Главная » Просмотр файлов » Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004)

Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 35

Файл №1095467 Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004)) 35 страницаВладимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467) страница 352018-10-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Пусть теперь ядро К(х, у) имеет бесконечное число характеристических чисел. В этом случае [Л!,-,[ — ь со, Ь вЂ” > со. Поэтому в силу (6) и (10) ряд (9) сходится к з" в Ез(0, а): 7 — ~((, !ря)!оь = КЬ вЂ” ~ ' н я < -+ О. ' (Ь, ь) < [[Ь[[ ь=! [Л -и[ Осталось доказать, что ряд (9) сходится регулярно на [О,а). Пользуясь неравенством Коши-.Буняковского и неравенством (2), при всех р и 9 получаем результат: для того чтобы эрмитово непрерывное ядро было вырожденным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело конечное число характеристических чисел. Будем говорить, что функция 7(х) истокообразно представимо через ядро й.(х, у), если существует функция Ь е ьз(0, а) такая, что 234 Га. Гр'.

Интиееральнме уравнение е.йе,ьл „' ~ ~КйьееГ/ $К й=р й=р е )й,О.еЕГ~ )1 1еМГь~ Г < ЛТ,~, -С, -~~й,„й)~г~ 0 <, <, Г11) й=р В силу неравенства Бесселя ~ И1 у йИЯ < ~~Ч~з й=й Кр(х,у) = ~~ й, р= 2,3,... лр й=й й (12) регулярно сходящийся при 0 < х, у < а. В силу формулы (17) из у 4.1 при каждом у Е )О, а] ядро Кр(х, д) истокообразно представимо через ядро К(х,у), а потому по теореме Гильберта--Шмидта оно разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям этого ядра: Кр (х, у) — ~~ К„(х, у), ~дй ) фй (х) . й=1 Так как ядро Кр(х,у) эрмитово,то Га Га (Кр(х,у),~рй) = / Кр(х,у)рйГх)йх = / Кр(у,х)рйГх)Г1х = о о = (йрМЬ) =,', р>1 (1з) У ГУ) правая часть неравенства (11) стремится к 0 при р,еà — й оо.

Это и означает, что ряд (9) сходится регулярно на ГО, а~. Теорема доказана. Приведем некоторые стедствия из теоремы Гильберта — Шмидта. 2. Билинейное разложение повторных ядер. Докажем, что повторное ядро Кр (х,. у) эрмитова непрерывного ядра К(х, у) разлагается в билинейный ряд по собственным функциям этого ядра; й4.4. Теорема Гилвберта — Шм!йдта и ее следствия 23ое ра Кз(х, х) = / К(х, у')К(у', х) ду = о са с' = / К(х,д')К(х,у')а!у' = / [К(х,д)[ ду о о получаем равенство [!сй (х) [" /' [К( ) [зал Ай (14) Из леммы Дини (см.

з 1.1, и. 3) следует, что ряд (14) сходится равномерно на [О, а). Отсюда, используя неравенство Коши--Буняков- ского С- [й й(хУ (д)[ < 1 ГС- [й й( Н' С- [й й(д)[' ь а 1,р, [А,[р-е [~ Аз ~ Ая й=! й ! „, й й, й заключаем, что ряд (12) сходится регулярно на [О, а[. Интегрируя равномерно сходящийся ряд (14) почленно и учитывая нормировку собственных функций, полу. чаем формулу 1 га га — = / / [К(х, д) [ис~х е1у. .о о (10) 3. Билинейное разложение эрмитова непрерывного ядра. Изучим сходимость ряда (12) при р = 1, а именно докажем, что зрмитово непрерывное ядро К(х, д) разлагается в билинейный ряд по своим собственным функциям: к(*,у) = ~ ~й(*)"'й(д), л й=1 (16) сходящийся в Еа (О, а) равномерно по у е [О, а), т. е.

