Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1 утверждает, что интегральный оператор с непрерывным ядром переводит всякое ограниченное множество из ьэ(0, а) во множество, компактное в С([0, а]). Всякий оператор, обладающий таким свойством, .называется вполне непрерьсвным из Сэ(0, а) в С([0, а[). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром.
Не всякое ядро, отличноо от тождественного нуля, имеет характеристические числа; например, как было показано в 2 4.1» п. 3, ядра Вольтерра не имеют таковых. Тем не менее справедлива следующая ТеОРемА. Всякое эрмитово непрерывное ядро )С(х, у) ф 0 имеет по крайней мере одно харакгаеристическое число, и наименыпсе по модулю характеристическое число Лс удовлетворяет вариационному принципу 1 [[КП оп 1» [Ас[ уесйо с [[э'[[ 228 Га. 11'. ХХнтеерааьные ураенения Доказлтгльство, Обозначим через р точную верхнюю грань функционала 8КП на множестве функций Х из Сз(0, а) с единичной нормои: и = впр ОКХ'8. (6) 1~Л=е Из опенки (6) из 84.1 вытекает, что на функциях этого множества 8КП < ЛХи, а потому и < ЛХп,. Кроме.
того, о еевидно, р > О. Докажем, что р > О. Действительно, если и = О, то в силу (6) мы имели бы 8К Х8 = О, т.е. 1СХ = 0 при всех Х Е Св(0, а), и полому /С(х, у) = 0 (см. 8 4.1, п. 1), вопреки предположению. Из определения точной верхней грани р вытекает существование последовательности Хь, й = 1, 2,..., такой что (7) ~~ЕХД вЂ” ~ р, й — ~ со; кроме того, справедливо неравенство )~К П = К (г ~ ) ~~КП < Ц~КХ~~, Х 6 С (О,п).
(8) ОКП( Докажем теперь, что К Хн — и'Хь -+ 0 в Сэ(О,а), Й -+ оо. (9) Действительно, пользуясь (2), (8) и (7), получаем ~8К Хь — и Я = (К )ь — и Хю К Х.ь — и ~е) = = (К Уь, К Ы+ и Июль) — р (Б К Хь) — р (К Уы Хь) = йКзуь6~ + и 2рз(КХь КХ») < р' '8КХь8э + р~ — 2рз~ОКХе!8~ = = р~ — иа'ОКХь'8~ -+ О, а — э со, что и эквивалентно предельному соотношению (9). По лемме из п.
1 последовательность функций К Хь, й = 1, 2,..., ограничена в С((0, а)) и состоит из равностепенно непрерывных функций на (О, а). А тогда по лемме Арчела-.Асколи (см. п. 2) существует подпоследовательность фе = КХм, 1 = 1, 2,..., сходящаяся в С((0, о)) к функции ф Е С((0, а)). Отсюда, пользуясь оценками (4) и (5) из 8 4.1 и соотношением (9), получаем ~Ж'6-"ч~~с < Р зЬ' -И~с+ р'Ь-Мс+ ~Ж'"ч*-" а4с < ЕЕ.Я. Интеераяьные уравнения е ормитовым ядром 229 < Ма ~~КФ вЂ” ь ~!а+ р'Р~ — Мс+ ОК(К'Б, — рзУм)~1 < < <(М а + р ) ~~~ — ууг~!с + Ъ|ъГаЯ~Кз~и, — и ~ь, !) — + О, 1 — в со, и, следовательно, 1Рвд = и ~ь Докажем, что ду р'.
-О. Из предельного соотношения (9) следует, что К4л — нять., -о 0 в аз(О,а), г' — у со, и, следовательно, )~К~,~~ — у из, 1 -+ оо. С другой стороны, из леммы 24.1, п.1 вытекает, что ОК4,'р -+ ()КнУ((, 1 -+ оо. Таким образом, ~Отвд~~ = рз > О, откуда и следует, что т ~ О. Итак, построенная функция ф является собственной функцией ядра Кз(х,у), соответствующей характеристическому числу 1/из. А тогда по крайней мере одно из чисел х1/и является характеристическим числом ядра К(х, у) (см.
