Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Так как функция К1х,1) = / М(О~К(х — р, 1) М И;,1) < ° р ~ ов~ /8( -~,1)д~= ° р ~ а®~, сея" / еен то эта функция локально интегрируема в Кн+'. Следовательно, по- верхностный тепловой потенциал ГЩ1 = с (х, 1) * ио(х) представляотся формулой (8) (см. ~ 2.3, п.2): 1 "'(х,1) = ~ ио(6~(х — 61) К, (8') обращается в нуль при 1 < 0 и в силу неравенства ~Г~о~ ~ < Ь удовлетворяет оценке (9). Значит, 1'1о1 Е М. Далее, из формулы (8) следует, что Г®ЕСо'(1 > 0) (см. 9 1.1, п. 4). Пу.сть теперь иа — непрерывная ограниченная функция в йн.
Докажем, что потенциал 1'1Щ принадлежит С(1 > 0) и удовлетворяет условию (10). Пусть (х,е) — 1 (ха,О), 1 > 0 и е > 0 произвольное число. В силУ непРеРывности иа(х) сУществУет такое чисю д > О, что ~ио1С)— — иа(хо)! < е при (~ — хо! < 26. Поэтому есчи (х — ха! < б и (р < )6, так что )х — у — хо! < 24, то в силу (1) и (8') при 1 > 0 имеем ~~'Щ~(х,1) — ио(ха)~ < / ~ио(~) — ио(ха)!КМ вЂ” че,1) е1че = )иа1х — у) — ио(хо)(~(у 1) е1у+ ~ )ио1х — у) — ио1хо) Е(у 1) ду < /' (р)<е д~ы>е < е+ впр (ио(9)! е ~~ д(.
(11) нп/2 (еи, д/~!>едаачц Второе слагаемое в (11) также можно сделать < е за счет 1-+ О, так что при некотором б~ < й )[11о1 (х,т) — ио(хо)~ < 2е, ~х — хо~ < А ~Р~ < А. Теорема доказана. обращается в нуль при 1 < О, а при 1 > 0 в силу 11) удовлетворяет оценке (9): 196 Гл. П1. Фундамеитальнае решеиие и задача Коиш 3. Постановка обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводностн.
Схема решения задачи Коши, изложенная в 9 3.3, п. 1 для обыкновенного линейного дифференциального уравнения, применяется и для решения задачи Коши для уравнения тепло- проводности — = а Ь+11х,о),. ди дй (12) и/, о — — ио. (13) Считаоль 1 Е С(1> 0) и ао Е С(Ка). Предположилц что сущоствует классическое решение и(х,1) этой задачи. Это значит, .что а Е С'(1 > > 0) П С(1 > 0) удовлетворяет уравнению (12) при 1 > 0 и начальному условию (13) при 1 — у +О (сьь 91.4, п.2). Продолжая функции и и 1' нулем при 1 < О, как и в 93.3, п. 2, заключаем, что продолженные функции й и 1 удовлетворяют в К"+' уравнению теплопроводности дй а — = а ~ьй+ 1"(х,1) + ио б(1).
д1 (14) — = а 11и+ г'(х,1). а д1 (15) Уравнение (15) эквивалентно следующему (см. 93.1, п. 1): для любой основной функции оз Е тз(К"~ ) справедливо равенство — и — = а (и Ьр) + (Г р). д~ '1 д1( (15') Из уравнения (15) следует, что необходимым условием разрешимости обобщенной задачи Коши является обращение в нуль Р при 1 < О. Равенство (14) показывает, что начальное возмущение ио для функции й(х, 1) играет роль мгновенно действу кзщего источника ио(х) .511) (типа простого слоя на плоскости 1 = 0) и классические решения задачи Коши (12), (13) содержатся среди тех решений уравнения (14), которые обращаются в нуль при 1 < О. Это дает основание ввести следующее обобщение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником Г Е 'П'(К'ть ) назовем задачу о нахождении обобщенной функции и Е Гз'(Кать ), обращающейся в нуль при 1 < 0 и удовлетворяющей уравнению теплопроводности чу.б. Задача Коши для уравнения теплопроводноети 197 4. Решение задачи Коши. Творвмп. Пусть Р(х,.е) = 7'(х, 1) + ио(х) б(у), где 7" Е М, ио-- ограниченная функция в ьчп. Тогда решение соответствующей обобщенной задачи Коши существует и единственно в классе М и представляется формулой Пуассона и(х,1) = ехр —, дсдт+ /' 7'(с, т) )' (х — 5~г ,!.П, ЧŠ— Е 1 4ье — П) + / ио® ехр ~ — ', 1 д5. (16) д(1) Т Г ~х — ~~з ) (2ач,л1)ч /и ' (,1азг Решение и неирерывно зависали оли 7 и ио в следующем смысле: если (,( — Я < е, (ио — йо~ < ео, то соответствуюи1ие решения и а й в любой полосе 0 < 1 < Т удов- летворяют оценке (17) ~и(х,е) — й(х,1)! < Те+го.
