Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В результате на струне будет наблюдаться отражение волны д(х Ч- а1) от конца струны х = 0 с изменением знака (рис. 44). 188 Гл. П1. Фундахеентальное решение и задача Коиш Построим теперь решение смешанной задачи (4), (5)., (11). Всякое классическое решение и(х,с) этой задачи в силу (12) допускает я1х ь ае) — х х о — 8( — хьае) Рне.
44 Рне. 43 Йе=о = йо(х), йе~е=о = Ж(х), (13) где йо и й4 нечетные продолжения функпий ио и из соответственно. Но решение такой задачи Коши единственно и представляетсл формулой Даламбера (10) с заменой ио на йо и иь на йм если йо Е Е Сз(14з ) и йз Е С' (М ). Последние условия будут выполнены, если ио Е С (х > 0), из Е С'(х > 0), ио(0) = и~(0) = иь(0) = О. (14) Итак, если выполнены условия (14), то решение задачи (4), (5), (11) существует, единственно и задается формулой 1 1 )х4' и(х., 1) = — ~йо(х + а)) + йо(х — а1)) + — / йз(~) е)С, 2 Л., х > О.
(15) Пусть х — а1 > О. Тогда йо(х — а1) = ио(х — а1), й~® = из(~), С > х — ас > О, и формула (15) принимает вид 1 гхтае и(х,1) = — ~ио(х+ах)+ив(х — ас) + — / иь®ас, 2 2а — ое х > а1. (15) нечетное продолжение й(х,1) по х класса Са())сз), и это продолжение удовлетворяет уравнению (4) в йз. Отсюда и из условий (5) вытекает, что решение й(х, 1) удовлетворяет начальным условиям в'лч4. Рлспространение волн 189 Пусть теперь х — а1 ( О. В этом случае йо(х — а1) = — ие1 — х+ а1), и формула (15) принимает вид й~(5) = -и~(-(), х — ас < ( < О, 1 и(х, 1) = — 1ио(х+ а1) — ио( — х + а1)) + 2 1 г'" в' + — / ис(с) с1Р, 2а, ятвс 0 <х< ай (17) Как видно из формулы (17), в точку (х,с), 0 < х < а1, приходят две волны: прямая волна из точки (х + а1, 0) и один рзз отраженная волна из точки (а1 — х, 0) (совпадаюшая с прямой волной из фиктивной точки (х — ас, 0); рис.
45). Аналогично рассматривается смешанная задача для полубесконечной струны х > 0 со свободным л а концом: Рис. 45 Здесь также имеет место отражение волн от конца струны х = О, но уже без изменения знака. 7. Метод отражений. Конечная струна. Применим метод отражений, изложенный в предыду.щем пункте, для решения смешанной задачи для конечной струны 0 < х < 1 с закрепленными концами и~, =и~, (18) Сначала докажем, что всякое классическое решение и(х, 1) волнового уравнения (4) в полуполосе 0 < х < 1, 1 > О, удовлетворяющее условиям 118), представляется в виде и(х, 1) = д(х+ ас) — д( — х+ а1), д((+ 21) = д1С)., д б С'(й').
(19) Действительно, по лемме из и. 5 решение и(х,с) представляется в виде (6), где ~Я Е Сз(с < 1) и д(в1) Е Сз(в1 > 0). Отсюда, учитывая условия (18), получим 120) 190 Гл.П1. Фундаллентальнае усиление и задача Каиш Эти соотношения дают продолжения функций 1 и д на всю ось с сохранением класса Сз. В самом деле, равенство д(с) = — Д( — с) распространяет функцию д на интервал ( — 1,со). А тогда второе из равенств (20), записанное в виде 1(л1) = — д(21 — л1), распространяет функцию 1 на интервал ( — со, 31), и т.
д, В результате такого продолжения функции 1" и д будут принадлежать классу Са(К~ ) и удовлетворять соотношениям (20). Отек>да вытекает представление (19) и 21-пери- 21 одичность функции д: — д(1 + 6 = И вЂ” 6 = — д( — 1+ О Рассуждая теперь, как в предыдущеле пункте, заключаелц что если функции иб и и1 удовлетворяют условиям иа е Са((0, 1]), иа(0) = ие(0) = иа(1) = иб(1) = О, (21) и1 Е С ((О, 1]), и1(0) = ил(1) = О, то решение смешанной задачи (4), (5), (18) существует, единственно и дается формулой 1 1 1а~ьл и(х, 1) = — ]й(х + а1) + й(х — а1)] + — / й, (с) с15, 2 2../. „, 0 <х<1. (22) Решение (19) показывает, что имеет место отражение от обоих концов х = 0 и х = 1 с изменением знака.
