Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Таким образом, характеристические числа ядра К(х, у) и собственные значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции совпадают. у 4Л. Метод последовательных приближений 203 )Лс = шах [У), У е С([О,а)). 0<а<а Лкмма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром К(х, у) переводит Сг(0, а) в С([0, а]) (следовагпельно, С([0, а]) в С([О,а)) и Сг(О,а) в Сг(О,а)) и ограничен, причем [)Кг'[)с < М га))Я, У й Сг(О,а), [)КЛс < 111а ))У!)с,( Е С([0, а)), [)К()! < Ма)[Я, ( Е С (О,а), (4) (5) (6) где ЛХ = шах )К(х,у)!. 0<а,и<а га ))Ку))с —— шах [(Ку)(х)! = шах / К(х, у)1(у) ду < ( шах / )К(х,у))ге1у / [1(у))гду ( М,/а)[1)).
до /о Аналогично, и даже проще, доказываются неравенства (5) и (6). Лемма доказана. Для того чтобы интегральный оператор К с непрерывным ядром К(х, у) был нулевым в Сг(0, а), необходимо и достаточно, чтобы К(х, у) = О, 0 < т у < а. Достаточность условия очевидна, а необходимость вытекает из леммы Дюбуа-Реймона (см. 2 2.1, п. 5). Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между непрерывными ядрами и соответствукяцими им интегральными операторами. Аналогично доказывается такое утверждение: если (Ку, д) = 0 при всех 1, д Е Сг(0, а), то К = 0 и, стало быть, К(х, у) = О. Докдзлткльство. Пусть 1 Е Сг(0, а). Тогда 1" абсолютно интегрируемаяя фу нкция на (О., а) (см.
2 1. 1, п. 5), и поскольку ядро К(х, у) непрерывно на [О, а] х [О, а), функция Ку непрерывна на [О, а). Поэтому оператор К переводит Сг(0, а) в С([0, а)) и в силу неравенства Коши— Буняковского ограничен: 204 Га. Ер'. ЕЕнтеерааьнме урааненнл ~еФ(х) = Л 1 /С(х,у)уе~р ц(у) ду+ дх) = Лк~рер 0+ Е, р = 1,2,. /а (7) Докажем, что У~Р~ = ~ Лькь1, а=о (8) р = О, 1,..., где Кь степени оператора К (см. 21.1, п.8). Действительно, при р = 0 формула (8) верна: у® = Е. Предполагая эту формулу верной при р и заменяя в рекуррентной последовательности (7) р на р+ 1, получаем формулу (8) при р+ 1; р д~ О = лк ~'>+ Е = лк~ л"к'7+ Е = а=о р ре-1 = Р+ ~ Льт'К'т' Р = ~ Л" К" Е ь=-о ь=о Таким образом, формула (8) верна при всех р. Функции (КРЕ")(х), р = О, 1,..., назывзлотся итерицилзеи функции Е.
По лемме итерации Е непрерывны на ~0, а~ и в силу (5) удовлетворяют неравенствам ~~ 'Л, = !~к( ' 'й, ~~ ' 'Е1~, < <Из)2!~к" оу~~ < ... < РЕо)" ~и~с, Р=0,1,... (9) Из этой оценки следует, что ряд Л (К~Е)(х), х Е [О,а), ь=о (10) называемый рядом Неймана, мажорируется числовым рядом Щс~ '~Л~" <ЛЕ )' = ь=о (11) Будем искать решение уравнения (2) методом последовательных приближений, положив ~р~~~ (х) = Е(х), ,~ЛН. Метод последовательных приближений 205 сходящимся в круге [Л[ < 1/(ЛХа). Поэтому при таких Л ряд (10) сходится регулярно (см. 21.1, п.3) по х Е [О,а[, определяя тем самым непрерывную на [О, а[ функцию <р(х). Это значит в силу (8), что последовательные приближения р1е1(х) при р — + ос равномерно стремятся к функции уо(х); р~е1(х):г ~р(х) = ~~ Л (К Х)(х), х б [О,а[, р — у со, (12) я=-о причем в силу (11) справедлива оценка < [[Лс 1 — [Л[ЛХа (13) Докажем, что функция уо(х) удовлетворяет интегральному уравнению (2).
Действительно, переходя к пределу при р — ~ со в рекуррентном соотношении (7) и пользуясь равномерной сходимостью последоватечьности ~р®(х) к р(х) на [О, а), получаем Сь чь(х) — 1па ьобд(х) — Л К(х,у) 1пп сои (у) ду+ Х(х)— Е-ьсь о са = Л / К(х,у)ьо(у)ду+ 7(х). о [[ьсо[[ < [Л[ЛХа[[ до[[, откуда в силу неравенства [Л[ЛХа < 1 следует [[ьоо[[ = О, т.е.
ро = О,. что и требовалось установить. Резюмируем полученные результаты в следующей теореме. Тгьоенмл. Всякое интегральное уравнение Фредгольма (2) с непрерывным ядром К(х, у) при [Л[ < 1((ЛХа) имеет единственное решение со в классе С([0, а)) для любого свободного члена Х Е С([0, а)).
Эпьо решение представляетпся в виде регулярно сходяшегося на [О, а) ряда Неймана (12) и удовлетворяет оценке (13). Другими слова пи, в круге [Л[ < Ц(ЛХа) сушествует и ограничен обратный операпьор (Х вЂ” ЛК) Докажем единственность решения уравнения (2) в классе Сг(0, а), если [Л[ < 1ДЛХа). Для этого достаточно показать, что однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в этом классе (см. 21.1).
Действительно, если Ро Е Сг(О,а) Решение УРавнения (3), до = ЛКро, то по лемме 206 Гл. 1е'. Интегральные уравнения Отметим, что методом последовательных приближений можно пользоваться для приближенного решения интегрального уравнения (2) лишь при достаточно малых ~Л~. 2. Повторные ядра. Резольвента.