К(х.у) — ~~:ц О, 0 < д < а, р — ~ оо. (17) йсй(х)йсй(у) лй й=! Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12) сходится регулярно по х Е [О, а) при каждом у Е [О, а). В частности, полагая в формуле (12) р = 2, х = у и учитывая, что в силу (17) из 2 4.1 236 Га. 11е. Интееральные ураененил откуда в силу равномерной сходимости ряда (!4) заключаем о сходи- мости билинейного ряда (16) к ядру К(х, у) в смысле (17). Для билинейной формы (Ку', д) докажем формулу (К)'.,д) = ~~ ' ' ', 7',д Е Ез(О,а).

(18) й=й л. Действительно, поскольку 1 Е Ез(0, а), то по теореме Гильбер- та. Шмидта (К.~)(х) = ~ ' уей(х) (7 Уей) л й=й причем этот ряд сходится равномерно на )О, и). Умножая этот ряд на функцию д из Ез(0, о) (и, соедовательно, абсолютно интегрируемую на ~0, а); см. 2 1.1, п.

5) и почленно интегрируя его по ~0, а), получаем формулу (18): еа (КЛд) = / (К1)д 1х = о ~ Ууй) /'" ... ~ У:, йИд, рй) о й=~ Полагая в формуле (18) 7" = д,получим представление квадратичной формы (Ку", 7") в виде (КУ У) = К' ~~~' й) ~ У е С (О ) л. й=й (19) Формула (19) представляет собой обобщение формулы приведения к главным осям квадратичнои формы с конечным числом переменных.

Равенство (13) при р = 1 покалывает, что при каждом у Е Е [О, о) коэффициенты Фурье ядра /С(х, у) по ортонормальной системе 1уей(х)) равны уей(у)1 Лй. Поэтому, прилйеняя формулу (6) из 211, получаем равенство уз'.4. Теорема Гильберта — Шмидта и сс следствия 237 4. Решение неоднородного интегрального уравнения с зрмитовым непрерывным ядром. Построим решение неоднородного интегрального уравнения (20) р = ЛКд+У с эрмитовым непрерывным ядром К(л, у).

Если Л ф Лы й = 1,2,...., и 7" Е С([О,а]), то (единственное) решение ~р интегрального уравнения (20) представляется в виде равномерно сходящегося на [О, а] ряда (формулой Шмидта) (21) Действительно, при Л ~ Ль, к = 1, 2,..., решение интегрального уравнения (20) существует и единственно в С([О,а]) при любом свободном члене 7" Е С([О,а]) (см. 24.2, и. 3). По теореме Гильберта — Шмидта функция Квс разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям ядра К(и, у). Поэтому (22) Вычислим коэффициенты Фурье (вс,~рь).

Из уравнения (20) имеем Ы:М =Л(1С~ д )+У Ы = Л = Л(р, К~рь) + (у,дь) = — (~р,~рь) + (7,уь), ь так что (д, М = (У, да), Ль откуда в силу (22) вытекает формула Шмидта (21). По теореме Гильберта — Шмидта причем ряд сходится равномерно на [О., а]. Поэтому формула Шмид- та (21) принимает вид г4.4. Теорема Гильбсрта — 01мидта и сс следствия 239 причем билинейный ряд сходится в ьг(0, а) равномерно по у н (О, а) (см, п.3).

Замкчанин. Формула (21) остается справедливой и при Л = Л„ если в соответствии с теоремой Фредгольма (т, ~гадь,) = О, 1 = О,..., г, — 1. В этом случае решение уравнения (20) не единственно, и его общее решение согласно формуле (13) из 3 1.1 дается формулой р(х) = Л, ~~~ ' ьо(х) + Т'(х) + ~ ~с,р, ,(т), (28) ь=~ литл в=о где с; произвольные постоянные.

