Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть теперь ядро К(х, у) имеет бесконечное число характеристических чисел. В этом случае [Л!,-,[ — ь со, Ь вЂ” > со. Поэтому в силу (6) и (10) ряд (9) сходится к з" в Ез(0, а): 7 — ~((, !ря)!оь = КЬ вЂ” ~ ' н я < -+ О. ' (Ь, ь) < [[Ь[[ ь=! [Л -и[ Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно на [О,а). Пользуясь неравенством Коши-.Буняковского и неравенством (2), при всех р и 9 получаем результат: для того чтобы эрмитово непрерывное ядро было вырожденным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело конечное число характеристических чисел. Будем говорить, что функция 7(х) истокообразно представимо через ядро й.(х, у), если существует функция Ь е ьз(0, а) такая, что 234 Га. Гр'.
Интиееральнме уравнение е.йе,ьл „' ~ ~КйьееГ/ $К й=р й=р е )й,О.еЕГ~ )1 1еМГь~ Г < ЛТ,~, -С, -~~й,„й)~г~ 0 <, <, Г11) й=р В силу неравенства Бесселя ~ И1 у йИЯ < ~~Ч~з й=й Кр(х,у) = ~~ й, р= 2,3,... лр й=й й (12) регулярно сходящийся при 0 < х, у < а. В силу формулы (17) из у 4.1 при каждом у Е )О, а] ядро Кр(х, д) истокообразно представимо через ядро К(х,у), а потому по теореме Гильберта--Шмидта оно разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям этого ядра: Кр (х, у) — ~~ К„(х, у), ~дй ) фй (х) . й=1 Так как ядро Кр(х,у) эрмитово,то Га Га (Кр(х,у),~рй) = / Кр(х,у)рйГх)йх = / Кр(у,х)рйГх)Г1х = о о = (йрМЬ) =,', р>1 (1з) У ГУ) правая часть неравенства (11) стремится к 0 при р,еà — й оо.
Это и означает, что ряд (9) сходится регулярно на ГО, а~. Теорема доказана. Приведем некоторые стедствия из теоремы Гильберта — Шмидта. 2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем, что повторное ядро Кр (х,. у) эрмитова непрерывного ядра К(х, у) разлагается в билинейный ряд по собственным функциям этого ядра; й4.4. Теорема Гилвберта — Шм!йдта и ее следствия 23ое ра Кз(х, х) = / К(х, у')К(у', х) ду = о са с' = / К(х,д')К(х,у')а!у' = / [К(х,д)[ ду о о получаем равенство [!сй (х) [" /' [К( ) [зал Ай (14) Из леммы Дини (см.
з 1.1, и. 3) следует, что ряд (14) сходится равномерно на [О, а). Отсюда, используя неравенство Коши--Буняков- ского С- [й й(хУ (д)[ < 1 ГС- [й й( Н' С- [й й(д)[' ь а 1,р, [А,[р-е [~ Аз ~ Ая й=! й ! „, й й, й заключаем, что ряд (12) сходится регулярно на [О, а[. Интегрируя равномерно сходящийся ряд (14) почленно и учитывая нормировку собственных функций, полу. чаем формулу 1 га га — = / / [К(х, д) [ис~х е1у. .о о (10) 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра. Изучим сходимость ряда (12) при р = 1, а именно докажем, что зрмитово непрерывное ядро К(х, д) разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям: к(*,у) = ~ ~й(*)"'й(д), л й=1 (16) сходящийся в Еа (О, а) равномерно по у е [О, а), т. е.
К(х.у) — ~~:ц О, 0 < д < а, р — ~ оо. (17) йсй(х)йсй(у) лй й=! Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12) сходится регулярно по х Е [О, а) при каждом у Е [О, а). В частности, полагая в формуле (12) р = 2, х = у и учитывая, что в силу (17) из 2 4.1 236 Га. 11е. Интееральные ураененил откуда в силу равномерной сходимости ряда (!4) заключаем о сходи- мости билинейного ряда (16) к ядру К(х, у) в смысле (17). Для билинейной формы (Ку', д) докажем формулу (К)'.,д) = ~~ ' ' ', 7',д Е Ез(О,а).
(18) й=й л. Действительно, поскольку 1 Е Ез(0, а), то по теореме Гильбер- та. Шмидта (К.~)(х) = ~ ' уей(х) (7 Уей) л й=й причем этот ряд сходится равномерно на )О, и). Умножая этот ряд на функцию д из Ез(0, о) (и, соедовательно, абсолютно интегрируемую на ~0, а); см. 2 1.1, п.
5) и почленно интегрируя его по ~0, а), получаем формулу (18): еа (КЛд) = / (К1)д 1х = о ~ Ууй) /'" ... ~ У:, йИд, рй) о й=~ Полагая в формуле (18) 7" = д,получим представление квадратичной формы (Ку", 7") в виде (КУ У) = К' ~~~' й) ~ У е С (О ) л. й=й (19) Формула (19) представляет собой обобщение формулы приведения к главным осям квадратичнои формы с конечным числом переменных.
Равенство (13) при р = 1 покалывает, что при каждом у Е Е [О, о) коэффициенты Фурье ядра /С(х, у) по ортонормальной системе 1уей(х)) равны уей(у)1 Лй. Поэтому, прилйеняя формулу (6) из 211, получаем равенство уз'.4. Теорема Гильберта — Шмидта и сс следствия 237 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с зрмитовым непрерывным ядром. Построим решение неоднородного интегрального уравнения (20) р = ЛКд+У с эрмитовым непрерывным ядром К(л, у).
