. 1б8 Гл. П1. Фундаментальное решение и задача Коизн 1.
Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Прежде всего решим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Ти гв иг~ + аьи~" О+... + они = ~Я, 1) О, (1) ирб(0) = иь, й = О, 1,..., и — 1, (2) где 1" б С(1 ) 0). Пусть и(1) -- решение задачи Коши (1), (2). Продолжим функции и(~) и Д1) нулем на 1 ( О. Обозначая продолженные функции через й и 1" соответственно и пользуясь формулами (14) из 82.2 и начальными условиями (2), получим ь — ь йрб = (и~~~ф) -~- ~изМ~ ' '~ф, й = 1,2,...,и. Отсюда и из уравнения (1) заключаем, что Гй = 11й(С)) + иоФ" О(1) -~- (азио -~- и,)б~н з~(1) + ...
н — 1 ... + (а„,ив+ ... + а,и„— э+ и„ь)дф = )Я+ ~ сед'0(1), где со = а„ьио+ .. + аьи„о+ ин ы ..., сн е = аьио+ иы сн, = ио. Таким образом, функция й в обобщенном смысле удовлетворяет в уьз дифференциальному уравнению Лй = 1ус) + ~~ сед~о~(1). (3) Построим решение уравнения (3). Функция Е(1) = йус)Уут), где 12=Он у(0) уР(0) у(н — '2)(0) 0 у(н — 0)0) 1 (4) есть фундаментальное решение оператора Е (сьь 8 3.1, п. 5). Поскольку Е и правая часть уравнения (3) принадлежат сверточной алгебре обобщенных функпий ель (см, 8 2.3, п, о), то по теореме из 83.1, п.3 33.3.
Задача Коши для аолноаого ураанения 169 и — 1 и — 1 »=е (»~г „Ф))=»»+~ч»()(~)= ниа л:=о и — 1 = ВЯ / л(1 — т)1(т)»1т+д(1) ~с»Я1~1Я. (5) о яио Здесь мы учли равенства справедливые в силу (4) (см. 3 2.2, п. 4, е)). Таким образом, решение иЯ задачи Коши (Ц, (2), будучи продолжено нулем на 1 ( О, удовлетворяет уравнению (3), решение которого единственно в алгебре '0' .
Поэтому форл»ула (5) при 1 ) 0 дает искомое решение задачи Коши (1), (2) и — 1 иЯ = / г(1 — т)1(т)д + ~ 'сьг110(1). о ь=о (б) В частности, формула (6) для задач Коши и +пи=»(»), и(0) =ио, (7) ио+а и = д»), и(0) = ио, и'(0) = и1, (8) принимает соответственно вид иЯ = / е "1' '1Дт)»(т+ иое "», lо 1 1» сбп а1 иЯ = — / сйпа(1 — т)З'(т)»»т+ по сова»+ и, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
