Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Интегральные уравнения Вольтерра. Пусть ядро К(х, у) обращаетсл в нуль в треугольнике 0 < х < у < а (рис. 49). Такое ядро называется ядром Вольтерра. Интегральные уравнения (1) и (2) с ядром Вольтерра принимают вид К(х у) р(у) ду = .Х(х) Г о (24) (х) = Л К(х,у)у (у) ду -1- Х(х до и назывзлотся интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго рода соответственно. Интегральные уравнения Вольтерра первого рода дифференцированием сводятся к уравнениям второго рода К(х, х)оо(х) + ~ ' фу) ду = Х'(х), Х* дК(х, у) о К 0 если К(х,у) и Ки(х,у) непрерывны при 0 < < у < х < а., К(х, х) ф О, т Е [О, а], Х Е С' ([О, а]) и Х(0) = О. х>у Интегральные у.равнения Вольтерра первого рода здесь рассматриваться не 0 и х буду т. Рис. 4О Предположим, что в интегральном уравнении (24) Х Е С([0, а]) и ядро К(х, у) непрерывно в замкнутом треугольнике 0 < у < х < а (см.
рис. 49). В таком случае [К(х, у)[ < ЛХ и интегральный оператор (КХ)( ) — Ю,К( ~,у)Х у) хо переводит С([0, а]) в С([0, а]). 14 В. О. Владимиров, В. В НСаривов 210 1 л. 1'е'. 11нтееральнне уравнения Как и для уравнения Фредгольма [см. п.
1), определим последовательные приближения уГ "~ по формулам р1'~ = ~ ~Л"КЯ~ = ЛКуе~н П+~, р= 1,2,... [25) ь=о Итерация К"у принадлежит С[[0, а]) и удовлетворяет оценке ][К"1)[х)] < ]]у]]с, х 6 [О,а], р = 0,1,... [26) [Их)г Докажем оценку [26) по индукции по р. Для р = 0 оценка [26) верна. Предполагая ее верной при р — 1, докажем ее для р: ](К'1)[*)] =]К[К"-'У)[*)] = ~ К[,у)[К"-'1)[у) 1у < уо <м]Лсйу' '/ ' 1), 1у=]]П, Из оценки [26) вытекает, что ряд Неймана [10) мажорируется на [О, а] сходящимся числом рядом ]]П Е]Л]" = И е'""'". ь=о [27) и потому сходится регулярно по х на [О, а] при любом Л, определяя непрерывную функцию ее[х).
Таким образом, в силу. [25) последова- тельные приближения р~"1 при р -+ со равномерно стремятся к функ- ции ук уе1"~[х):л уе[х) = ~Л~[К"Я[х), х е [О,а], р — в оо. [28) о=о При этом в силу [27) справедлива опенка М]с < ]]Лс е'"~м". [29) Переходя к пределу при р — в со в рекуррентном соотношении [25) и пользуясь равномерной сходимостью последовательности р~"~ к р на [О, а], заключаем, что построенная функция уе[х) удовлетворяет интегральному уравнению [24).
я4М. Метод последовательных приближений 211 Докажем единственность решения уравнения (24) в классе С([0, а]) при любом Л. Для этого достаточно показать, что соответствующее однородное уравнение имеет в этом классе только нулевое решение (см. 21.1, .п.9). Действительно, если ро решение однородного уравнения (24) оьо = ЛКро, то ро = ЛК(Л~ро) = ЛгКг'Ро =" =ЛРК"ро у= 1,2," Применяя к этим равенствам оценку (26); [ро(х)] = []ЛРКпро][ < ]Л[Р []ро][с,, р = 1,2, "., (ЛХх)" р) и устремляя р к со, получаем ро(х) = О, х Е [О, а], что и утверждалось. Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы. ТЕОРЕМА. Всякое интегральное уравнение Вольтсрра (24) с непрерывным ядром К(х, у) при любом Л имвеьп единственное решение р в классе С([0, а]) для любого свободного плана 1" й С([0, а]).
Это решенно представляется регулярно сходящимся рядом Неймана (28) и удовлетворяет оценке (29). СЛЕдстВИЕ. Непрерывное ядро Вольтерра не имеет характеристических чисел. 4. окпражиения. а) Доказать., что резольвонта 1С(х, у; Л) непрерывного ядра К(х,у) удовлетворяет интегральному уравнению Фредгольма при ]Л[Ма < 1: сл Е(х, .у; Л) = Л / К(х, у')И,у', у; Л) ду' + К(х, у).
о б) Пусть ядро К(х, у) интегрального уравнения Фредгольма (2) принадлежит Сг((0, а) х (О, а)). Пользуясь оценкой ][К1[[ < С[[1][ (см. 21.1, п.8), доказать сходимость в Сг(О,а) метода последовательных приближений для любой д' е Со(0, а)., если ]Л[С < 1.
в) Доказать, что резольвента ядра Вольтерра аналитична во всей плоскости комплексного переменного Л (целая функция). г) Пусть К ЕС(х > 0), К(х) = О, х < О. Доказать, что обобщенная функция к(в=лвьпьк п=т к+к+... к Га. 1у. Интазральньса уравнения 212 есть фундаментальное решение оператора (6 — К)а в алгебре Р' (см. '2 2.3, пп.4,5).
