Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подробности изложены в (Ц. Теория Фредгольма Я4.2) и результаты 24.1 и 24.3 остаются справедливыми и для интегральных уравнений с полярным ядром на ограниченной кусочно гладкой поверхности о (см, я 1.1, п. 1): р(х) = Лд1 '' во(у)е1Би+ 1(х), о < т, (34) Г 'Н(х,у) я ~х — д! где ядро 'Н(х, у) непрерывно на о' и т . - размерность поверхности Я. Теория же Гильберта-Шмидта сохраняется для интегральных уравнений (34) со слабо полярным (о < т/2) эрмитовым ядром (Н(х, у) = = 'Н(д,х), х, д Е Я). Теория Гильберта — Шмидта и результаты 2 4.3 распространяются и на некоторые интегральные уравнения с неэрмитовыми ядрами. Например, интегральное уравнение с эрмитовым ядром К(х, у) р(х) = Л / р(у)К(х.,у)ео(д) ду+ 1"(х), х Е С, (35) где р положительная непрерывная фу.нкция на С, с помощью замены 1б = /ру неизвестной фу.нкции ив сводитсл к интегральному дв в * в» ЖИЬ,в) вло=а1 врс >рр„)лов>в(оаввврс т в а.
(вв) .1п 16 В. О. Владимиров, В. В. жарииоа 242 Гл. 1у. Интегральные уравнения Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с положительным полярным ядром К(х, у) ) О, х Е Еея, уЕ!я'. Справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА Е!!ТЧА. Наименьи!ее по модулю характеристическое число положительного полярного лдра К(х,.у) положительное и простое, а своп!ветствуюи!ал собственная функи л можеп! быть выбрана положительной в С. Заметим,. что аналогичная теорема справедлива и для матриц с положительными элементами; в этом случае она называется теоремой Перрона. Доказательство теоремы Китча в случае симметричного положительного ядра приведено в !1). Глава У КРАЕВЫЕ ЗАДАстИ ДЛЯ эгРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИ ЧЕСКОГО ТИПА В этой главе изучаются краевые задачи для уравнений эллиптического типа, в частности, теория потенциала для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве и на плоскости и для уравнения Гельмгольца в пространстве.
Если не оговорено особо, то область С предлагается ограниченной, а се гранина 5 кусочно гладкой поверхностью. Обозначим через С1 внешность С, С1 = К" '1 С., С О С1 = н'. 3 5.1. Задача на собственные значения 1. Постановка задачи на собственные значения. Рассмотрим следующую линейную однородную краевую задачу для уравнения эллиптического типа (см. ~ 1.4, п.
3); — йг(рдгас1и) -~- ои = Ли, х б С, дп аи+р — =0 на 5. дп (2) Предполагаем (см. ~ 1.4, пп. 1, 3), что РААС'(С), оеб(С), р(х)>0, д(х)>0, х~С; а Е С(б'), В Е С(5), а(х) > О, ~3(х) 3 О, (3) а(х) -~,о(х) > О, х е 5. Пусть эе та часть 5, где а(х) > 0 и р'(х) > 0 одновременно. Задача (1), (2) состоит в нахождении функции и(х) класса С' (С) О С'(С), удовлетворяющей уравнению (1) в области С и граничным условиям (2) на границе 5. Очевидно, задача (1), (2) всегда 16~ 244 Гл. 12.
Краевьсс задачи длл уравнений эллиптичесноео типа. имеет нулевое решение. Это решение не представляет интереса. Поэтому задачу (1), (2) необходимо рассматривать как задачу на собственные значения (сы. 21.1, п.9) для оператора Ь = — 211с(р 8гас1) + ф К области определения Мь оператора Г (сьс. 21.1, п.8) отнесем все функции 1 (х) класса С-(С) ПС' (С), удовлетворяющие граничному условию (2) и условию Цу) Е Сз(С).
По лемме из 22.1, п.2 Ю(С) плотно в Сз(С), а с (С), очевидно, содержится в Мш Поэтому Мь плотно в Сз(С). Итак, задача (1), (2) состоит в нахождении тех значений Л (собственных значений оператора Х), при которых уравнение (4) Ьи = Ли имеет ненулевые решения а(х) из области определения Мь (собственные функции, соответствующие этому собственному значению). Злмнчянин. Собственные функции гладкости СС(С) существуют не всегда. Поэтому в некоторых задачах требование гладкости ослабляется. Это естественно для краевых задач 1 рода (не содержащих —; см. 21.4, и.
3). Для остальных краевых задач под — на д ди. ди ди' дп понилсают так называемую правильную нормальную производную (см. 21.4, п.5, замечание и 25.3, п.2). 2. 21эормулы Грина. Если и е С~(С) П С (С) и о е С (С), то справедлива первая формула Грина о /' /' ~до ди з=1 д2С вЂ” / ри — 245+ уиос1х.
(5) ,4 д. Для доказательства формулы (5) возьмем произвольную область С' с куРис. 50 сочно гладкой границей о', строго ле- жащую в области С (рис.50). Так как и е Сз(С),то и е Сз(Сс),.и, следовательно, иЬисСх = и~ — Йи(р8гас1и) + да) 21х = о до у б./. Задача на собсгноснные значения д'о ди — Йу(/ги 8гас1 и) с/х + р ~ — — с/х + г/ии а/х. да ./О' . длг длг ./О' г=1 Пользуясь теперь формулой Гаусса .Остроградского (см. й 1.2, п.
