Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(РО) о а 2. Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения. Схема для задачи Коши, изложенная в предыдущем пункте для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, применяется для решении задачи Коши для волнового уравнения решение уравнения (3) существует и единственно в е»' и выражается сверткой 170 Гл. 1П. Фссндалсантальнаа решение и задача Каиссс ди — = ис(х). д1 с=о о = иосх), 112) и, 1>0, — (1, 1>0, й= О, 1 < О, ) О, 1 < О.
Покажем, что функция й(х, 1) удовлетворяет в Кат~ волновому урав- нению Па й = Дх, 1) + ио1х) . б~(1) + ис 1х) . б(с). 113) Действительно,при всех р Е 'ьз1ььа+ ) имеем цепочку равенств (С3а й, Р) = (й, ~Ла 7з) = и Па сР дх с11 = уо /н =Ь ~ / (ь— „'ч-.-'ь ) * .= дрых,.) ди(х, я) — слух,е)с1х+ ( срух,е) с1х дср(х, О) Р ди(х, О) 1 1 )~рс1хс11 — 1 ' и1х,О) с1х+ 1 7з~х,О) ' с1х = о и я,/. ' д1 с дрых, 0) срс с1хс11 — / иоух), ' с1х+ ис(х)ср(х,О) сЬ = ,/н д1 = 17+ ио1х) . бу1) + ис1х) . б(1), р), откуда и вытекает равенство 113). Равенство (13) показывает, что начальные возмущения ио и ис для функции й(х,б) играют роль источника ио(х) .
б'(1) -~- ис1х) б11), Считаем, что 1 Е С(1 > 0),. ио Е С'111") и и~ Е Суада ). Предположим, что существует классическое решение и(х, 1) задачи Коши (11), (12). Это значит, что функция и класса Сз(1 > 0) П С1 С 11 > 0) удовлетворяет уравнению 111) при 1 > 0 и начальным условиям (12) при 1 — + +О (сьс.
Я 1.4, п. 2). Продолжим функции и и 1 нулем при 1 < О, положив бУ.Х Задача Коши для волнового уравнения 171 действующего мгновенно при 1 = 0; при этом начальному возмущению ио соответствует двойной слой ио(х) б'(1), а начальному возмущению и1 простой слой иь(х) . б(1) на плоскости 1 = О. Далее классические решения задачи Коши (1Ц, (12) содержатся среди тех решений уравнения (13), которые обращаются в нуль при 1 < О.
Это дает основание назвать задачу об отыскании (обобщенных) решений уравнения (13), обращающихся в нуль при 1 < О, обобщенной задачей Коши длл волнового уравнен я. Но в таком случае в уравнении (13) правую часть можно считать обобщенной фу.нкцией. Итак, введем следующее определение. Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником г Е '0'(К"т ) назовем задачу о нахождении обобщенной функции и Е '0'(йлт1), обращающейся в нуль при 1 < 0 и удовлетворя1ощей волновому уравнению (14) П, и = Е(х,г).
Уравнение (14) эквивалентно следующему (см. Е 3.1): для любой д ~ '0(11"т') справедливо равенство (и, П„р) = (г', р). (14') Из уравнения (14) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль К при 1 < < О. Сейчас будет показано, что это условие является и достаточным. Злмгчянигн При выводе уравнения (13) мы фактически доказали равенство П, и = (П, а(х,1)) + и(х, +0) . б (1) + ьц(х, +0) б(1), (15) справедливое для любой функции и Е Сз(1 > 0) С С1(1 > 0), обращающейся в нуль при 1 < 0 и такой, что П, и Е С(1 > 0). 3. Решение обобщенной задачи Коши.
Тгоггмл. Пусть Г а '0'(К"+'), причем Е = 0 при 1 < О. Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует, единственно и аредставляеьпся в виде оолнового потенциала (10) Это решение нвпрергавно зависит от Г в Ю'. Доказлткльство. По условию правая часть Г уравнения (14) обращается в нуль при 1 < О. Поэтому по теореме из е 3.2, п. 2 свертка К с фундаментальным решением Е„волнового оператора существует в П' (1ч1"т1) и обращается в нуль при 1 < О. По теореме из 172 Гл. П1. Фундаментальное релаение и задача Коши где 1о волновой потенциал с плотностью 1П,и), 1:о и 1т„ цо) тт> поверхностпные волновые потенциалы простого и двойного слоя с плоптностями ит[х, 0) и и[х,.О) соответственно.
Действительно, функция и[х, Е) удовлетворяет уравнению [15) и, следовательно, по теореме из п.3 представляется в виде суммы (17) трех волновых потенциалов с указанными плотностями. Слвдствив 2. При Р = и,[х) б(1) + ив[х) б'[1) решение и[х,,1) обобзценной задачи Коши прияадлезкипь классу С ' тьо переменной 1 в [О, оо) и удовлетворяет начальным условтьям [12) в смысле слабой сходимоспьи: и[х,1) -+ ио[х), ' — т и,[х) в Р'[К"), да[х, 1) д1 1 -ь +О. [18) Действительно, по лемме из я3.2, п.4 потенциалы 1'„и 1'о Цо~ НО принадлежат классу С по 1 в [О,со) и удовлетворяют начальным УсловиЯм (27) и [28) из ~3.2.