Предварительно убедимся в справедливости равенства (К1,д) = (Э",.К"'д), 1,д б Ег(О,а). (14) Действительно, если 2", д е Ез(0, а), то по лемме из п. 1 К(, К'д б б ьг(0, а), и поэтому п с а (я~о=/ (хои*=1у и злыа~иея= .в о а а л в о о Лнммл. Если К„1 = 1,2, — интегральные операторы с непрерывными ядрами К,(х,. у), то оператор Лг = ЛгЛь интегральный с непрерывным ядром Кз(,у) = / К.,(х,у')К.,(у',у)ду'.
эв (15) При этом справедлива формула (КгК~) = К~ Кг. (16) доказятгльство. при всех ) б ез(0, а) имеем са Сл (Кзэ)(х) (КзК1У)(х) в г(х:у ) 1б| (у ~ у)э (у) ау ау о в сае сь = / ~~ 1бг(х, у')1б,(у'., у) ду' ((у) ду, Х 1Сд) = (Кз 1, д) = (ЛэК (, д) = (К 1: К. "д) = И, К,*К,*д), т. е. откуда и вытекает формула (15). Очевидно, ядро Кз(х, у) непрерывно при О <х,у(а. Принимая во внимание равенство (14), при всех ~, д Е Ег(0, а) получаем ,~$Л. Метод последовотельнь«х приближений 207 (Х,к,.*у — К,*К.;у) = О, рл ра Кр(х,у) = / К(хн«у')Кр «(д',у)ду' = / Кр «(х,у')К(у'.,у)ду'.
о о (17) Ядра Кр(х, у) называются повторными ядрами ядра К(х, у). Из рекуррентных соотношений (17) вытекает, что повторные ядра удовлетворяют неравенству [Кр(х,у)[ < ЛРап, р = 1,2,... (18) Из оценки (18) следует, что ряд Л" Кь+«(х, д), 0 < х, у < а, ь=о (19) мажорируется числовым рядом [Л[ ЛХ"~ а, я=о сходящимся в круге [Л[ < 1«(ЛХа). Повтор«у ряд (19) сходится регулярно при х, у Е [О, а), [Л[ < 1««(ЛХа) — е при любом е > О.
Следовательно, его сумма непрерывна при 0 < х,у < а, [Л[ < 1««(ЛХа) и аналитична по Л в круге [Л[ < 1«(«рХа). Обозначим сумму ряда (19) через «с(х, у: Л): Я.(х,у; Л) = ~ ЛЯКр,.ь«(х,у). я=о Функция «с(х,у; Л) называется резольвентой ядра К(х, у). Ткорр«ч«а. Ре«пение р интегрального уравнения (2) с непрерывным ядром К(х, д) единственно в классе С([0, а)) при [Л[ < 1««(ЛХа) и для любого Х Е С([О,а)) представляется через резольвенту «с(х.,д; Л) ядра К(х,у) по формуле «' л «р(х) = Х (х) + Л / «с(х, у; Л) Х(у) ду, о (20) и, следовательно, К* = К*К", что и эквивалентно равенству (16). Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что операторы КР = К(КР «) = = (К' «)К, р = 2, 3,..., интегральные и их ядра Кр(х, у) непрерывны и удовлетворяют рекуррентным соотношениям К«(х, у) = К(х, у), 208 Гл. 11'. Интегральные уравнения Другими словами, справедливо операторное равенство (Х вЂ” ЛК) ' = 1+ЛЛ, ~Л~ < 1 (21) ,(*) = (''Рг ге.„ь,»1х(~)ер+х(*) = оо ь — о са =Л~ т,,у(Л)Х(д)ду+Х( ). о Теорема доказана.
Докажем, что повторные ядра (К*)р(х,у) и резольвента )с,(х, у; Л) эрмитово сопряженного ядра К* (х, у) выражаются через повторные ядра Кр(х, у) и резольвенту исходного ядра (с(х, у; Л) по форму- лам (К')р(х, д) = КР(х, у), р = 1,2,..., 1 К„(х, д; Л) = )с(у, х; Л), (Л( < ЛХа (22) (23) Равенство (22) следует из формулы (16), согласно которой (К*)„= (К„)', р = 1,2,... Так как )К'(х,у)( = (К(у,х)( < ЛХ, то по доказанному ряд (19) для резольвенты )с„(х, у: Л) ядра К*(х,д) сходится при 0 < х,у < < а, (Л) < 1(((ЛХа). Отсюда, пользуясь равенством (22), получаем формулу (23): (с,(х,у(Л) = ~Л" (К')ьт) (х у) = ~Л"К„*,(х у) = а=о я=о Л К~„..ьь(у,х) = ~Л Кое)(у,х) = Е(д,х; Л).
а=о ь=о где Л интегральный операгаор с ядром )с(х,у(Л). ДОКАЗАТКЛЬОТВО. По теореме из п. 1 решение,р уравнения (2) единственно в классе С((0, а)) при !Л! < 1((ЛХа) и для любой Х Е С((0, а)) представляется в виде равномерно сходящегося ряда Неймана (12). Подставляя в этот ряд выражения итераций К~Х через повторные ядра Кь(х,.у) и пользуясь равномерной сходимостью ряда (19) для резольвенты (с(х, у; Л), полу. чаем формулу (20): ,~4.1. Метод последовательных приближений, 209 Из (23) получаем Я (и, у; Л) = к.(у, и; Л) = Я (х, у; Л), [Л[ < 1 ЛХа' и, следовательно,в силу (21) справедлива формула (Х вЂ” ЛК') ' = Х+ Лл*, [Л[ < (21') ЛХа 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
