Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Имеем 216 Га. 11с. Интеерааьнесе ураененил где с1, = ф,1с) -- неизвестные числа. Соответствующая система линейных алгебраических уравнений, эквивалентная уравнению (3'), имеет вид 1ь = Л'~,8„1, + Ь„, й = 1....., Л', (8') где ге дь, = ~ Х„'ссе)дс(х) й: = о,ы бе = (д, Уе). о Таким образом, система (8') сои>зная к системе (8): 1 = ЛА* 1-ь Ь, (9') где А' = (дь ) = (оь) = А, с1 = (с1с,",дн), Ь = (бы"".бл) с1ес(1 — ЛА*) = с1ес(1 — ЛА ) = с1ес(1 — ЛА') = Р(Л), (14) гап8(1 — ЛА*) = гап8 (1 — ЛА') = сап8С1 — ЛА) = д.
Могут представиться два случая. 1. Р(Л) р'. -О. Тогда д = Дс,и системы (9) и (9') однозначно разрешимы при любых а и Ь. Следовательно, уравнения (3) и (3') также однозначно разрешимы при любых 1 и д, и эти решения даются формулами (4) и (4') соответственно. 2. РЯ = О. Тогда д ( Х, и в силу (14) однородные системы (9) и (9') имеют ровно по Л" — д линейно независимых решений с~'~ = (срб с~,~) с1С о — (с1~е1 с1~е~) е — 1 Дс Однородные интегральные уравнения (3) и (3') будут также иметь ровно по Х вЂ” д линейно независимых решений, определяемых форму- лами (4) и (4') соответственно, ф,(х) = Л~~ сс~ ~д,(х), с=с атее(х) = Л~ с,. Ях), с=с е = 1,..., Л' — д.
(15) Из курса линейнои ачгебры известно (см. [4)), что определители и ранги матрицы и ее транспонированной совпадают. Поэтому в силу (10) 217 Д.И. Тсорелсы Фредгольма Докажем линейную независимость полученных систем решений )~р„1 < е < Аг — о) и 1км 1 < е < Ас — о).
Пусть найдутся такие числа р„е = 1,..., Ас — о, что Х вЂ р,1о,[х) = О, х Е [О,а[, л=г т. е. в силу [15) Х Ю вЂ” д ~Ях) ~ ~с; р, =О, л Е [О,.а]. Отсюда в силу линейной независимости системы функпий 11О 1 ( < 1 < Я вытекают равенства к †~с, р,=О, л=1 Поскольку система векторов 1ссл~, 1 < ь < Х вЂ” д) линейно независима в 11м, то из последних равенств вытекает р, = О, е = 1,..., Х вЂ” д, что и доказывает линейную независимость системы решений ~Ос,).
Аналогично устанавливается линейная независимость системы решений ~14л). Далее, для разрешимости системы (9) при 1Э[Л) = О необходимо и достаточно выполнение следуюших условий ортогональности*): [а,с169) = ~ ~а,с1; = О, = 1,,Аг — д [16) Условия [16) зквивалентны условиям га [~, ед,) = / ~(хил(х) с1х = О, е = 1,..., Ас — о, о поскольку в силу [15) и (7) о гамле '= К[)" гнило *)г.' = о о *) Это есть геометрическая форма теоремы Кронекера — Канелли (см. [4)).
218 Гл. Ге'. Интегральные уравнения л' = Л~ а,Й,* = Л(а,с1ОО). е=1 Итак, доказаны следукнпие теоремы, называемые теоремами Фредгольма. Ткоркмл 1. Если Р(Л) ~ О, то уравнение (3) и союзное к нему урпвнение (3') однознпчно разрешимы нри любых свободных членах )' и д. Тгоркмл 2. Если Р(Л) = О, то однородные уравнения (3) и (3') имеют одинаковое число линейно независимых решений, равное Х вЂ” д, где д ранг матрицы 1 — ЛА. Ткоркмл 3. Если РЯ = О, то для разреш мости уравнения (3) необходимо и достаточно, чтобы свободный член 1" был ортогонален ко всем решениям де, в = 1,..., Де — д, союзного однородного уравнения (3'). Из теорем 1 и 2 следует, что характеристические числа вырожденного ядра совпадают с корнями полинома РЯ и, следовательно, их конечное число.