5. Положительно определенные ядра. Ядро К(х,у) называется положительно определенным, если соответствующий оператор Л положителен (см. 2 1.1, п. 10), т. е. (ЛУ,г) > О, 2 е ьг(О,а). 1 — =(Кр„р,) >О, Ль т.е. Ль > О. Если К(х,у) положительно определенное непрерывное ядро, то справедлив следующий вариационный принцип: 1 ( (КТ", Т') — зпр ~ '.,: У,„о,) =О, 1=1,...,1 — 1 Ль уесг(а.а) ОЛ~ 1=1,2,...

(29) причем верхняя грань в (29) достигается на любой собственной функ- ции, соответствующей характеристическому числу Ль. Всякое положительно определенное ядро К(х, у) зрмитово. Действительно, поскольку оператор К эрмитов (см. 2 1.1, п. 10), то и его ядро К(х,у) эрмитово (см. 24.3, п. 1). Для того чтобы эрмитово непрерывное ядро К(х, у) было положительно определено, необходимо и достаточно, чтобы все его характеристические числа Ль были положительными. Действительно, если все Ль больше нуля, то в силу (19) (КТ, 2') > > О, так что ядро К(х, у) положительно определенное. Обратно, если ядро К(х, у) положительно определенное, то 240 Гл.

Ге'. Интееральные уравнения Действительно, пользуясь формулой [19) и учитывая неравенство Л, > Ль > О, 1 > к, получаем [КУ,У) 1 ~ ][У,Ре)]з ]]Лз ]]1]]~ ~ Л, Л ]]1]]з ~-' при всех 2" Е Ез [О, а) таких, что [у, уе,) = О, г = 1,..., й — 1. Стало быть, в силу неравенства Бесселя справедливо неравенство [ЕУ',У) < 1 ]]Лз Л„' [30) С друтой стороны, при у = уаь имеем [ЕжМ 1 [31) ][у я]]з Неравенство [30) и равенство [31) влекут вариапионный принцип [29). Полагая в [29) 1 = 1, получаем 1 (Ку, 1) Л1 еес,(оаб (32) Нам еще понадобится Ткогкмл Мкгскгя.

Если эрмитово непрерывное ядро К(х,у) имеет конечное число отрицательных характеристических чисел, то его билинейный ряд сходится равномерно при О < х, у < а. В част- ношпи, ]уев [х)]' К[ ) ь=е л га Š— =1 К[х, )д* ьч ь 0 Для доказательства следует воспользоваться результатами из пп. 2, 3 и леммой Дини (см. я 1.1, п. 3). Подробное доказательство приведено в [1]. 6. Развитие теории интегральных уравнений. Вся предыдущая теория, изложенная в 24.1 — 4.4, относилась к одномерным интегральным уравнениям с непрерывным ядром.

Без сушественных изменений зта теория переносится на многомерные интегральные уравнения [1) и [2) с непрерывным ядром при условии,что область 0 С К" ограничена. Все оценки остаются справедливыми, если в них число а заменить на объем Г области С. Вся теория переносится и на й4.4. Теорема Гилаберта — Шмидта и ее следствии 241 многомерные уравнения с более общими, чем непрерывные, ядрами. ,Ядро К(х,д) = "', х,д Е С, о < и, 'Н(т., у) (33) ! - Ы" где 'Н(х, у) непрерывное ядро на С х С, называется полярным; если же о < п~2, то оно называется слабо полярным.

Для полярных ядер в силу опенок 2 1.1 все повторные ядра, начиная с некоторого, будут непрерывны. Поэтому вся теория, изложенная в 2 4.1 — 4.3 для эрмитовых ядер сохраняется. Что касается теории Гильберта-.Шмидта, изложенной в 2 4.4, то она переносится без существенных изменений на интегральные уравнения со слабо полярным эрмитовым ядром (для этого ядро 'Н(х, д) в (33) дОлжнО быть ЗрмитОвым). ДЕйСтвитЕльнО, уСлОвиЕ О < е1/2 в (33) обеспечивает принадлежность ядра К к пространству Ез(С х х С).

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее