Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Третья теорема Фредгольма доказана. Справедлива еше одна теорема. 1ЕТВЕРТАЯ ТЕОРЕМА ФРЕДГОЛЬЫА. В каждом круге ~Л~ < Н может находчньься лишь конечное число характеристических чисел ядра К(хь у). ДОЕАВАтгльство, Выберем е = а/(В+1). тогда при ~л~ < В+ 1 будет )Л( < 1Деп). Поэтому при (Л) < В+1 однородные уравнения (1) и (22) эквивалентны. Слсдоватсяьно, в круге (Л) < Л+1 характеристические числа ядра К(х, у) совпадают с корнями уравнения Р(Л) = О (см. п.2). Поскольку ядро ТТх, у; Л) аналитично по Л в круге )Л( < < Я+ 1, то Р(Л) -- аналитическая функция в этом круге.
Отсюда по свойству единственности аналитических функций (см. )3)) заключаем, что в круте ~Л~ < Л может находиться лишь коночное число корней уравнения Р1Л) = О, а значит, и ядро К(х, у) может иметь только конечное число характеристических чисель Теорема доказана. 4. Следствия из теорем Фредгольма. Из четвертой теоремы Фредгольма следует, что множество характеристических чисел непрерывного ядра но имеет конечных предельных точек и, значит, не более чем счетно. (Это множество может быть и пустым, как, например, для ядра Вольтерра; см. 24.1, и.3.) Далее, из второй теоремы Фредгольма вытекает, что кратность каждого характеристического числа конечна. Следовательно, все характеристические числа ядра К(х, у) можно перенумеровать в порлдке возрастания их модуля: (26) ~л,~ < ~л ~ < .. повторяя в этом ряде Ль столько раз, какова его кратность.
Соответствующие собственные функции обозначим через ь и уоя,..., и каждому характеристическому числу Ля из (26) сопоставим собственную функцию уоя. (27) уьь = ЛьКря, к = 1,2,". т4.2. Теоремы Фредеольма 223 По второй теореме Фредгольма Лм Лю.,. -- все характеристические числа ядра К" (я,р), причем кратности Ль и Ль одинаковы. Соответствующие собственные функции обозначим через фы (27') ао, = л,к.~я Собственные функпии уе и фе непрорывны на [О, а1 Докажем, что если Ля ~ Л„то (28) Принимая во внимание равенство (14) из 24.1, из (27) и (27') полу.
чаем (ж дл) = (ж ЛеК" Фд = Ле(Куя, А) = Л' ( ., Ф,), л откуда в силу Ль у'. -Л, и следует равенства (28). Отметим, что ЛР и еою к = 1, '2,..., характеристические числа и соответствующие собственные функции повторного ядра Кр(я, у). Это утверждение вытекает из равенств (27), согласно которым дь = ЛгаКРТ„, й = 1,2,. (29) Можно доказать и обратное утверждение: если р и 1о характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра К (т, р), то по крайней мере один из корней Л, у = 1,..., р, уравнения ЛР = р являегся характеристическим числом ядра К(т, д). Переформулируем теперь альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций.
Если Л ~ Лю й = 1,2,..., то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах. Если Л = Лы то однородные уравнения р = лак,р, и = л,к*д имеют одинаковое (конечное) число гь ) 1 линейно независимых решений собственных функпий еоюуь+ы...,'дььее 1 ядра К(я У) и собственных функций дгю фьа1 . ~ь+е„-1 ядра К*(т, р), соответствующих характеристическим числам Ле и Ля (гя кратность Ль и Ла).
Если Л = Лы то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы (ЗО) 224 Га. Ге'. Интеерааьные ураененнл Здыгечаниге. Изложенный процесс сведения интегрального уравнения (1) к интегральному уравнению (22) с вырожденным ядром указывает на следующий способ приближенного решения уравнения (1) при любых Л: 1) ядро К(х,у) приближается полиномом Р(х,.у) (или другим каким-либо вырожденным ядром); 2) для малого ядра Я(х,у) = К(х,д) — Р(х, у) методом из 24.1, п.
2 приближенно строится резольвента Е(х, у; Л); 3) составляется интегральное уравнение (22) с вырожденным ядром Т(х,у); 4) методом из п. 1 строится решение Ф уравнения (22); б) по формуле (21) находится решение р уравнения (1). 5. Упражнения. а) Доказать, что если К(г) непрерывная 2я-периодическая функция и К1е)енеЖ ф О, й целое, — л то 1 Ль = ., ~ра(х) = е ' ', /'. К(1)е'ьее1г характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра К(х — у), — я < х, у < я.
б) Доказать, что если К(1) (абсолютно) интегрируемая функция на 21 и ее преобразование Фурье К(ре) у'. -О, то Л= 1 к(р) ' ~р(х) = е ше ~р(х) = 1(х) + 1/ — / соз(ху)~(у) ду, о где ~(х) лкебая функция из Ба(0, со). Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами примеров б) и в) теоремы Фредгольма не справедливы (области интегрирования в них неограничены). характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра К(х — у), — оо < х, у < оо. в) Доказать, что Л = ;/2/~г характеристическое число ядра соз(хд), 0 < х, у < со, и ему соответствуют собственные функции 14.У.
Интсгральиыс уроансиия с зрмитооым ядром 225 у 4.3. Интегральные уравнения с эрмнтовым ядром Ядро К[х, у) называется зрмитовь м, если оно совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром, К(х, у) = К*[я, у). Соответствующее интегральное уравнение га со[х) = А / К[х,у),р(у) ду+ 1"[х) о при вещественных Л совпадает со своим союзным, ибо К* = К. Это уравнение удобно рассматривать в пространстве Сг(0, а).