Если к тпому же 7" Б Сг(1 > 0), все ее производные до второго порядка включилпельно принадлежат классу М и ао ч С(ег'), то решение и(х,1) классическое. ДоказлтБ71ьство. В силу условий теоремы свертка Е с правой частью Е уравнения (15) существует в М и представляется в виде суммы (16) двух тепловых потенциалов 1' и Г1о1, и зти потенциалы выражаются формулами (4) и (8) соответственно (см. теоремы из пп. 1, 2). Таким образом, по теореме из 93.1, п.3 формула (16) дает решение обобщенной задачи Коши для уравнения теплопроводности, и это решение единственно в классе М. Непрерывная зависимость решения и от данных задачи 7 и ио вытекает из оценок (5) и (9). Если функции 7' и ио удовлетворяют дополнительным условиям гладкости, приведенным в теореме, то по теоремам из пп.
1,2 построенное обобщенное решение и принадлежит Сг(1 > 0) П С(1 > 0) и удовлетворяет начальному условию (13). По лемме из 9 3.1, п. 1 и(х, 1) удовлетворяет уравнению (12) в области 1 > О. Поэтому и классическое решение задачи Коши (12), (13). Теорема доказана. 198 Гл. 1П. Фундаментальное решение и задача Коиш Подводя итоги, можно сказать, что задача Коши для уравнения теплопроводности поставлена корректно (сьь 8 1.4, п.
6), причем С (1 > О) П С(1 > О), д и б М, ~о~ < 2, — класс корректности классической задачи Коши и М класс корректности обобщенной задачи Коши. Злмкчлнии. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе, а именно в классе функций, удовлетворяющих в каждой полосе 0 < < 1 < Т оценке ~и(х,1)~ < Се~~*, С = С1Т), а = а(Т). 5. Упражнения. а) Показать, что решениями смешанных задач г не=а и„, с граничными условиями: 1) и~.=о =Йс), 2) и*~.=-о =~(1), являются соответственно функции: 1) (х,1) = С(х,б) *~ „(х) — 2аг *зд(1) = где(х ь) дх х /' ят) ~ хг + ехр — Йт; 2а,~х,/д (1 — т)з1г ) 4аг(ь — т) 1' 2) и(х,1) = с1х,1) е йо(х) — 2агс(х,1) е ш11) = = ' У -« ~- (-' " ) -+"" Е"— ъ~х,/о;/Г: т 1.
4аг (ь' — т) у 3.5. Задача Коша длл ураоненнл шеплопрооодноети 199 Здесь ио Е С(10, оо)) ограничена, йе и йо . -- ее нечетное и четное продолжения соответственно и у1 Е С([0, оо)), у1 = О, 1 < О. б) Пусть функция ие(х) ограничена в йп и обладает шаровым предельным средним 1 1нн и / ио(х) елх ~оо Пп )о(<я Доказать, что решение и(х,1) соответствующей задачи Коши для уравнения теплопроводности стабилизируется к а при 1 -+ оо, т.е. и(х,1):1 а, ~х~ < В, 1 — о сю, Л любое. в) Пользуясь фундаментальным решением оператора Шредингера (см. 9 3.1, п.
