Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 42
Текст из файла (страница 42)
(20) ъг2 я Далее, уравнение 119) есть уравнение Бесселя (сьс у Д.1). Ограниченное в нуле решение Я(г) этого уравнения при р = Й~ выражается функцией Бесселя дь(ъгЛг). Чтобы найти собственные значения Л, воспользуемся вторым граничным условием (19), дь(ве'ЛЛ) = 00 00 = О, т.е. МЛг = р., где п~, у = 1,2,..., положительные корни функции Бесселя Уь~р). Отсюда следует, что ЯМ1г) = сьзуя (р~ ~ — ), у =1,2," (21) -- собственные значения и собственные функции краевой задачи (19) при р = ьз.
Выбрав нормируюшие множители сьб так, чтобы = —,7ь (р. ), (22) 280 Гл. У. Краеоозе задачи длл уравнений зллиптличееноео типа. получим ортонормальную и полную систему (Еа:) в ьз~(0, Л); т~ (см. '8 Д.1, п. 7) . Из (20), (21) и (22) получаем, что [р~ ~) дь (р~ ~т7Л~ е'"и Лаз.=, Хазов)=, 1=0,1,..., 2=1,2,..., ,ЯЛ,7,'(р,'."") (23) суть собственные значения и собственные функции задачи 117), а значит, и задачи (16).
По лемме из 8 1. 1, п. 7 система собственных функций 1Хь ) ортонормальна и полна в Сз (е7п), и поэтому друтих собственных значений и собственных функций задача (16) не имеет. в) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для трехмерного шара Пн — Ьи = Ли, и(я —— О. (24) Эту задачу будем решать в сферических координатах (т, В, уз), 0 < т < Л, 0 < В < зт, 0 < ~р < 2я. В этих координатах задача (24) для функции й(т, В, уз) = и(ттйпд соя уз, тяшВя1п~р, т соя В) принимает вид (см.
81.3, п.2) 1 д / эдйй 1 д 1е дйй 1 дай — — — [ тэ — ) —,, — ~яш — ) —,„= Лй, (25) та де ~, дт) тае1пВдВ ~ч дВ) тзтйп" ВВУзэ )й(0, В, ~р) ( < оо, й(Л, В, ~р) = О, й(т, В, р) = й(т, В, уз + 2я). (26) В соответствии с общей схемой метода Фурье собственные функции задачи (25), .(26) ищем в виде произведения Ге(т)У(В, уз). Разделяя переменные, для функций У и Я. получим краевые задачи 1 д / дУЛ 1 дэУ вЂ” ~я1п — ) + ., +реУ=О, УЕС (Лз), (27) яйзВдВ ~ дВ) аьпэВд э (тзи')'+ (Лтз — р)Я = О, )Л(0)) < оо, Я(Л) = О. (28) При д = 1(1+ 1), 1 = О, 1,..., задача (27) имеет решения, и этими решениями являются сферические функции У,, т = О, х1,... х 1 (см. у" бцб Метод Фурве длл задачи на собственные значенил 281 8 Д1, п. 6).
При р = 1(1+1) уравнение (28) для функции Ц(г) = ./гее(г) превращается в уравнение Бесселя (см. 8 Д.1, п. 1) а гзС~о + гЯ' + Лга — 1+ — беЗ = О. В результате ограниченным в нуле решением уравнения (28) является функция 1 Е(г) = — Юы.ц (зегЛг). зеег (29) Оь1/21~ 172 Хц (л) =,Уьь~~з (гп — ) 1",' (О,ув), ссз / <ц-~7з~ сЛ 1=0,1,..., 1=1,2,..., т=0,~1,...,Ы, (30) -. собственные значения и собственные функции краевой задачи (24). Положим (см.
формулы (35) из 8 Д.1 и (33) из 8 Д.2) езз ~п Б/А-ь1/2 (Рз ) (31) Учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя в ьз((0, В); г) (см. 8Д.1, п.7) и сферических функций в Ез(Я~) (см. 8Д.2, п.6), с помощью леммы из 8 1.1, п. 7 убеждаемся, что система собственных функций (30) ортонормальна и полна в Еа(Гн). В частности, друтих собственных значений и собственных функций задача (24) не имеет. Аналогичным образом рассматривается и краевая задача аи — +ои(л —— О, о>0. Чп ол — Ьи = Ли, '1тобы удовлетвориты раничному условию Е(Л) = О, положим О в- 1/21 О -<- 1,~21 и'Лзс = р, где р.