Отсюда следует, что движение струны периодическое по времени с периодом 211'а (рис. 46). лс 1 и Построим теперь решение смешанной задачи (4), (5), (18). Если классическое решение и(х,1) этой задачи существует, то в силу (19) оно допускает 21-периодическое нечетное продолжение й(х,1) по х относительно точек х = 0 и х = 1, и это продолжение принадлежит классу Са(йз) и удовлетворяет уравнению (4) в мз. Отсюда и из условий (5) вытекает, что функция й(х,1) удовлетворяет начальным условиям (13), в которых функции йб и йл соответственно 21-периодические нечетные продолжения функций иб и ал относительно точек х = 0 и х = 1.
тЯ.З. Задача Лаиш дал ураененил теилояроеедиасти 191 Пусть точка (х., 1) расположена так, как показано на рис. 47. Тогда формула (22) в втой точке принимает вид 1 1 Рч и(х,ь) = — ~иоЯ вЂ” ие(1)) — — / иьЮ с1б. 2 2а ./д (23) Действительно, согласно пРавилУ отРажений йо(6) = ие(7), йо(с) = — ио1,З) и с с — ь сс йь®д~ = / йьЯс1~+ / йь®с1( = ь ь гь сд гд = / и,®н(+/ и,(б) сьс = / иь®сь(. 7 1 т 0 Р 7 1 с х Рис. 47 отраженная от конца х = 1), другая из точки 9 (по одному разу от- раженная от концов х = 1 и х = 0) (сьь рис.
47). 3 3.5. Задача Коши для уравнения теплопроводностн Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности строится методом, аналогичным методу, изложенному в 93.3 для решения подобной задачи для воянового уравнения. 1. Тепловой потенциал. В я3.1, п.б было показано, что функция с(х,1) = 0(1) Г !х!' ~ ехр —,, 1 (2от7Я)а 1 4аа ) Отсюда и из (22) вытекает формула 123).
Она показывает, что в точку (х,ь) приходят две волны: одна волна из точки Д (один раз 192 Гл. П1. Фундаментальное реиьсиис и задача Коиш является фундаментальным решением оператора теплопроводности. Эта функция неотрицательна, обращается в нуль при 1 < О, беско- нечно дифференцируема при (х,с) ф (О, О) и локально интегрируема в Ни "'. Более того, (см. 9 2.2, п. 5, е)), б(х,с) дх = 1, 1 > О; Г(х,.с) 4 д(х) в Ю'(И"), 1-4 +О. (2) др 24 И+ ль 1) д1 (3) Из теоремы 1 из 92.3, п.4 следует, .что если 1" —.
финитная обобщенная функция и обращается в нуль при 1 < О, то тепловой потенциал заведомо существует в '0'(ии ~~ ). Выделим еще один класс График функции б(х, 1) при различных 1 > О (14 < 1в < 1з) построен на рис. 48. Фундаментальное решение 8'(х,с) дает распределение температуры от точечного мгновенного источника о(х) д11). Посколь- ку С(х,а) > О при всех 1 > О 8 и х 6 П!ь, то, стало быть, тепло распространяется с бесконечной скоростью.
Но зто противоречит опыту. Следовательно,уравнение тсплопроводности недостаточно точно качествензз но описывает механизм передачи тепяа. Тем не менее зто уравнение дает хорошее количественное согласие с опытом х (например, при больших:с и маРис. 48 лых 1 величина с(х,с) чрезвы- чайно мала, и ею можно пренебречь).
Более точное описание процессов переноса (тепла, частиц) дает уравнение переноса. Пусть обобщенная функция 1 б Гз'(41'4') обращается в нуль прис < О. Обобщенная функция И = Я*1,. где 8 . фундаментальное решение оператора теплопроводности, называется тепловым потенциалом с плотноспьью 1. Если тепловой потенциал И существует в Гз'(2"44), то в силу теоремы из 9 3.1, п. 3 он удовлетворяет уравнению теплопроводности еЯ.д. Задача Коша длл уравненил тенлопроводности 193 плотностей 7, для которых тепловой потенциал существует. Пусть М класс функций, обращающихся в нуль при 1 < 0 и ограниченных в каждой полосе 0 < 1 < Т. Творима.