Далее, из формулы (13) для резольвенты вытекает, что характеристические числа вырожденного ядра совпадают с полюсами его реэольвенты. Может оказаться, что функции 7; и д, в представлении (2) вырожденного ядра зависят от комплексного параметра Л, а именно: пусть Ях;Л) и дйх;Л) непрерывны по (х,Л) в [О,а) х С'„,, 1У„, = = ~)Л( ( ш), и аполитичны по Л в круге И . В этом случае теоремы Фредгольма 1 — 3 останется справедливыми при условии, что Л й И, причем определитель Р(Л) --- аналитическая функция в круге И, отличная от тождественного нуля. Действительно, элементы матрицы А, вычисляемые по формуле (7), .-- аналитические функции в круге Г„. Поэтому в силу (10) Р(Л)--- аналитическая функция в этом круге, причем РЯ у: О. 3.
Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром. Доказанные в предыдущем пункте теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром допускают распространение на интегральные уравнения с произвольным непрерывным ядром. Идея доказательства состоит в том, что непрерывное ядро представляется в виде суммы вырожденного ядра и достаточно малого непрерывного ядра. Это дает возможность, 44.2.
Теоремы Фредеольма 219 пользуясь результатами 2 4.1 о разрешимости интеграяьных уравнений с малым ядром, свести соответствующее интегральное уравнение к интегральному уравнению с вырожденным ядром, для которого теоремы Фредгольма уже установлены. Отсюда будет счедовать вывод о справедливости теорем Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывными ядром на отрезке.
Итак, пусть ядро К(х, у) непрерывно при 0 < х < а. По теореме Вейерштрасса (см. 2 1.1, и. 3) его можно приблизить сколько угодно точно полиномами, т. е. длн любого е > 0 существует такой полинам Р(х, у) = ~~~ амх'у~,. (17) я=о что )К(х,у) — Р(х,у)( < е, 0 < х,у < а. Таким образом, ядро К(х, у) представллется в виде (18) К(х, у) = Р(х, у) + Я(х, у), где Р(х,у) вырожденное ядро (полинам) и Я(х,у) малое непрерывное ядро, ~Д(х, у)~ < е, 0 < х, у < о,.
В силу (18) интегральное уравнение Фредгольма принимает вид (19) ьо = ЛР~р+ ЛЦ~р+ 7, где Р и ьд -- интегральные операторы с ядрами Р(х, у) и Я(х, у) соответственно, причем Р + Я = К. Покажем, что при ~Л~ < 1/(еа) в классе С([О,а)) интегральное уравнение (19) эквивалентно интегральному уравнению с вырожденным ядром. Для этого введем новую неизвестную функцию Ф(х) по формуле (20) По теорелле из 24.1, п.
2 функция ьо однозначно выражается через Ф по формуле Т = 11 — Л®- 'Ф = (1+ ЛЛ) Ф, (21) где Л интегральный оператор с ядром 7С(х, у; Л) резольвентой ядра й(х, у). В силу (20) и (21) уравнение (19) принимает следующий эквивалентный вид: (22) Ф = ЛР(1+ ЛВ)Ф + 7" = ЛТФ -> 7', Вс 1К Интезральнме уравнения 220 где (23) Т = Р+ ЛРВ. Вспомнилб что резольвента 7с(х, д; Л) непрерывна по (х, д; Л) при 0 < х, у < а, (Л! < 1Део), и аналитична по Л в круге )Л! < 1/(еа) (сьь ~4.1, п.2). Отсюда, принимая во внимание лемму из ~4.1, п.2, закяючаем, что оператор Т интегральный с непрерывным ядром са Т(х,д; Л) = 7э(х,д) + Л / 'Р(х,д')Тс(д',у; Л) ду'. о Далее, из (17) вытекает, что ядро Т(х, у; Л) вырожденное и аналитическое по Л в круге )Л) < 171еа).