2), получаем ' /'. / ч ди ди Г ди и7ег, с/х = р ~ с/х — / ро — г/Я' + / г/гги с1,с. да, ~-;дх,дх, /,, дп ( /' Г ди дихг (и7и — иГи) с/х = р (и — — и — / с/Б. (6) ,/и (, дп дп,/ Для доказательства формулы (6) в первой формуле Грина (5) поменяем местами и и и: ди ди / ди иГггг/х = / р~ с/х — / ри — г/Я+ с/ииг/х, О а,,дх дт б дп 3а и вычтем полу.ченное равенство из равенства (5). В результате получим вторую формулу Грина (6). В частности, при р = 1г г/ = 0 формулы Грина (5) и (6) превращаются в следующие (ср. с формулой (29) из й 2.2): Г ди ди Г ди игпи с/х = — ( ~ ~с/х+ / и — с/Я, О О.
дхгдх, в дп (7) /' / ди дихг (и/у,и — игпи) с/х = ( и — — и — ) с/Б. а ,/и (, дп дп,/ (8) Здесь и ниже предполагается, что последовательность кусочно гладких поверхностей Яг — г б выбрана так, чтобы выполнялось предельное соотноогснис / у' †", Ибг — г / у" †" Иб для любых 7 Е С(а) ни Е Сг(а). Устремляя в полученном равенстве С' к С и пользуясь тем, что и и и принадлежат С'(С), заключаем, что предел правой части су.ществует, и, следовательно, существует предел левой части и справедливо равенство (5).
При этом интеграл слева в (5) *) следует понимать как несобственный. Если и и и принадлежат С (С) О С'(С), то справедлива вторая гГгорлгула Грина 246 Гл. 1'. Краевые задачи длл уравнений зллинтичеекаеа тина. 3. Свойства оператора Ь. Оператор Е эрмитов: Ю,д) =)д,Ы, 1,дбдйь. Действительно, так как функции 1 и д лежат в зУйь, то Ь~ Е е Е (С) и Ьд = Ьд е Ез(С), и вторая формула Грина (6) при и = у" и и = д принимает вид Яй) — )з д) е1х = (й~,д) — (у, Гд) = / р ) у — ' — д — ) е15. (10) е' дд дУ'у С ,/, ), дп дп,/ Далее, функции у и д удовлетворяют граничному условию (2): пу+д — =О, еед+д — =0 на Я. (11) дп дп По предположению (3) о + д > 0 на Я.
Поэтому однородная систе- ма линейных алгебраических уравнений (11) имеет ненулевое реше- ние (о, д), и, значит, ее определитель равен нулю, т. е. дд дУ =1 — — д — =0 на Я. дп дп Учитывая полученное равенство, из формулы (10) получаем равенство (9), которое и означает, что оператор Л эрмитов (сьь й 1.1, п. 10). Пусть 1 Е Л4ю Полагая в первой формуле Грина (5) и = 1 и и = у и учитывая, что А~ б Еэ(С), получаем -1 "«' х-/ дп- / Из граничного условия (2) следует, что Подставляя эти соотношения в равенство (12), получаем выражение для квадратичной формы (Г| У) = / (И" «У~а+дй')дх+ / р — Фдд У~Дй (13) д1 дп дд дп ду и — = — — Л, дп,9 1=0, если )з1х) > О, х Е Я; если Ях) =О, х е Я. у бхб Задача на еабетеенные значения 247 где оо -- та часть о,где о(х) > 0 и Ях) > О. Квадратичная формула (Ь7.7'), 7 Е Ме., называется иитегралояе энергии.
В силу предположений (3) в правой части (13) все три слагаемых неотрицательны. Поэтому, отбрасывая второе и третье слагаемое и оценивая снизу первое слагаемое, получаем неравенство 1Й),У) > р~ ага4Д Йх > пнпр(х) / ~6габД Йх, аеп т. е. (Е~,У) > Ро ~! )дгас1Д )!', 7' Е Мщ (14) где ро = пппр1х) > 0 в силу непрерывности и положительности функции р(х) на С. Из неравенства (14) вытекает, что оператор 1, положительный (см.
21.1, п. 10), т.е. (Е~,у) > О, 1 б Иь. (15) Отсюда, в частности, опять следует эрмитовость оператора Ь (см. 2 1.1, п. 10). 4. Свойства собственных значений и собственных функций оператора я.. Все собственные значения оператора А неотрицательны. Это утверждение вытекает из положительности оператора (см. 2 1.1, п. 10). Собственные функции оператора Е, соответствукещие различным собственным значениям, ортогональны. Это утверждение вытекает из эрмитовости оператора Е (см.
21.1., п. 10). Собственные функции оператора А можно выбрать вещественными. Это утверждение вытекает из вещественности оператора Е (ср. 24.3, п.3). Действительно, пусть Ло -- (вещественное) собственное значение и ио соответствующая собственная функция оператора Е, (16) Ьио = Лоио, ио Е Ме Отделив в равенстве (16) вещественную и мниму.ю части, убедимся, что отличные от нуля вещественная и мнимая части собственной функции ио = ие +диа также являются собственными функциями, соответствующими собственному значению Ло, 1и. = Лои, у = 1, 2. 248 Гл. У'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
