Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Краевьзе задачи для уравнений эллиптического типа. О = <Вио, ио) = l <Р!8гасу иоана+ д ~ио~г) йх+ ~ Р— (ио(г ВВ, /о но отку.да, учитывая предположения (3), выводим р8гас1ио = О, оно=О, хЕС, т.е. ио = сопвь ~ О и й = О. Из граничного условия (2) н равенства ио = сопвь следует, что о = О. Необходимость условий доказана. При этом установлено, что ио = сопзе - - единственная собственная функция, соответствующая собственному значению Л = О, т.е. это собственное значение простое. Достаточность. Если о = О и о = О, то в силу (3) Д > О и задача (1), (2) превращается в следующую: ди — =О, апя — с$п (рбгас1и) = Ли, для которой ио = сопвс есть собственная функция, соответствующая собственному значению Л = О.
Лемма доказана. При и, ) 2 будем считать, что в граничном условии (2),В = О либо В = 1, т. е, зто условие имеет вид ди и)з — — О либо — + ои)з —— О. (17) дп Тогда если граница Я обяасти С --- достаточно гладкая поверхность, а коэффициенты р > О, о > О и о ) О - достаточно гладкие функпии, справедлива следующая Тнорьмл 1.
Множество собщпвенняис зночяпий операгпора Л не имеетп конечных предельныт точек; кажс)ое собственное значение имеет конечную кратность. Всякая функция из зулс разлагается в регулярно сходязцийся ряд Фурье по собственным функциям оператора Ь. Лгммл. Для того чтобы Л = О было собственным значением оператора Ь, необходимо и достапвочно, чтобы й = О и о = О. При этом Л = Π— простое собственное значение, а ио = сопвь соотпветствуюицая собственная функци . Доклзлтнльотво. Ннонходимость, Пусть Л = О - собственное значение оператора Е и ив --.
соответствующая собственная Функция, так что Вио = О, ио Е Мь. Применяя к Функции ио Формулу (13), получаем ,~б.й Задача на собственные значенал 0<Л«<Ла<..., Л« — «оо, й — «оо, (18) повторяя Ля столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через Хм Хз, .,., так что в (18) каж- дому собственному значению Ль соответствует собственная функ- ция Хь, й= 1,2,..., Ха ЕМв. йх = Л.Х, При этом собственные функции Хь можно выбрать вещественными и ортонормальными (см. 5 1.1, п.
10), так что (йХ«мХ,) = Ль(ХюЛ;) = Льбь, (19) Далее, всякая функция 7" из Мс разлагается в ряд Фурье по орто- нормальной системе (Хь): 7(л) = ~(7",Х«)Хя, «=1 (20) и этот ряд сходится регулярно на С. Поскольку Мл «шотно в Дз(С) (см. п. 1), в силу теоремы из 5 1.1, п. 7 справедлива Ткогимл 2. Система собсспвенныт функций оператора Е полна в ьа(С). Пусть «' е Мв. Умножая ряд (20) скалярно слева на 17" и учитывая, что Е7 Е Ез(С), получаем формулу для интеграла энергии (й|,У) = ~(У,Хь)(йУ,Х,) = У (У,йх,)(У,Хя) = «=1 ь=« (У, ЛьХа)(~, Хь) = ~ Ль !(~: Хл) Г (21) «=1 я=« Теперь установим следующий вариационный принцип (ср. ~ 4.4, п.
5).' Ль = 1пГ ~ '.: ((,Хь) =О, 1=1,...,й — 1 Г (й.«",,«") уеМс й =1,2....., (22) Эта теорема будет доказана для двух частных случаев: для задачи Штурма — Диувилля (см. 55.2) и для задачи Дирихле (см. ~ 5.7). На основании приведенной теоремы и предыдущих утверждений все собственные значения оператора А можно перенумеровать в порядке возрастания их величины: 250 Гл. ух. Краеввее задачи длл уравнений эллиптинееноео типа причем нижняя грань в (22) достигается на любой собственной функпии, соответствующей собственному значению Лы Действительно, пользуясь формулой (21) для квадратичной формулы (Ь~,у) и учитывая неравенства (18) Л, ) Ль ) О, е ) в', при всех 1" Е Мь таких, что (1, Х;) = О, 1 = 1,..., й — 1, получаем <КУ Р = ~ Л ~ У Х) ~з > Ль ~ ~ У ХД'.
Но в силу теоремы 2 справедливо равенство Парсеваля (см. 5 1.1, п. 6) ЕКУ:ХЛ' = ЕКУ,Х.Н' = !Л'. е=1 и=в и потому < (и~,Л 1Лт ' С другой стороны, при 1" = Хв в силу (19) имеем (1,Хы Хь) =Лю (ХюХе) =О, в=1,...,Й вЂ” 1. Этим установлена справедливость вариационного принципа (22).