2 4.2, п. 4). Таким образом, построенное характеристическое число Л~ по модулю равно 1/и и, стало быть, в силу (6) удовлетворяет вариационному принципу (5). Осталось установить, что Лв наименьшее по модулю характеристическое число ядра К(х, д). Действительно, если Ло и еоо характеристическое число и соответствующая собственная функция ЛоКеоо равна еоо, то в силу (5) ~~КЕМ ~~Кр,~~ — впр ) Еес,бьв) йП 'з'Рой 1Ло~ и потому (Л~) < (Ло!. Теорема доказана. Как было установлено в п. 1, интегральный оператор К с эрмитовым непрерывным ядром К(х, у) эрмитов.
По теореме из 2 1.1, п. 10 характеристические числа ядра К(х, у) вещественны, а собственные функции, соответствующие раз.личным характеристическим числам, ортогональны.Кроме того,по четвертой теореме Фредгольма множество характеристических чисел не более чем счетно, а по второй теореме Фредгольма кратность каждого характеристического числа конечна. Поэтому система собственных функций оператора К не более чем счетна, и эту систему можно выбрать ортонормальной (см. 21.1, п.
10). Принимая еще во внимание доказанну.ю теорему. и теоремы Фредгольма (см. 24.2, п. 3), для интегральных уравнений с эрмитовым непрерывным ядром К(х, р) ~ 0 получаем следующие утверждения. 230 Гл. 11'. Интиверальнме уравнения Множество характеристических чисел (Ль) не пусто, лежит на вещественной оси, не имеет конечных предельных точек; каждое характеристическое число имеет конечную кратность, система собственных функций (дь) может быть выбрана ортогональной, (10) (рыуна) = бм Если Л ~ Ль, 1 = 1., 2,..., то уравнение (1) однозначно разрешимо при любом свободном члене 1 Е С(~0, а]).
Если Л = Лю то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы (11) (агру,;) = О, 1 = О, 1,..., гу — 1, где Фы дьем ", дул-„. — 1 -- собственные функции, соответствующие характеристическому числу Лю и гу --.кратность Ля. Многие задачи математической физики сводятся к интегральным уравнениям с вещественным эрмитовым ядром К(х,у). Такие ядра называются симметричными; они удоьшетворяют соотношению К(х, у) = К(у, х). Собственные функции симметричного ядра можно выбрать вещественными. Действительно, если р = р1+ ирэ, ~р1 ~ О,,рэ у- .О, — собственная функция симметричного ядра К(х, у)., соответствующая собственному числу Ле. р = р1 + сре = ЛоКр = Ло + гКр1 + 1ЛеК'рю то в силу вещественности ядра К(х, у) и числа Ле заключаем, что вещественная р1 и мнимая рз части функции р также яакяются собственными функпиями, соответствующими Ле.
р, = Л.Кр„рз = Л.кр,. 8 4.4. Теорема Гильберта — Шмидта и ее следствия 1. Теорема Гнльберта — Шмидта для эрмитова непрерывного ядра. Пусть ЛмЛэ,, характеристические числа эрмитова непрерывного ядра К(х, у) х': О, расположенные в порядке возрастания их модуля, )Л1( < )Лз( < ... и рм рз,...
— соответствующие ортонормальные собственные функции, (рю ун) = ом. у4.4. Теорема Гильберта — )11иидта и ее следствия 231 Как мы знаем, характеристические числа Ль вещественны, а собственные функции сол(х) непрерывны на [О, а[; при этом множество (Лл) либо конечно, либо счетно; в последнем случае [Лл[ — ~ оо, и — ~ — ь оо. Далее, в силу теоремы из 3 4.3, п. 3 справедливо неравенство [[Ку[[ < [[Д, У Е ье(О,о). 1 Отметим еще неравенство *) < / [К(х,у)[ с1д, х й [О,а~. (2) [Кя(х)[а л„-,/, (В п.
