Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Система собственных функций (21) полна в Ез(0,1) (см. п.3). Графики собственных функций Ха(х), Ь = 1,2,3, изображены на рис. 52. ХЗ(х) Хз1х) Х, Ьх) 3 3 Рис. Я2 Злдлчл. Найти асимптотику при Ль — а оо собственных значений и собственных функций краевой задачи (и ~ 0) — иа+ зеа(х)и = Ли, !х/ ( 1, и(+1) = О, и Е ь() — 1, Ц).
(22) Рншенин. Положим и(0) = с и перепишем уравнение (22) в виде — иа + мс = Ли; тогда его общее решение при Л ф 0 запишется в виде лес и (ж) = а соя иГЛх + Ь яш изЛх + —. Л Усжовие и(0) = с дает а = (1 — зе/Л)ед а условие и(ж1) = 0 принимает вид < с [(1 — — ) сояъ~Л+ — ] = О, Ь яш ъ'Л = О. Рассмотрим два случая. 1) с= О. В этом случае остается условие 5яш ъ'Л = О, условие и ~ у. -0 дает Ь ~ О, так что я)п ъ'Л = О, и мы получаем 2) с у': О. Здесь (1 — зе/Л) соя ъеЛ+ зе/Л = О, и мы получаем трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений Ла сояъ'Л =, Ь = 1,2,... (23) 261 г б.у.
Гармонические 4ункиии В общем случае вшу/Лл ф О, так что Ь = О. Далее, при Ь вЂ” > сю Ль -г — г со, и уравнение (23) принимает асимптотический вид сову/Лл ив О, откУДа ч/Ль - т/2+лИ, Ь вЂ” ~ со. ПопРавка 21л = ч/Ля — гг/2 — тМ вЂ” г О, Ь вЂ” 2 -э оо, и удовлетворяет уравнению ~ — 1)лог вшг1и = к=1,2,...
(и/2-Р лй+ 21ь) — ое Последнее уравнение имеет асимптотическое решение ( 1)Я 2 2 т~ и так что — х ( — 1)ьос 1/к ( 1)ь ьгЛи - — +тй+,, ия овсов ~~ — +к1с+ ( х, Й вЂ” ~ ею. 2 2Ь' хги2 ( 3 5.3. Гармонические функции В этом параграфе изучаются основные свойства гармонических функций. Вещественнозначная функция и(х) класса С2(С) называется гармонической в области С, есши она удовлетворяет уравнению Лапласа 21и = О в этой области.
При и = 1 гармонические функции сводятся к линейным функпиям, и потому их теория интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем считать и > 2. Нетривиальным примером гармонической функции при х ~ О является фундаментальное решение оператора Лапласа (сиг. 33.2, п.8) О ~х~ 1 Е (х) = — 1п 1х~, 2г Е,1х) = — ~х~ "м2, п > 3. 1 (гг — 2) цн График функции с'„(х) изображен на рис. 33. Рис. 53 262 Гл. 1'. Краеовее зада пе длл уравнений зллиптннееноео типа. 1.
еРормула Грина. Пусть и Е Сй(С) и и(х) = О, х Е Сз, тогда при х ф 5 справедлива следующая формула Грина; и(х) = — е)у + 1 1 е1и(у) (и — 2)ои,/и (х — у(" 1 1 ( 1 ди(у) '(и- )-„Л((*-у(-- дп д 1 — и(у)— .1дд„ дпо (х — у(" и>3, 1 1 и(х) = — — / Ьи(у)!и е1у+ 2 /ы (х — у( Г ( ! ди(у) д + — / ~1п — и(у) — 1п е!дю 2я ./я ~ (х — у( дп дпо (х — у() где (считаем для определенности и > 3) !з„(х) = Е„ * 1е1и) = — / , е1у 1 Г Ьи(у) (и — 2)ее,/и (х у(н объемный потенциал с плотностью — 1ехи): 1 (и — 2)о„ 1 дп / (и — 2)оп /я (х — у(" з дп потенциал простого слоя на Я с поверхностной плотностью 1 ди (и — 2)о„дп' д ! Г д Ъ;('!(х) = — Е„е — (ибя) = — / и(у), дно дп ' (и — 2)о„ /я дп, (х — у(п потенциал двойного слоя на Я с поверхностной плотностью 1 и. (и — 2)о„ Докажем формулу Грина (Ц при и = 3. Применяя формулу (27) из 32.2 к функции и и учитывая, что (ия) = — и(ч, 1ди! ди " (дп1, ап , получим ди д ели = 1Ьи) — — бо — — (ибо).
(3) д д Другими словами, в области С функция и(х) представляется в виде суммы трех ньютоновых (логарифмических) потенциалов; и(х) = !'„(х) + 1',1Щ(х) + 1'о! 1(х), х е С, (2) бб.Ж Гармонические 4гуннггни 263 Так как функция и финитна, то ее свертка с фундаментальным решением б„оператора Лапласа существует (слг. 22.3, п.4). Поэтому, применяя формулу (13) из 3 3.1 и пользуясь равенством (3), для функции и получаем представление геди лг д и = Ез * гл.гл = бз * 1г Ьи) — Ез е ) — бз( — Ез * — Ьлбз) = ~лдп ( дп 1 ~ 1 1 г'ди лг 1 д = — ~ — — е ~Ьи) + — * ~ — бз г + — е — (ибз) .