Если Л ф Лы й = 1,2,...., и 7" Е С([О,а]), то (единственное) решение ~р интегрального уравнения (20) представляется в виде равномерно сходящегося на [О, а] ряда (формулой Шмидта) (21) Действительно, при Л ~ Ль, к = 1, 2,..., решение интегрального уравнения (20) существует и единственно в С([О,а]) при любом свободном члене 7" Е С([О,а]) (см. 24.2, и. 3). По теореме Гильберта — Шмидта функция Квс разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра К(и, у). Поэтому (22) Вычислим коэффициенты Фурье (вс,~рь).
Из уравнения (20) имеем Ы:М =Л(1С~ д )+У Ы = Л = Л(р, К~рь) + (у,дь) = — (~р,~рь) + (7,уь), ь так что (д, М = (У, да), Ль откуда в силу (22) вытекает формула Шмидта (21). По теореме Гильберта — Шмидта причем ряд сходится равномерно на [О., а]. Поэтому формула Шмид- та (21) принимает вид г4.4. Теорема Гильбсрта — 01мидта и сс следствия 239 причем билинейный ряд сходится в ьг(0, а) равномерно по у н (О, а) (см, п.3).
Замкчанин. Формула (21) остается справедливой и при Л = Л„ если в соответствии с теоремой Фредгольма (т, ~гадь,) = О, 1 = О,..., г, — 1. В этом случае решение уравнения (20) не единственно, и его общее решение согласно формуле (13) из 3 1.1 дается формулой р(х) = Л, ~~~ ' ьо(х) + Т'(х) + ~ ~с,р, ,(т), (28) ь=~ литл в=о где с; произвольные постоянные.
5. Положительно определенные ядра. Ядро К(х,у) называется положительно определенным, если соответствующий оператор Л положителен (см. 2 1.1, п. 10), т. е. (ЛУ,г) > О, 2 е ьг(О,а). 1 — =(Кр„р,) >О, Ль т.е. Ль > О. Если К(х,у) положительно определенное непрерывное ядро, то справедлив следующий вариационный принцип: 1 ( (КТ", Т') — зпр ~ '.,: У,„о,) =О, 1=1,...,1 — 1 Ль уесг(а.а) ОЛ~ 1=1,2,...
(29) причем верхняя грань в (29) достигается на любой собственной функ- ции, соответствующей характеристическому числу Ль. Всякое положительно определенное ядро К(х, у) зрмитово. Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см. 2 1.1, п. 10), то и его ядро К(х,у) эрмитово (см. 24.3, п. 1). Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро К(х, у) было положительно определено, необходимо и достаточно, чтобы все его характеристические числа Ль были положительными. Действительно, если все Ль больше нуля, то в силу (19) (КТ, 2') > > О, так что ядро К(х, у) положительно определенное. Обратно, если ядро К(х, у) положительно определенное, то 240 Гл.
Ге'. Интееральные уравнения Действительно, пользуясь формулой [19) и учитывая неравенство Л, > Ль > О, 1 > к, получаем [КУ,У) 1 ~ ][У,Ре)]з ]]Лз ]]1]]~ ~ Л, Л ]]1]]з ~-' при всех 2" Е Ез [О, а) таких, что [у, уе,) = О, г = 1,..., й — 1. Стало быть, в силу неравенства Бесселя справедливо неравенство [ЕУ',У) < 1 ]]Лз Л„' [30) С друтой стороны, при у = уаь имеем [ЕжМ 1 [31) ][у я]]з Неравенство [30) и равенство [31) влекут вариапионный принцип [29). Полагая в [29) 1 = 1, получаем 1 (Ку, 1) Л1 еес,(оаб (32) Нам еще понадобится Ткогкмл Мкгскгя.
Если эрмитово непрерывное ядро К(х,у) имеет конечное число отрицательных характеристических чисел, то его билинейный ряд сходится равномерно при О < х, у < а. В част- ношпи, ]уев [х)]' К[ ) ь=е л га Š— =1 К[х, )д* ьч ь 0 Для доказательства следует воспользоваться результатами из пп. 2, 3 и леммой Дини (см. я 1.1, п. 3). Подробное доказательство приведено в [1]. 6. Развитие теории интегральных уравнений. Вся предыдущая теория, изложенная в 24.1 — 4.4, относилась к одномерным интегральным уравнениям с непрерывным ядром.
Без сушественных изменений зта теория переносится на многомерные интегральные уравнения [1) и [2) с непрерывным ядром при условии,что область 0 С К" ограничена. Все оценки остаются справедливыми, если в них число а заменить на объем Г области С. Вся теория переносится и на й4.4. Теорема Гилаберта — Шмидта и ее следствии 241 многомерные уравнения с более общими, чем непрерывные, ядрами. ,Ядро К(х,д) = "', х,д Е С, о < и, 'Н(т., у) (33) ! - Ы" где 'Н(х, у) непрерывное ядро на С х С, называется полярным; если же о < п~2, то оно называется слабо полярным.
Для полярных ядер в силу опенок 2 1.1 все повторные ядра, начиная с некоторого, будут непрерывны. Поэтому вся теория, изложенная в 2 4.1 — 4.3 для эрмитовых ядер сохраняется. Что касается теории Гильберта-.Шмидта, изложенной в 2 4.4, то она переносится без существенных изменений на интегральные уравнения со слабо полярным эрмитовым ядром (для этого ядро 'Н(х, д) в (33) дОлжнО быть ЗрмитОвым). ДЕйСтвитЕльнО, уСлОвиЕ О < е1/2 в (33) обеспечивает принадлежность ядра К к пространству Ез(С х х С).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