Следовательно, их сУмма уто~ ~ + Ко ~, являющаяся в силу [16) решением обобщенной задачи Коши при Е = = ит[х) б[1) + ив[х) . б'[1), принадлежит классу С' по 1 в [О, со) и удовлетворяет начальным условиям (18). Нниывт'. Обобщенное решение задачи Коши ии = ааи„+ 0[х) б'[1) дав~си фо1змулой и[х,1) = ' *У[х) = — Щх — а1) + — У[х+ а1). дат [х., 1) 1 1 д1 2 2 На этом примере видно, что разрывы у началытых данных (или у их производных) распространяются вдоль характеристик.
Это,явление наблюдается у всех уравнений гиперболического типа [см., например, формулы [19), [19'), [19а) далее). я 3.1, п. 3 решение уравнения [14) существует и единственно в классе обобщенных функпий из Р'(Кот' ), обращающихся в нуль при 1 ( О, причем зто решение выражается сверткой (16). Непрерывная зависимость построенного решения и = В„я Е от Е в сз'[Мо+') вытекает из непрерывности свертки (см. теорему из ~ 3.2, п. 2). Теореьта доказана.
Слвдотвив 1. Всякая функция и[х,1) класса Сз[1 > 0) П С (1 > > 0), обрашаюзцаяся в нуль при 1 ( 0 и топкая, что П и Е С[1 > 0), тьредставляется в виде ( з 1 ) 1 [ х 1 ) + 1 ~ ( о ) [ х 1 ) + 1 [ О [ (17) 33.3. Задача Коши длл аолноаого урааненил 173 4.
Решение классической задачи Коши. Из теорем из ~ 3.2, пп.3,4 и из теоремы п.3 при г'(х,8) = 1'(х,1)+ие(х).О(е)+ио(х) О'(е) вытекают следующие утверждения о разрешимости классической задачи Коши для волнового уравнения. Пусть 1 Е Сг(1 > О), ио Е Сг(йн), и~ Е С (Ка) при п, = 3,2 и ( Е Е Сг(1 > О), ио Е Со(К'), иг Е С'(И' ) при п = 1.
Тогда классическое решение задачи Коши (11), (12) существует, единственно и выражается: при и = 3 формулой Кирхгофа и(,,) 1 ~ Уй~-~-'Ы-'~)„„ 4яаз,)п(, аб ~(х — с( 1 /' 1 д(1 + з / иЯ) еЬ+ — г — ~- / ио®е(а; (19) 4-'1Л( „ 4па де г н( при п = 2 формулой Пуассона 7" (~, т) е(~ Йт и(х,() = — ~ ~ + ' '-'. Цп(..„.0 1 /' иг(с) г(с 1 д /' иоа К и'Йа: )чт"-Н-гг г"~'Йа:«еФ""-(и-(г (19') при п = 1 формулой Даламбера ге(е — е1 и(х,е) = — ~~ 1е(С, т) е1С е(т+ о — (е — 1 егтаг 1 + — / иг Я й( + — (ио(х + ае) + ио(х — а()). (19а) 2 Это Решение непРеРывно зависит от Данных 1, ио и иг заДачи Коши в следующем смысле: если зти данные изменяются так, что (У вЂ” Я < е, ~(ио — йо~ < ео: ~(и, — й~ ( < ем ) дгас((ио — йод < ео (последнее неравенство нужно только при п = 3, 2), то соответствующие решения и и й в любой полосе 0 < 1 < Т удовлетворяют оценкам; Тз ~и(х,1) — й(х,е)~ < — е+ Тег + го + аТе„', п = 3, 2; 174 Гл.
1П. Фундаментальное решение и задача Коиллл да ~и(х, 1) — й(х,л)( < — е+ Тел + ео, п = 1. 2 д11 леха, х) и = ГЛ"(хо, х) * илллх) + ' е иоллх). дхо б) Показать, что решения смешанных задач 'лл(л о = ллл(л лл = О, О < х, 1 < со, лзалл = О., с граничными условиями: ) ~.=о = ~оИ; 2) и.~.=о =~л® (где функции шо и олл непрерывны в ~0, оо) и обращаются в нуль при 1 < 0), задаются соответственно формулами: адать(х,1) 1 ХЛ 1) лл(Х,1) = — 2аа ' алого) = ~ло ~1 — — ~; дх а л л — л1а 2) лл(х,л) = — 2азЕл(Х,1) е лЛллф = — а / лЛлл(т) дт. о в) Пользуясь фундаментальными решениями (22) и (23) из ~ 3.1, установить, что задачи Коши лл'+ аи = ри, ир+а и=ри, Мл — о = ио Р Е С11 > 0); и )л=о = ил, и1л о — — ио; зквивалентны соответственно следующим интегральным уравне- ниям: гл ило) = / е ~0 'лр(т)и(т)л1т+иое а Резюмируя, можно сказать, что задача Коши для волнового уравнения поставлена корректно (см.
~ 1.4, п.8), причем Сз(1 > 0) рл С1 С'(1 > 0) -- класс корректности классической задачи Коши и '0'(Б'."лл л) - - класс корректности обобшенной задачи Коши (снл. теорему из п.3). 5. Упражнения. а) Пользуясь фундаментальнылл решениелл оператора Клейна— Гордона-Фока (см. ~ 3.1, п. 10, б)), показать, что решение задачи Коши для уравнения Клейна Гордона- Фока выражается формулой г З.У. Задача Коши длл волнового уравнения 175 1 яп а1 и(1) = — / яп а(У вЂ” т) р(т)и(т) й + ив сов а1+ и1 а ./о а К /и(х,1)/ < —, х Е С, 1 > О. с) Показать, что частные решения и-мерного волнового уравнения 131 и = 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