1. Интегральные операторы с эрмнтовым непрерывным ядром. Пусть К интегральный оператор с эрмитовым непрерывным ядром К[х,у). Этот оператор переводит Сз[О,а) в Сг[О,а) [см. 24.1, п. 1) и эрмитов [см. 24.1, и. 2 и 2 1.1, п. 10): [К~, д) = (Т", Кд), Т,д 0 Сг(0, а) = Чк [2) Обратно, если интегральный оператор К с непрерывным ядром К[х, у) эрмитов., то это ядро эрмитово. Действительно, равенство [2) влечет эрмитовость ядра К[х, у) = = К'(х,у) [см. 24.1, п.1). Из формулы (22) из 2 4.1 следует, что все повторные ядра Кр [х, у) эрмитова непрерывного ядра К[х, у) эрмитовы; К [х, у) = [К*)д[х, у) = Кд[х, у). Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром К[х,у) переводит всякое ограниченное множество из Се[О,а) во множество, ограниченное в С[[О,а]) и состоящее из равиостспенно непрерывных") функций на [О, а]. ДОкАзАтельстВО.
Пусть В ограниченное множество из Се[О,а): [[1'][ < А,,1' Е В. По лемме из 24.1, п. 1 оператор К переводит множество В во множество, ограниченное в С([О,а]); [[Ку[[ < < ЛХидаА, ) е В. Далее, так как ядро К(х, у) равномерно непрерывно на [О, а], то для любого с > 0 существует такое число д > О, что [К[х~, у) — К[х~~, у)[ < †, .[х~ — хи[ < О, 0 < х~, х~~, у < а.
о *) Опрсдслсиие множества равиоствпсиио иепрерывиых функций см. в 1 1.1, и. 3. 1Ь В. С. Владимиров, В. В. 7Каривоа 226 Гл. 1г'. Интегральнь>е уравнения Отсюда с помощью неравенства (4) из 24.1 с заменой К(х, у) на К(х', у) — К(хо, у) при всех з е В получаем ](Кз)(х') — (КД(хо)] = / [К(х'.,у) — К(х", у)]з]у) ду < зо < ига]]Д < е, как только ]х' — хо] < б, О < х', хо < о.. Это и значит, что множест- во 1(КД(х), 1 Е В) состоит из равностепенно непрерывных функций на ~О, а].
Лемма доказана. 2. Лемма Арчела — А.скали. Если бесконечное множество В ограниченно в С(К), где. К -- ограниченное замкнутое. множество в В", и состоит из равностепенно непрерывных функций на К, то из него можно выбрать сходяиьуюся в С(К) последовательносп>ь. Доклзлтндьство, Как известно, множество точек с рациональ- ными координатами счетно. Поэтому все такис точки множества К можно перенумеровать: х>, хз,... По условию множество чисел (Дх > ), 1 Е В) ограничено. Могут представиться два случая. 1.
Это множество бесконечно. Пользуясь теоремой Больцано— Вейерштрасса (сьь 2 1.1, п. 1), из него выберем сходящук>ся последо- вательность уь (х>), ь' = 1,2>.., ОО 2. Это множество конечно. В этом случае найдется последова- тельность функций зь (х), й = 1,2,..., принимающих в точке х> оди- ОО наковые значения. Далее, поскольку множество чисел (у (хз), й = 1,2,...) огра(>) ничено, то из него выберем описанным выше способом сходящуюся подпоследовательность дьз (хг), к = 1,2,...,и т,д. >з> РассмотРим тепеРь ДиагональнУю послеДовательность уь(з>) = (х), в' = 1,2,..., функции множества В.
Для любой точки х, Ой числовая последовательность Зь(х;), к = 1> 2,..., сходится, ибо по по- строению при й > 1 эта последовательность содержится в сходящейся последовательности уь' (х,), к = 1, 2,... Ю Докажем теперь, что последовательность 1ь(х), к = 1, 2,..., схо- дится равномерно на К. Пусть е > О. Поскольку последовательность состоит из равностепенно непрерывных функций на К, то найдется такое число б > О, что при к = 1, 2,... ]Ць>х) — )ь>х )] < —, ]х — х'] < б, х, х' 6 К. (3) 3' Э" 4.3.
Интеэральные уравнения с эрмитовым ядром 227 Так как К --- ограниченное множество, то нз множества точек хс, х»,, .., можно выбрать конечное число их хс, хэ,..., хс, 1 = 7(в), так, чтобы для любой точки х 0 К напхэась точка х,, 1 < с < 1, такая, что [х — х, [ < д. Вспоминая, что пошседоватсльность уя(х), И = 1, 2,..., сходится на точках хс,...,хс» заключаем, что найдется такое число Ас = Ас(в)» что [ус(хс) — Яхс)[ < †, сс, р > Ас, с = 1,..., й (4) 3' Пусть теперь х произвольная точка множества К.
Выбирая точку х,, 1 < с < 1, такую, что [х — х,[ < д, в силу (3) и (4) получаем [Ых) - Л (х)[ < < [Б(х) — Ыхс)[+ [Ь( *) — Б(хс)[+ [Л (хс) — Л4х)[ < в в я < — + — + — = в, 1с,р > сА». 3 3 3 причем А» не зависит от х. Это значит, что последовательность уя(х), к = 1,2...., сходится в себе в С(К). По теореме Коши (см. 2 1.1, п.3) эта последовательность сходится в С(К) к некоторой функции из С(К). Лемма доказана. ЗАмечлниг,. Лемма Арчела Асколи выражает свойство компакпсности любого ограниченного в С(К) множества, состоящего из равностепенно непрерывных на К функций. Лемма из п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