Если 1' б М., то плепловой потенциал И с плотностью 7' существует в классе М и выражается формулой Потенциал л удовлетворяет оценке )1т(х,1)~ < впр ~((~,т)(, 1 > О, (5) 0«<1, Ееа и начальному условию (6) Ъ (х,1):4 О, х Е 1хо, 1 — 1 +О. Если же функция 7' е Са(У > 0) и все ее производные до второго порлдка включительно ограничены в каждой полосе, то лл б Сз(1 > 0) П Г1С (л > 0). Доказатнльство. Так как функции Е и )' локально интегри- руЕМЫ В Ко+1, тО ИХ СВЕртКа Е а ~ = ~ ~ Е(х — 5, 1 — т) д( дт додх- существует и локально интегрируема в ас" ь~, если функция 6(х,.1) = /'/' ~~фт)~Е(х-(,1 т)д~дт дв/и" локально интегрируема в Ки л1 (см.
ц 2.3, п. 2). Проверим, что это условие выполнено. Так как 6 = 0 при 1 < О, то достаточно установить, что 6 удовлетворяет оценке (5) при 1 > О. Это следует из равенства (1): 6(х,1) < впр ~Я,т)~ Е(х — 5,1 — т)д<ат = 0<в<1, сея" двдивпр ((((,т)~, 1 > О. (7) 0«-1, 1ен" Таким образом, тепловой потенциал 1т = Е * 1" представляется формулой (4). Так как ~ Ъ'~ < 6, то этот потенциал обращается в нуль прн 1 < < 0 и в силу (7) удовлетворяет оценке (5). Это значит, что И Е М. Из оценки (5) следует, что 1т удовлетворяет начааьному условию (б).
13 В. С. Ввааил~иров, В. В. Жарипов 194 Гл. 1П. Фундаментальное решение и задача Коищ Совершая в формуле (4) замену переменных интегрирования с = = х — 2ачтву, т = 1 — в, представим се в виде 1 « 1т(х, 1) = — / / 1" (х — 2аьттву,1 — в)е '«~ т1у дв. (4') о и- Пусть функция 1 Е С (1 > 0) и все ее производные до второго порядка включительно содержатся в классе М. Тогда, пользуясь теоремами о непрерывности и дифференцируемости интегралов, зависящих от параметра (см.
9 1.1, п. 5), из формулы (4') и из равенства а1(х,с) 1 '/ ОУ / — (х — 2а~/ьу,й — в)е '"~ дут1«+ 1 Р +, / 1'(х — 2аЛу, +0)е ~«' ду выводим, что функции 1", 11«„1тт, 1ти,з.. 1',т непрерывны при 1 > О, а фУнкпиЯ 1ттт непРеРывна пРи 1 > О. ТеоРема доказана. 2. Поверхностный тепловой потенциал. Тепловой потенциал т'® с плотностью 1' = ио(х) 6(1) называется поверхностным тепловым потенциалом (простого слоя с плотностью ио), 1т~ ~ = Е*(ио(х) 5(1)] = Е(х.,1) ьио(зт). Если ио финитна в 1ь", то поверхностный тепловой потенциал учи~ заведомо существует в Р'(14н ьт ) (см. 92.3, п.
4). Следунтщая теорелта описывает важный класс тепловых потенциалов и его свойства. ТВОРИМА. Если ио(х) -- ограниченная функция в 11", то поверхностный тепловой потенциал 1тай сузцестпвуетп в М, принадлежитп классу Сьь(1 > 0), представляется интегралом Пуассона Ъ" (х,с) = / ио(С) ехр ~ — / дС (8) цо> У(1) Р ( /х — ~/з ) (2аттЯ)" /а- 5. 4а'1 и удовлетпворяет неравенству ~Ъ' ~(х,й)! < впр (ио(С)), й > О. (9) Если к тому же функция ио(х) нетьрерывна в Й", то потенциал 10«~ принадлежит С(й > 0) и удовлстворястп ничильному условию (10) у Я.д. Задача Коша длл ураоненил шенлонроеодноети 195 Доказатильство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