2, будет показано, что в неравенстве (2) фактически имеет место знак равенства.) Неравенство (2) при фиксированном х Е [О,а[ представляет собой неравенство Бесселя (см. 3 1.1, п. 6) для функции К(х, д), коэффициенты Фурье которой по ортонормальной системе (соя(р)) есть 1 (К:~ся) = ~ К( 'лйл(йс(р= К~ = — Р (х). о Лл Введем последовательность эрмитовых непрерывных ядер К)Р)(х,у') = К(х,у) — ~~ ' ', р = 1,2,... (3) 'ре(х)чс (л) Л; с=1 Соответствующие интегральные эрмитовы операторы КОО действу- ют по формуле К~')у = Ку — ~ ' Ос„( Е ьь(О,а).
(4) (У~ 'Ре) с=1 Докажем, что Лр+мЛр+ю .., и ос рмьср+з,... образуют все характеристические чиста и собственные функции лдра К~Р) (х, у). В самом деле, в силу (4) имеем Р К рл=Кр,— ~ ' ре=кра= —:р, й>р+1, М 'с ' Мл~9'~) 1 Л ' Л„ *) Если ядро ~С(х,у) имеет конечное число характеристических чисел Ль,.., Лм,то будем считать Лл = со, и > Х. 232 Га. 11г. Интеерааьнеге ураененна так что Ль и рь, 1е ) р+1, --- действительно характеристические числа и собственные функции ядра К1Р~(ж,у). Обратно, пусть Ло и ро характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра Кгег(жгу), т.е. р. = Л.к® р. = Л.кр.
- л. ~ р,. (гро гр') Л; г=-1 (5) Отсюда при Л = 1,..., р получаем (гро грь) = ЛоЯгро Рь) — Ло ~ Его г грг) Егггег г гре) Л, г=1 = Ло(гро, К~ое) — Ло ~ б~ь = — (гро,:рь) — — (уго, рь) = О, (уго Рг) Ло Ло лг ' л ' л. г=ц ~~К1"у~~ = ку-~~1'ре) р, < л, р' - ~л„,!' (б) 4' Е Еэ(б,а), р = 1,2, Пусть эрмитово ядро К(т, у) имеет конечное число характеристических чисел Лы...,Лм.
По доказанному эрмитово ядро Кг'~г не имеет характеристических чисел, а потому по теореме из 24.3, п. 3 Кг~г(т,у) = О, так что г'ггг тг)грг (у) Л; г=1 т. е. ядро К(т, у) вырожденное. Отсюда, вспоминая, что вырожденное ядро всегда имеет конечное число характеристических чисел (см. 24.2, п. 2), выводим такои а поэтому в силу (5) гро = Локро Таким образом, Ло и гргг -- характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра К(ж, у).
Поскольку ро ортогональна ко всем собственным функциям гры..., ргн то Ло совпадает с одним из характеристических чисел Лре ы Лреаг..., и гро можно считать равной:ре при некотором й ) ) р+1. Таким образом, Лрег наимсныпее по модулю характеристическое число ядра Кгнг(л, у). Применяя неравенство (1) к этому ядру и учитывая (4), получаем неравенство Теорема Гияьберта — Шмидта и ее следствия 233 еа Т(х) = / К(х,у)Ь(у) ду, 0 < х < а. о (8) Тио! нма Гилььнгтя — Шмидта. Еслп функция 7"(х) истокообразно представима через эрмипюво непрерывное ядро К(х,у), 7' = = КЬ, то ее ряд Фурье по собственнь м функциям ядра К(х, у) сходится регулярно (и, значит, равномерно) на [О,а) к этой функции: (9) Докязятгльстно.
Так как 7" = КЬ, Ь 6 Ез(О,а), то по лемме из 34.1, п.1 7" Е С([0, а]) и коэффициенты Фурье функций 7" и Ь по собственным функпияьл (!!оь) ядра К(х, у) связаны соотношением (1 !!оь) = (К1е, !!оя) = (Ь, Кря) = (Ь, !! я) Ль (10) Если ядро !С(х, у) имеет конечное число характеристических чисел, то в силу (7) 7(х) = КЬ = ~ ~!рь(х), л ь=! и теорема Гильберта — Шмидта доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