10, г)) показать, что задача Коши для одномерного уравнения Шредингера (см. формулу (ЗЗ) из 9 1.2) сводится к интегральному уравнению ф(х,1) =Л/ / ехре(г' 1 ш(е,т)аее1т+ 1е1 ( шо~х — ~(з) ! ® ° л — '"1..р(;"'* о )еле)ее, л=-',1" ..р( — '). г) Показать, что задача Коши для (нелинейного) уравнения Бюргегса ие + иио = а ила, и~, „= ио(х), 2 с помощью замены и = — 2аау,1,о сводится к задаче Коши для урав- нения теплопроводности 1 Ро д =а оооо, р(, о — — ехр~ —, / ио®Ж~ 2аз / д) Показать, что неаинейное уравнение Шредингера 1ие + и,, + п)и)аи = О, и ) О,. 200 Гл.
1П. Финданентальное решение и задача Коши имеет решение Я ехр(с~-х — ( — — о)1~~ и(х,. е) = ~/ н сК чсо(х — ае) нри любых вещественных а и о > О. с) Показать, что уравнение Кортсвсга — дс Фриза ис+бии +и аа = О имеет решение исх,1) = —,ссс ~ — (х — а~), а > О. з.а 2 ~ 2 Глава )Ъ' ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Иннаееральными уравнениями называя>тся уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла. Многие задачи математической физики сводятся к линейным интегральным уравнениям вида К(х,у) р(у) у = П ), |р(х) = Л / К(х, у) ьо(у) ду + )'(х) (2) р(х) = Л / К(х, у) р(у) ду (3) называются однородным интегральным уравнением Фредгольма вто- рого рода, соответствующим уравнению (2). Интегральные уравне- ния Фредгольма второго рода йх) = Л ~ К*(х у)У(у) ду+ у(х), /в Ях) = Л 1 К*(х,йФ(у)ду, хо (2') (3') относительно неизвестной функции у(х) в области 0 С И".
Уравнения (1) и (2) назыветотся интегральными уравнениями Фредеольма первого и второго родов соответственно. Известные функции К(х, у) и Д(х) называются сов~ветс~асино ядром и свободнььи иенам интегрального уравнения; Л -- комплексный параметр. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода здесь рассматриваться не будут. Интегральное уравнение (2) при у" = О 202 Гл. 1у. Интеервльные уравнения где К*(х, у) = К(у, х), называются еоюэны.ми к уравнениям (2) и (3) соответственно. Ядро К*(х,у) называются эрмитово соирлэкенным (союзным) ядром к ядру К(х,у). 'з1ы будем записывать интегральные уравненил (2), (3), (2') и (3') сокращенно, в операторной форме; д=лкр+ 1, 1~ = ЛК" + д, р=лкр, ~ = лк*~, где интегральные операторы К и К* определяются ядрами К(х, у) и К*(х, у) соответственно (см.
2 1.1, п. 8); К 1)(х) = К (х, у)1(у) ееу эо ( УЦ ) = / К(х,у)У(у) Ду. 8 4.1. Метод последовательных приближений 1. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Для простоты изложения ограничимся случаем одной переменной. В качестве области С в интегральном уравнении (2) возьмем интервал (О,а). Нредположим, что функция 1 непрерывна на отрезке ~О,а) и ядро К(х, у) непрерывно при 0 < х, у < а. (Такис ядра будем называть непрерывными.) Напомним определением норм в пространствах Ез(0, а) и С(~0, а)) и скалярного произведения в Ез(0, а) (см.
2 1.1, п. 3 и п.б): еа (~,д) = / ~(х)д(х)бх, 1",д Е Ез(О,а), о еа / (1'(х)р е1х = ф77),,~ Е Ез(0,. а), о К интегральным операторам и уравнениям применимы все определения и факты, изложенные в 21.1, пп.8 — 10. Кроме того, оказывается полезным следующее определение: комплексное значение Л, при котором однородное интегральное уравнение (3) имеет ненулевые решения из ьз(С), называется характеристическим числом ядра К(х, у), а соответствующие решения собственно~ми д1унки лми этого ядра, отвечая>щими этому характеристическому числу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