Теперь преобразуем союзное интегральное уравнение (1'). В силу' (18) К* = Р* + Я, и поэтому уравнение (1') принимает вид (19') (Т вЂ” ЛЯ')1д = ЛР 4+ д. Применяя оператор (1 — ЛЯ*) ' к уравнению (19') и пользуясь ра- венством (21') из ~ 4.1, и. 2, 11 — Ла*) ' =1+ЛВ', 1Л~ < —, еа приведем его к эквивалентному уравнению д = (1 — Лд" )-'1ЛР* Р+ д) = Д+ ЛВУЛТ "<Р 4- д) = = Л(Р*+ ЛВ" Р')чу'+ (Т+ ЛВ*)д. (24) Полагая (25) д, = (Т+ ЛВ')д, д = (Т вЂ” ЛЯ*)д„ и учитывая, что согласно формулам (16) из ~ 4.1 и (23), Р* + ЛВ*Р' = (Р -~ ЛРВ)* = Т', перепишем уравнение (24) в виде (22') д = ЛТ" д+д,.
Таким образом, при (Л( < 1/(еа) в классе С([0, а)) интегральное уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению (22) с вырожденным ядром Т(х, у; Л), аналитическим в круге ~Л~ < 1Деа), а союзное к нему уравнение (1') эквивалентно уравнению (22'), союзному (4.2. Теоремы Фредгольми 221 к уравнению (22). Но для уравнений (22) и (22') справедливы теоремы Фредгольма 1 — 3, и определитель Р(Л) аналитическая функция в круге ]Л[ < 1/(еа) (см. и. 2). Отсюда, пользуясь эквивалентностью этих уравнений исходным уравнениям (1) и (1'), получаем следующие теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным ядром.
Совокупность этих теорем называется альтернативой Фредгольма. Аль'гивндтива Фридгольма. Если интегральное уривнение (1) с непрерывным ядром разрешило в С([О.,а]) при любом свободном члене з" й С([О,а]), то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в С([0, а]) при любом свободном члене д й С([0, а]), причем зти решения единственны (первая теорема Фрсдгольма). Если интегрильное уривнение (1) разртиило в С([О,а]) не при любом свободном члене з', то: 1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма); 2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член з" был ортогонален ко всем решен ям союзного однородного уривнения (1') (третья теорема Фредгольма). Доказаткльство.
При Л = 0 альтернатива Фредгольма, очевидно, справедлива. Поэтому считаем Л у: 0 и в предыдущих построениях выберем е < 1/([Л]а). Пусть уравнение (1) разрешимо в С([0, а]) при любом з' й С([0, а]). Тогда эквивалентное ему уравнение (22) с вырожденным ядром также будет разрешимо в С([0, а]) при любом Т". Отсюда, применяя теорему 3 из п. 2, заключаем, что Р(Л) ф О. А тогда, по теореме 1 из п. 2, уравнение (22) и союзное к нему уравнение (22') однозначно разрешимы при любом з и д~ й С([0, а]). Но функции д1 и д взаимно однозначно выражаются по формулам (25).
Следовательно, эквивалентные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы в С([0, а]) при яюбых 1 и д. Первая теорема Фредгольма доказана. Если уравнение (1) разрешимо в С([0, а]) не при любом (', то и эквивалентное ему уравнение (22) с вырожденным ядром также разрешимо в С([0, а]) не при любом з'. Отсюда по теореме 1 из п. 2, заключаем, что Р(Л) = О. Но тогда, по теореме 2 из п.2, однородные уравнения (22) и (22') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений в С([О,а]). Поскольку.
функции Ф и уо связаны соотношениями (20), то и эквивалентные им однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений в С([0, а]) (см. 21.1, п. 9). Вторая теорема Фредгольма 222 Гл. 1Р. Интегральные ураанения доказана. Далее, по теореме 3 из п.2, для разрешимости уравнения (22) при Р(Л) = О необходимо и достаточно, чтобы свободный член Т' бьы ортогонален ко всем решениям сокьзного однородного уравнения (22'), Но решения уУ эквивалентных однорочных уравнений (1') и (22'), равно как и правые части 2 эквивалентных уравнений (1) и (22), одни и те же. Следовательно, для разрешимости уравнения (1) в рассматриваемом случае необходимо и достаточно, чтобы свободный член 7' был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