' -- положительные корни функции Бесселя 7~ ерв(р). Итак, 282 Гл. 1г. Краеаыс задачи длл ураанений эллиитичесноео тиио. 8 5.5. Ньютонов потенциал 1 1г = — *р = — 4нбз ар. И Потенциал 17 удовлетворяет уравнению Пуассона (2) сУ' = — 4згр. Основы классической теории потенциала заложены А. М. Ляпуновым в конце прошлого века. 1.
Объемный потенциал. Если р - (абсолютно) интегрируемая функция на С и р(х) = О, х б С~ — — К 'г С, то ньютонов потенциал 1', называемый обьеиньси потенциалом, выражается интегралом 1'(х) = ( г1у Ау) ,/и ~х - у~ (3) и представляет собой локально интегрируемую функцию в ссз (слг. 8 2.3, п. 7, б)). Если р б С(С) и С вЂ” — ограниченная область, то объемный потенциал 1 принадлежит классу Сг(з1з), гармоничен в Сг и Действительно,так как С вЂ” ограниченная область и р Е С(С), то по теореме из 8 1.1, п.4 интеграл (3) принадлежит С (с1з ) и в силу формулы (3) из 8 1.1 удовлетворяет приведенной оценке на бесконечности. При х б Сг потенциал 1'(х) допускабг ет непрерывное дифференцирование под знаком интеграла в (3) бесконечное число раз, так что 1' е С' (Сг). Рис.
62 Отсюда и из уравнения (2) вытекает, что АХ = О,х е Сг,т.е,потенцигармоническая функция в области Сг (по лемме из 82.1, п. 5). Этот параграф посвящен более детальному изучению свойств ньютонова потенциала в трехмерном пространстве (см. 82.3, п. 7). Этот потенциал определяется как свертка обобщенной функции р (плотности) с функцией ~х~ $5.5. Ньютонов потенциал Если р й С'(С) П С(С), то 1' 6 С~(С).
Для доказательства возьмем подобласть С' с С с кусочно гладкой границей Н' и внешней нормалью п' (рис. 62). При этом потенциал 1' разобьется на сумму двух объемных потенциалов Ъ~ и 1ю 1с = = Ъ~ + Г~, где 1:1(х) = ( ду, р(у) lа 1х — Ы Ъя(х) = / ду. р(у) суп 1х у~ По доказанному р'~ Е С~(Иа), Ъя й С'ю(С'). Дифференцируя потенциал 1'1 как свертку, получим (сьь й 2.3, п.3, в)) /1 1 1 3гас11сг = Згас1 ( — иРг~ = — иРас1Ры Рг = Руо . (4) (и / и Так как Рс Е Сг(С ), то по фоРмУле (22) из й' 2.2 ягас1 рг — — (бгас(рд) — рп'56 . 1 1 3гас1 1'г(х) = — * (6гас1рг) — — в рггсбя = ~! И рас1 р(у) )" р(у)п' а ~х - М Ь !х - у! = / ф — с ИЯи.
(5) Первое слагаемое в правой части (5) как объемный потенциал с плотностью дгас)р е С(С) принадлежит классу Сг(йз), а второе классу С (С'). Следовательно, 6гас1Ъ~ е С'(С'), т.е. 1с 6 СЯ(С'). Но тогда 1' = 1'г + 1сз й С (С') и (ввиду произвольности С' с С) 1с т Са(С), что и требовалось доказать. 2. Потенциалы простого и двойного слоя. Пусть Я ограниченная кусочно гладкал двухсторонняя поверхность "), п выбранное направление нормали к ней, р и р - непрерывные функции на Я. Ньютоновы потенциалы Рдо~ = — *р5, 1ЦП = — — * — (рйч), -о 1 д ф ' (х! дп ь) Та сторона поверхности 5, к которой примыкает нормаль и, считается положительной, а противоположная сторона отрицательной (си. рис.62 и рис.