(4) )х( гл дп ( (х! дп Отсюда, пользуясь определением ньютоновых потенциалов и формулами (34), (35) и (37) из 3 2.3, получаем форлгулу Грина (1) при и = 3. Случаи и = 2 и п > 3 рассматриваются аналогично. Формула Грина (1) справедлива и для функций и класса С'(С) гЭ О Сг (С), если в ней интеграл по области С понимать как несобственный (ср, з 5.1, п. 2). (Этот интеграл может сходиться не абсолютно.) Для доказательства применим формулу Грина (1) ко всякой подобласти С' С С с кусочно гладкой границей и перейдем к пределу при С' + С. Пользу.ясь предположенной гладкостью функции и, убедимся в справедливости формулы Грина (1) и в этом случае. Для гармонической в области С функции и класса Сг(С) формула Грина (1) принимает следующий вид; 1 / ~ 1 ди(у) (и — 2)егг1,/я ~~х — у~" дп д 1 '~У) д „~ - у~-- и>3, (5) и(х) = — / ~1п — и(у) 1п г)дю п = 2.
1 Г ~ 1 ди(у) д 1 2я,/и ~ ~х — у~ дп дп„~х — у~ Поверхностные потенциалы Ъ'„~ и 1'и можно непрерывно дифго1 ференцировать вне Я под знаком интеграла бесконечное число раз,и эти потенциалы гармонические фу.нкции вне Я. Отсюда и из формулы (5) вытекает, что всякая гармоническая функция бесконечно дифференцируема (и даже аналитическая; см.
3 1.1, п. 1). Здмнчанин. Формула Грина (5) выражает значение гармонической функции в области через ее значения и значения ее нормальной производной на границе этой области. Эта формула аналогична формуле Коши для аналитических функций. Легко заметить также аналогию между формулой Грина в форме (2) и формулой (17) из З 3.3 для волнового уравнения.
264 Гл. 1'. Краеевзе задачи длл уравнений эллиптнчесново типо. ди(х') ди(х) хЕЯ, х — >х, х Š— пе. дп, дп, Из этого определения следует, что если правильная нормальная производная существует, то она непрерывна на Я и является обычной нормальной производной. Далее, равномерно по всем х Е Я существует предел и(х') при х' — у х.
Этот предел обозначим и(х), так что и Е Сф) и и(х'):Ф и(х), х с Я, х' — > х, х' Š— и . Доопределенная таким образом функция и® будет непрерывной на С, т. е. и ~ С(С). Действительно, пУсть хсь — > х Е и, е + Е д, х~ е С. Точка хь лежит на нормали — п,„к некоторой точке хь Е о', т.е. х', = хя + беп,я (рис. 54) и бя — у — в -----с — ) О,. й — ~ со.
Пользуясь непрерывх, постыл функции и на Я и равномерной ограниченностью / е l I l I ди(х') <С, х'ЕС, й — >со, дп,„ Рис. 51 получим !и(х) — и(хоЯ < ~и(х) — и1хь)~ + )и(хь) — зДхгЯ < < (и(х) — и(хь)/+ Сбь -+ О, й — ~ со. Очевидно, для функции класса С (С) правильная нормаяьная производная всегда существует. Этот термин введен А.М. Ляпуновым. 2. Распространение формул Грина. Пусть граница Я области С поверхность класса С (см. 21.1, п.1) и функция и принадлежит С (С). Будем говорить, что функция и имеет правильную нормальную произеодную *) на 5, если равномерно по всем х Е Я существует предел нормальной производной при т — у х, х Š— и.„ . ди(х') дп ди ди(х) этот предел обозначаем †"': — , так что дп дпл бб.Х Гармонические функции 265 Пусть о' .— поверхность класса Сг.
В каждой точке х е Я отложим по внутренней нормали — п, отрезок постоянной длины б. Множество концов х' этих отрезков описывается уравнением х' = х — бп,. (6) х — х',— = х — х',—, (7) откуда, полагая 1 = 0 и учитывая, что касательная к кривой в точке х ортогональна к нормали п,, выводим дх'(0) .
дх(0) (8) Это означает ввиду произвольности выбранной кривой, что нормаль п, ортогональна к касательной плоскости поверхности ов в точке х', т. е, п . = п,, что и утверждалось. ЛВММа. Пусть граница Я области С поверхность класса С и функция и е С (С) имеет правильную нормальную производную —" дп на д. Тогда для любой 7' Е С(0) справедливо равенство (9) где Яв поверхность, параллелен я д. ДОКЛВАТЕЛЬОТВО. ТаК Кан НОрМаЛИ П» И Пл В тОЧКаХ Х Е Я и т' = х — бп, Е дв направлены одинаково, то , ди(х'), ди(х') дпл дпл хасэ., х — ~х, х ди(х) дп (10) Š— пе, В силу леммы Гейне — Бореля (см. 21.1, п. Ц при достаточно малом б это множество образует некоторую замкнутую поверхность класса С', которую обозначим через Яв и назовем поверхностью, параллельной, поверхности д (сьь рис.
54). Нормаль п, в точке х' = х — бп Е Яв направлена вдоль нормали пл, х б Я, если э 6 С~. Действительно, пусть х - произвольная точка на Я и х = х1е), 1 > О, произвольная кривая класса С на д,проходящая через точку х = х(0). Тогда х'(е) = х(е) — бп,~ер 1 > О, кривая класса С на Яв, проходящая через точку х' = х'(0). Дифференцируя по 1 очевидное тождество )х(е) — х'(1) ~г = бз (см. рис. 54), получим 266 Гл. У. Краеввлв зада ш для уравнений эллиптического типа. / дидЕ=О. (11) Тгоггмя о свндннм ягиьмнтичгском, Если функция и(х) гармоническая в шаре 77п и непрерывная в замыкании Рн, то ве значение в центре |лара равно среднему значению по сфере Ян: и(0) =, / и(х) в1Я = — / и(Кз) дв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