Лри этом ряд для сс(ас) сходится равномерно в каждом конечном проьсежутке и удовлетворяет интегральному уравненикс Вольтерра сс(х) = / К(х — у)сс(у)Ну+К(х), х, ) О. уо Функция сс(х — д) является резольвентой ядра К(х — д) при Л = 1. д) Доказать, что при (Л( < 1 интегральное уравнение Милна 1 г~е с р(х) = Л / К(х — у)ус(у) ду, К(с) = — / — с11, о 2 ~~е имеет единственное решение ср = О в кяассе ограниченных функций на (О, оо). е) Доказать, что при Л < 1Сс2 решение интегрального уравнения сса(х) — Л / с. ' 'сР(д) с1У + 1(х) единственно в классе ограниченных функций и выражается формулой Л вЂ” сст — 2лм — а ср(х) =)(х)+ / е " '1(у)с1у.
ъс1 — 2Л 1- ~ 4.2. Теоремы сРредгольма В этом параграфе для интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным ядром К(х, у) и союзного к нему. уравнения будут доказаны теоремы разрешимости Фредгольма. 1. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Ядро (2) я" 4.г. Теоремьь Фредгольма 213 где ~од, е С([0, а)), называется вырожденным ядром, Можно считать, что системы функций 11о 1 <1 < Де) и 1до 1 < < 1 < Де) линейно независимы. Действительно, если это не так, например, 1к[х) = с~ У~ [х) + ...
+ сое — ~Усе — ~ (х), то ядро [2) принимает вид К[х, у) = ~ Те[х)д,[у) + ~ ~с,~,.[х)дн[у) = т Ях)д'[у). е=1 [х) = Л ~ 1 [х) / дЫ р[у) ду+ йх) ш! о [3) и союзное к нему уравнение Х еь у1[х) — Л ~д~ д,[х) 1,[у)ел[у) йу+ д[х). о (3') Решенил ое и уО интегральных уравнений [3) и [3') будем искать в классе С[[0, а]). Покажем, что эти уравнения сводятся к системам линейных алгебраических уравнений и поэтому.
могут быть исследованы и решены известнылеи методами линейной алгебры (см. [4)) Перепишем уравнение [3) в виде ~р(х) = Л ~ ~с,~;[х) + 1(х), (4) где с; = / Ое(у)д,[у) е1у = [у,д;) до [5) Действуя подобным образом, через конечное число шагов добьемся того, что в представлении [2) системы функций 1Я и 1д;) окажутся линейно независимыми. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром [2) 214 Га. 1К Интеерааьнесе уравнения Еа е' се = Л ~ с; / де(х)1,(х)с1х + / де(х)се(х)с1х. (6) о о Полагая пь = / дя(х)1(х)с1 = (де,)с), хо (7) С а схь, = / д,(х)~,(х)с1х= (д, 7,), о перепишем систему (6): Х св = Л~ оьссс+ам Й= 1,...,Х (8) Вводя матрицу А и векторы с и а: А = (овс), с = (см..., сос), а = (пм.,., ао ), представим систему (8) в матричной форлсе; с = ЛАс+ а. (9) Докажем, что интегральное уравнение (3) и алгебраическое уравнение (9) эквие лентны.
Действительно, если ее е С([О, а)) --- решение уравнения (3), то, как мы только что показали, числа с, = (Ое, д,), удовлетворяют системе (8). Обратно, если числа сп 1 = 1,..., сУ, удовлетворяют системе (8), то функция ее(се), построенная по форлсуле (4), непрерывна на [О, и) и в силу (7) удовлетворяет уравнению (3): Х а М Ое(х) — ЛУ У (х) Г дс(У)Р(У) — У(х) = Л ЕссХс(х) +)( )— с=1 о с=с н а с — х К с 5 ) 1 .а (и) [» К асею) ~ с(е)[ Ф вЂ” с(е = с=1 а=с н и Е(ас — Е чч.е.
—.с) = О. с=с я=с - . неизвестные числа. Умножая равенство (4) на де(х), интегрируя по отрезку [О, п) и пользуясь (5), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных чисел ср 44.2. Теоремьл Фредеольма 215 Обозначим через Р(Л) определитель системы (9); Р(Л) = с(ел(1 — ЛА), (10) и через ЛХл,(Л) алгебраические дополнения матрицы 1 — Л21. Ясно, что Р(Л) и ЛХл,(Л) полиномы по Л, причем Р(Л) ~ О, иоо Р(0) = = с(еу(1) = 1.
Пусть (комплексное) число Л таково, что Р(Л) у'. -О. По теореме Крамера решение алгебраической системы (9) единственно и выражается формулой и сл = ~ ~ЛХлн(Л)а„й = 1,...,Д'. ( Л ) (11) Подставляя найденное решение (11) в формулу (4) и вспоминая определение чисел ао получим решение интегрального уравнения (3) при Р(Л) ~ 0 в виде 'р(х) = ~ Мм(Л)Хл(х) / дл(у)Х(у) сну -е,Х(х). (12) ,л:=л о С другой стороны, по теореме из 2 4.1, п. 2 при достаточно малых Л (тогда Р(Л) ~ 0) это решение выражается через резольвенту ее(х, у; Л) по формуле (20) из 34.1. Следовательно, и Я(х, у; Л) = — ~ ЛХ,л. (Л) Хл( ) уь(у).
(13) Ф(х) =Л ',л.дВ,(х)+у(х) (4') Таким образом, резольвента ле(х, у; Л) вырожденного ядра есть рациональная функция Л и, стало быть, допу.екает мероморфное продолжение на всю плоскость комплексного перелсенного Л. 2. Теорема сЬредгольма для интегральных уравнений с вырожденным ядром. В предыдущем пункте мы построили в явном виде решение интегрального уравненил с выраженным ядром. Здесь мы продолжим исс ледование таких уравнений и установим условия их разрешимости. Как и уравнение (3), приведем союзное к нему уравнение (3') к эквивалентной системе линейных алгебраических уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