Полагая в (22) в. = 1, получаем, в частности, 11Л У) з" Елее Применяя формулу (21) к функциям р=1,2,..., из .~Иь и учитывая, что [„.хе = (Š— ~[в.хвхох,) = ( ' получаем (Лц, о,) = ~ Л,.НУ,ХД'. е=-р~-х йбла Задача на еобетвенньсе значенья 251 Отсюда и из сходимости ряда (21) сяедует, что (Тл)р, Ор) — ~ О, Р -+ оо. (23) Применяя неравенство (14) к функциям пр и учитывая (23), получаем при р — р со з 'О ~ 5тас1ур~ ~~ = 5гас1 Р' — ~(1",Х) 5гас1Х, ( — (Ес1р, Ор) — + О. Ро Полученное соотношение означает, что кгас1Д(х) = ~((,Хя) бгас1Хь(х), я=1 (24) причем ряд (24) сходится к кгас1 р" в Ея(С). Итак, установлена следующая Ткоркмя 3. Если с Е ддш то ряд (20),полено дифсререннировать почвенно по х„г = 1,...,п, один раз, и полученные ряды (24) будут сходиться к в Ез(С).
ОР дх. 5. сРизический смысл собственных значений и собственных функций. При р = 1 и;3 = О задача на собственные значения (1), (2) принимает вид — сан+ с1(х)и = Ли, и!я —— О. (25) )~ч(х), х е С, 1+сю, х е Сы Соответствующие собственные функции являются волновыми функциями стационарного оператора Шредингера (см. у' 1.2, п. 6). Как будет показано в 3 5.4, собственные значения оператора А определяют собственные частоты колебаний ограниченных областей (объемов, мембран, струн, стержней и т.д.), а соответствующие собственные функции амплитуды гармонических колебаний. Собственные значения задачи (25) определяют уровни энергии квантовой частицы, движущейся во внешнем силовом поле с потен- циалом 252 Гл.
уг. Краееаге задачи для ураенений эллиитичеенаеа тина. 3 5.2. Задача Штурма — Лиувнлля При п = 1 задача на собственные значения (1), (2) из 5 5.1 называется задачей 1Ппгугргеа — Лиуезглля, Т,и = — (ри~)~ + йи = Ли, 0 < х < Р, Ьмг(0) — Ьги'(0) = О, НгиЯ+ Нги'Я = О. (2) В соответствии с условиями (3) из 5 5.1 считаем р Е С~([0,1]), а Е С([0,1]), р(х) > О, е1(х) ) О, 6г,Ьа,НыНг ) О, Ьг + Ьг > О, Нг + Н > О. Напомним, что область определения Мв оператора Е состоит из функций и(х) класса С (0,1) П С'([0,1]), иа Е Сг(0,1), удовлетворяющих граничным условиям (2). Выражение (13) из 25.1 для квадратичной формы (Е~, Д, 1" Е Е Мш принимает следующий вид: Н (Та(,У) = / (р[У'[а+ у]Дг) дх+ — р(0)]Д(0)[з+ — р(7)]Я)]з (послсдние слагаемые выпадают при Ьг = 0 или Нг = 0 соответственно).
1. е1эункцня Грина. Предположим, что Л = 0 не есть собственное значение оператора Ь: это значит в силу леммы из 5 5.1, п. 4, что либо 9 ф О, либо Ьг ф О, либо Нг ~ О. Рассмотрим краевую задачу 6и = — (ри')'+ чи = г'(х), и Е Мш (3) где г" Е С(0,1) П Сг(0,1). Так как Л = 0 не есть собственное значение оператора А, то решение краевой задачи (3) в классе Мг. единственно (см. 2 1.1, п. 9). Построим решение этой задачи.
Пусть иг и иг ненулевые (вещественные) решения однородного уравнения Т,и = О, удовлетворяющие условиям Ьгиг(0) — Ьга',(0) = О, Нгиг(Ц+Нзиг(1) = О. (4) Из теории обыкновенных линейных дифференциальных у.равнений следует (см. [5]), что такие решения всегда существуют и принадлежат классу С ([0,1]). Решения иг и иг линейно независимы.
Действительно, в противном случае иг (х) = сиз(х), и, следовательно, в силу (4) 1 зги. Задача Л7турма — Лиувияяя 253 решение и1 удовлетворяет и второму граничному условию (2). Это значит, что и1 является собственной функцией оператора 5, соответствующей собственному значению Л = 0 вопреки предположению. Поэтому определитель Вронского ю(х) =,, х'. -О, х е [0,1[. Ю1(х) и2(х) 1'1(х) и2(х) Кроме того, имеет место тождество Осшраградсквга — Лиувияяя (см. [5[) р(х)ю(х) = р(0)ю(0), х Е [0,1).
(5) Будем искать решение задачи (3) методом вариации произвольных постоянньст, и(х) = С1(х)и1(х) + С2(х)и2(х). (6) В соответствии с этим методом функпии С'(х) и С'(х) должны удов- летворять системе линейных алгебраических уравнений С,'и1 + Сзиз = О, (7) С,и + Сзиэ = —— р с определителем ю(х) х: О. Решая эту систему и пользуясь тождест- вом (5), получим 1 0 из 7'(х) и2 (х) ю — (/р 1! р(0)и~(0) ' (8) 1 и1 0 Д(21)и1(х) ю и[ — 7",1р р(0)ю(0) Чтобы удовлетворить граничным условиям (2), положим С2(0) = О, С1 (1) = 0; тогда в силу (4) и (7) Ь1и(0) — Ьзи'(О) = Ь1[С1(0)и1(0) + С2(0)и2(ОЯ— — Ь2[С1(0)и (0) + С1(0)и1(0) + С2(0)из(0) + С2(0)и2(0))— = С1(0)[Ь1и1(0) — Ьаи1(0)) + Сз(0)[Ь1и2(0) — Ьаи,'(0)) = О, и аналогично для х = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
