Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Интегрируя (8) при условиях С1(1) = С2(0) = О, имеем г1 С1 (х) = — 7 (У) из (У) оу р(0)ю(0) ~ 254 Гл. 1'. Краевьле задачи для уравнений эллиптическоео типа. 1' е С ( ) = — / 1(у) (у)йу Подставляя полученные выражения в (6), находим искомое решение задачи (3) в виде Г1 и(х) = — ~ог(х) / ~Мог(у) йу+ос(х) / Я(у)ог(у) йу, х или Г' и1х) = / й' у%у) йу о где ~и1(х)иг(у), 0 < х < у, с11х, у) = — (10) Р10)ш(0) 1 (.)о,(у) у « 1 Функция Ят,, у) называется функцией Грини краевой задачи (3) или оператора Л.
Итак, доказан следующий результат. х=у Лкммл. Если Л = 0 не есть собст- венное значение оператора А, то решех<у ние краевой задачи (3) существует, единственно и выражается форму- П лой (9). х>у Перечислим свойства функции Гри- на й1х, у), вытекающие непосредственно 0 1 х из формулы (10). 1) 6 вещественна и непрерывна в Рнс. 51 замкнутом квадрате П = ~0,1) х [0,1) и принадлежит классу С в замкнутых треугольниках 1рис.51) (0<х<у<Ц, (0<у<х<1).
2) 6 симметрична: Йх.у) = 6(у,х), (х у) е П. 3) На диагонали х = у скачок производной 6, равен -1 1р(у), т, е. д6(у + О, .у) д6(у — О, у) 1 дх дх р(у) ' у ч (0,1). З 5.2. Задача 1Пшдрма — Лидвилля 255 4) Вне диагонали х = д 6 удовлетворяет однородному уравнению Ея6(х,д) = О, х ф д, (х,д) Е П. 5) На боковых сторонах квадрата П 6 удовлетворяет граничным условиям (2): й16(О,д) — йа ' = Н16(1,д) + На ' = О, д 6 (0,~). 6(о, д), а(с, д) дх дх Пгимгг.
Функция Грина краевой задачи — ии = Д(х), и(0) = и(1) = 0 имеет вид х(1 — д), О < х < д, йх,д) = (1 — х)д, д < х < 1. Физичкский смысл функции Гриня. Из свойств 1), 3) и 4) вытекает, что при каждом д Е (О, Ц функция Грина сз(х, д) удовлетворяет в обобщенном смысле (см. к 3.1, п. 1) уравнению Ья6(х,д) = б(х — д), х Е (0,1). Поэтому и'(х,д) есть возмущение, порождаемое точечным источником интенсивности 1, находящимся в точке д. Таким образом, функция Грина м(х,д) является естественным обобщением фундаментального решения (см. 33.2, п.2) на уравнения с переменными коэффициентами при наличии граничных условий (описывающих процессы в неоднородных ограниченных средах). 2.
Сведение задачи Штурма — Лнувилля к интегральному уравнению. Покажем, что задача Штурма-Лиувилля сводится к интегральному уравнению Фредгольма с вещественным, симметричным и непрерывным ядром 6(х, д). Ткогкмп. Краевал задачи Еи = Ли+ з", и Е Лдь, з'" Е С(0,1) йЕа(0,1), (11) при условии, что Л = 0 не естпь собственное значение оператпора Ь, зивиеаленгпнп апшеерпльномд уравнению и(х) = Л / 6(х,д)и(д) дд+ / Я(х.,д)1(д) дд, и Е С((О,П),.
(12) о в 256 Гл. е'. Краеведе задачи длл уравнений эллиптического типа. где й[хд у) --- функция Грина оператора Ь. Докязлтвльство. Если и[х) решение краевой задачи [11), тод применяя лемму из п. 1 с заменой 4' на Ли + 4', получим е' и[х) = / м[х,у)[Ли[у) + Д[д)] д1д, о т. е. и[х) удовлетворяет интегральному уравнению (12). Обратно, пусть функция ио[х) Е С[[0,1]) удовлетворяет интег- ральному уравнению [12). Рассмотрим краевую задачу Ьи = Лио + д'д и б Мп. По лемлде из п. 1 единственное решение этой задачи дается формулой и[х) = / 6[х,у)[Лио[у) + 1[у)]е1у= ио[х)д о откуда следует, что и принадлежит Лдс и удовлетворяет уравнению Т,ио = Лио+ У, д! и[х) = Л / 6[хду)и(у) !1!!, о и е С[[0,1])., [13) при условиид что Л = 0 не есть собственное значение оператора Т. Теперь освободимся от предположения, что Л = 0 не есть собственное значение оператора Г,. Заметим, что, в силу леммы из 5 5.1, п.
4 р = 0 не есть собственное значение задачи Штурма — Лиу.вилла Йди = — [ри )' + (д + 1)и = дди, (14) Ьддд[0) — 1дяи'(0) = Ндиф + 1даи'Н) = О. (15) Но Мв = Мта д и поэтому задача [14) д [15) эквивалентна задаче [1), [2) при р = Л + 1. Следовательно, задача Штурма — Лиувилля [1), (2) эквивалентна интегральному уравнению ед и[х) = [Л + Ц / 6д(х, у)и[у)д1у, о где Цд[х,д) функция Грина оператора Ьд. (1б) т. е. ио есть решенно краевой задачи (11). Теорема доказана.
При 1 = 0 краевая задача (11) превращается в задачу Штурма— Лиувилля, и, следовательно, задача Штурма — Лиувилля [1), [2) эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения у 5.2. Задача Лргаурма — Лиувиллл 257 Хь (х) Хд (у) +1 (17) Но Хь Е Сз([0, Е]), и поэтому представление (17) противоречит свойству 3) функции Грина м1 (х, у). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. 3) Каждое собственное значение простое.
В самом деле, пусть Х1 и Ха собственные функции, соответствующие собственному значению Ло. Это значит, что эти функции удовлетворяют уравнению (1) при Л = Ла и граничным условиям (2). Из первого граничного условия (2) ь х,(0) — й х,'(о) = о, й х (О) — ь х,',(О) = о вытекает в силу предположения п1 + Ва > О, что Х,(0) — Х,'(0) Х1(0) Х,'(0) =О, Ха(0) -Х,,'(0) Ха(0) Х,'(0) 17 В. С. Владимиров, В. В.
1Кврииов 3. Свойства собственных значений н собственных функций. Таким образом, установлена эквивалентность задачи Штурма — Лиувилля (1), (2) задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения (16) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) непрерывным ядром 01(х, у). При этом собственные значения Л задачи (1), (2) связаны с характеристическими числами р ядра й(х, у) соотношением д = Л + 1, а соответствующие им собственные функции совпадают. Поэтому для задачи Штурма — Лиувилля справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным непрерывным ядром, развитые в 3 4.3 и 4.4.
В частности, множество собственных значений (Лв) этой задачи не пусто и не имеет конечных предельных точек; собственные значения вещественны и конечной кратности; собственные функции (Хь) можно выбрать вещественными и ортонормальными: Х1, .Е С~([0,1[). Но задача Штурма Лиувилля имеет ряд специфических свойств. Отметим некоторые из них.
1) Собственные значения неотрицатсльны. Это утверждение доказано в 35.1, п.4. 2) Множество собственных значений счетно. Действительно, если бы это множество было конечным (Л1,... ..., Лх ), то ядро Й1 (х, у) имею бы представление (см. ~ 4.4, п. 1) 258 Гл. 1'. Краевгче задачи длл уравнений эллиптического типа У[я) = ~~' У,Хя)Хь[т).
[18) Докаэатнг1ьстно. Так как 1 6 Мс, то Ь11 = Ау+ )' = Ь Е Е С[0,1) П ьз[0,1). Но Мь, = Мш и потому з" Е Мп,. Таким образом, функция 1 является решением краевой задачи Е1~=6, ~ЕМв„ причем по построению [сьь п.2) Л = 0 не есть собственное значе- ние оператора Ь~. Обозначим через 61 [т, у) функцию Грина операто- ра Ьь По лемме из п. 1 функпия 1 выражается интегралом е' У[я) = / 6 [т,у)6[у)ду, о т. е. истокообразно представляется через эрмитово непрерывное ядро 6~ (т, у).
По теореме Гильберта-Шмидта (сы. 2 4.4, п. 1) функция 1 разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра Ц~[я,у). Но собствонные функции ядра 61[в,у) совпадают с собственными функциями оператора Ам которые в свою очередь совпадают с собственными функциями 1Хь) оператора Т,.
Теорема доказана. Таким образом, для задачи Штурма — Лиувилля верна теорема 1 из 25.1, п.4 и следствия из нее. В частности, система собственных функций задачи Штурма Лиувилля полна в Ез(0,1). 4. Нахождение собственных значений и функций. Изложим процесс вычисления собственных значений и собственных функций задачи Штурма- Чиувилля [1)., [2). Пусть и1[т; Л) и из(х; Л) --. решения уравнения [Ц, удовлетворяющие соответственно начальным условиям и1(0; Л) = 1, и'(О; Л) = 0; из[0; Л) = О, и.,(0; Л) = 1.
т.е. определитель Вронского для решений Х~ и Ха уравнения (1) при Л = Ло в точке т = 0 обращается в нуль. Поэтому эти решения линейно зависимы [см. [5)). Это и значит, что Ло — простое собственное значение задачи Штурма — Лиувилля (1), [2). Тногкъы [В.А. Стеклов). Всякая функция 1 из Мь разлагается в регулярно сводящийся рлд Фурье по собственным функциям 1Хь) задачи Штурма — Лаувиллл: ,г 5.2.
Задача 1Пгауума — Лиувиллл 2б9 Тогда функция (19) и(х; Л) = Ьзиг(х; Л) + 7ггиа(х; Л) удовлетворяет уравнению (1) и первому из граничных условий (2). ь1тобы удовлетворить второму из граничных условий (2), необходимо положить Нг >ганг(1; Л) + Нг)ггпа(1; Л) + На)гаиг(1; Л) + На)гги',(1; Л) = О. Корни Лг,Ла,.,. полученного трансцендентного уравнения и дадут все собственные значения задачи Штурма †Лиувил (1), (2). Соответствующие собственные функции Хь определяются по формуле (19) при Л = Ль.' Хь(х) = и(х; Ль) = 7гзиг(х Ль) + Ьгиа(х; Ль), Л = 1,2,...
11гиыкг. Вьгчислитл собственные значения и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля при р = 1, г7 = О, ба = На = 0: — иа = Ли, и(0) = и(1) = О. (20) Для этого выпишем общее решение дифференциального уравнения (20): и(х) = Сг гпп х/Лх+ Сз сов л/Лх, и подберем произвольные постоянные Сг и Св и параметр Л так, чтобы удовлетворить граничным условиям (20) и условию нормировки ЙиЙ = 1.
Условие и(0) = 0 дает Сз = О, а условие и(1) = 0 дает х/Л1 = = Ьг, Л = х1, х2,..., так что /Ьг'~' Ьгх Л= ( — ~, и(х) =Сгвш — ~1,) Из условия нормировки г' 1 = ()и(! = Сг / в1п — дх = — С а 2 з йггх 1 2 а 1 2 имеем Сг = ;/2/1,и, следовательно, /Ьг'~ . )2 Ьгх Ль = ( — ), Хь(х) = )г — зш —, 7г = 1,2,... (21) (1)' ' Ъг1 г ' 17л 260 Гл. )х. Краееезе задача длл ураанений зллиптичеенаеа типа. Из построения следует, что других собственных функций задача (20) не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