63). Подставляя полученное выражение в (4) и пользуясь формулой (3) для объемного потенциала и формулой (37) из й 2.3 для потенциала простого слоя, получим 284 Гл. 1'. Краеемс задачи для ураанений эллиптического типа. называемые потенциалами простого и двойного слал соответствен- но, выражаются интегралами рца)( ) /' 1с(У) ,4 ~х-у~ 16 ~(х) = р(у) — сБс дл дну !х — у! (7) и представляют собой локально интегрируемые функции в Лз (сьь 6'2.3, п.
7, в)). Эти потенциалы удовяетворлют уравнению Пуассона: Ьрда~ = — 4ярйч Ь1ЦП = 4я — (рбл). (8) дн где уы, угол между вектором у — х и нормалью на (рис. 63), полу- Рис. 66 Рис. 64 чаем выражение для нормальной производной потенциала простого слоя =д1 РЬ) 1ду=~ ~Ь) ' ' а",дди, 181 дпа Л дне ~х — у~ " Л ~х — уГ (10) Фиксируем точку хо на 5, и пусть по нормаль к Я в хе. Дифференцируя формулу (6) при х ~ Я по направлению на и пользуясь равенством з д 1 у, — х, сов дз,у сов (пахз) (Ж дпе )х — у), ' )х — у)з (х — др' $5.5. Ньютонов нотггнниол 285 Аналогично, в силу равенства з д 1 н х, — у, соя ггг,о (11) дп„~х — у~ х ' !х — р1з !х — раз' где ггг „угол между вектором х — у и нормалью п (см.
рис. 63), формула (7) для потенциала двойного слоя 1хггг принимает вид ~'О'( ) = l о(р)"' *", Б,. .Ь 1х- у~' (12) Потенциалы г'гвг и 1гг~г гармонические функции вне поверхности д, 1'гог е С(Из) и 1х~'~(х) = О ( — ), 1хц~( ) = О 1 о 1. 'г.И/' г гхрх'' совгрло ) — 4я, х 6 С, я~х — у~ (О, хеСг, (13) если Я -- граница области С. ПУсть х Е С, и пгаР (7(х, го) С С. ГРаница области Сгг Г(х, ге) состоит из поверхностей Я и Я(х, го) (рис.
64). Поскольку. функция ~х— — у~ ' гармоническая при х ~ у, то, применяя к области С г, Г~(х, го) формулу (11) из 8 5.3, получим / д 1 г(Яо + сБо = О. (14) д о дПО (Х вЂ” У! ",/лг тг дПО (Х вЂ” гг( Принимая во внимание (11) и учитывая, что сов ггг „= 1 на сфоре )х— — у) = го, из (14) выводим первое из равенств (13): — „=- вЂ”Ч в ~х — у~г Р /~, „1, 1х — у!2 го у~, И ПУсть тепеРь х Е Сг. Так как фУнкциЯ ~х — У~ г гаРмоническаЯ в С, то, применяя формулу (11) из 8 5.3, имеем д 1 сБо =О, , в дпо (х — у! (15) Эти свойства выводятся из представлений (6) и (12) и из уравнений (8) подобно тому, как зто делалось для объемного потенциала (см.
п. 1). Теперь покажем, что потенциал двойного слоя 16 0 с плотностью гг = 1 равен 286 Гл. 1'. Краеооее задачи длл ураонений зллиптичесноео типа что в силу (11) и доказывает вторую из формул (13). Злмкчянин. Формулы (13) можно обобщить на случай произвольной поверхности Я,не обязательно являющейся границей какой- либо области (Гаусс): если и ф Я, то потенциал учц с плотностьлз р = 1 равен телесному утлу, под которым поверхность Я видна из точки и (с учетом знаков сторон поверхности).
3. с1зизический смысл ньютоновых потенциалов. Потенциал 1' = — «. р с произвольной (финитной) плотностью р удовлет- 1 )х( воряет уравнению Пуассона еа1' = — 4лр. Поэтому Г есть ньютонов или кулонов потенциал, создаваемый массами или зарядами, распределенными в пространстве с плотностью р. В частности, непрерывное распределение масс или зарядов создает объемный потенциал; если же массы или заряды сосредоточены на поверхности, то они создают (ньютонов или кулонов) потенциал простого слоя; если на поверхности сосредоточены диполи, то создаваемый ими кулонов потенциал есть потенпиал двойного слоя. Для примера вычислим (кулонов) потенциал 1ЦП(и;1), создаваемый диполем с моментом +1 в точке О, ориентированным в на- 1 е Ряс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
