Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(12) 1 1 Р опт.— з„ ип Гн Доклзятнльство. Применяя формулу Грина (5) для х = 0 к произвольному шару Рр, р < 77, и пользуясь формулой (11), при лл ) 3 получим равенство (12): 1 ~ 1 1 ди1,у) 1 д 1 1 , / и(у)дЯ. ар" з, Так как функция и(х) непрерывна на замкнутом шаре Гп, то ра- венство (12) сохраняется и при р — ~ Б.. Случай п = 2 рассматривается аналогично. Теорема доказана. в силу определения правильной нормальной производной и непрерывности функции 1 на С.
Из предельного соотношения (10) и вытекает равенство (9). Лемма доказана. Из этой леммы следует, что для поверхностей Я класса Сг и для функций, имеющих правильную нормальную производную на Я, остаются справедливыми следующие формулы Грина; 1) формула (5) из 25.1, если и б С (С), Еи е Сг(С), — и сущест' дп вуст и и Е С (С) П С(С); 2) формула (6) из 6 5.1, если и, и е Са(С), ди и до существуют; дп дп 3) формула (1), если и Е Се(С) и —" существует. дп Действительно, применим перечисленные формулы Грина к любой подобласти, ограниченной поверхностью Бвз параллельной Я. Переходя в этих формулах к пределу при б — л 0 и пользуясь предельным соотношением (9), убедимся в справедливости формул Грина при сформулированных предположениях.
3. Теорема о среднем арифметическом. Предварительно заметим, что из первой формулы Грина (7) из 25.1 при о = 1 вытекает следутощее утверждение: если гармоническая в области С функция и е Сл(С) (или если ди существует на Я и Я е Сг), то дп Хб.й. Гармоническив 4ункции 267 4. Принцип максимума. Пользуясь теоремой о среднем арифметическом, установим следующий принцип максимума для гармонических функций. Тиогимл.
Если функция и(х) ~ у'. -сопз1 гар.ионическая в ограниченной области С и непрерывна на С, то она не может принимать свои минимальное и максимальное значения внутри области С, пь е. ш1пи(С) < и(х) < шахи(ц), ьеа сев (13) Рис. ьа Доклзлтгльство. Пусть, напротив, функция и(х) принимает свое максимальное значение ЛХ в некоторой точке хо Е С; (14) ЛХ = и(хо) = шахи(х). тес Так как хо внутренняя точка области С, то существует шар 17(хо.,го) наибольшего радиуса го, содержащийся в С (рис.55). Докажем, что (15) и(х) = ЛХ, х Е ХХ(хо;го). Из (14) следует и(х) < ЛХ = и(хо), х Е Ю(хо,'го).
(16) Если бы в некоторой точке х' Е П(хоь го) было и(х') < ЛХ, то по непрерывности неравенство и(х) < ЛХ имело бы место и в некоторой окрестности ХХ, точки х'. Но тогда, применяя к сфере Ер, где р = = ~х' — хо ~, формулу среднего арифметического (12) и пользуясь неравенством (16) и неравенством и(х) < ЛХ, х Е Ил, получаем 1 Х ЛХ и(хо) = „, / и(х)сБ< „, / аЯ=М, а Р" в(ьь;И а Р~ Я(ьь,г) что противоречит (14). Итак, тождество (15) установлено. Возьмем теперь произвольнуи> точку х1 Е С, лежащук> на границе шара 17(хо, со) (см. рис.
55). По доказанному и(х1) = ЛХ. Применяя предыдущие рассуждения к точке хы заключаем, что и(х) = ЛХ в наиболыпем шаРе (7(хНгь) С С, и т. д. В силУ леммы Гейне — БоРелЯ за 268 Гл. 1'. Краеввге задачи длл уравнений эллнптпчеснвеа типа. не более чем счетное число шагов таким путем исчерпывается вся область С, и, значит,и(х) = ЛХ,х Е С, вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что первоначальное предпологкение неверно; поэтому. функция и(х) не может принимать свое максимальное значение в области С.
Отсюда., заменяя и на — и, .заключаем, что функция и(х) не может принимать свое минимальное значение в области С. Теорема доказана. Из доказанной теоремы вытекает,что гармоническал функция не может иметь внутри области ни локальных максимумов, ни локальных минимумов. 5. Следствия из принципа максимума. а) Если функпия и(х) Е С(С) гармоническая в С, то (17) ~и(х)~ < шах ~и®~, х е С.
Еев В частности, если и~ = О, то и1х) = О, х Е С. Это утверждение следует из неравенства (13); +и(х) < шаххиЯ < игах~и®~, х е С. еев еел Будем говорить, что (обобщенная) функция и(х) непрерывна на бесконечношпи и принимает там значение и, и(оо) = а, если она непрерывна вне некоторого шара и и(х) — г — ~ а при ~х~ -+ со.
б) Если функция и Е С(Сг) гармоническал в области Сг = К" У, С и и(оо) = О, то ~и(х)~ < шах~и®~, х е Сг. (18) сея В частности, если и~л — — О и и(со) = О, то и(х) =О,. х ЕС. Рвс. 56 Действительно, пусть шар Пн содер- жит С. Тогда Я 0 Ян есть граница области Яя = Сг О 17в (рис. 56). Применяя к этой области неравенство (17), получаем (и(зг)) < шах )злф( < шах)и(Я)(+ шах(и(~)), х Е Сдн.
Еевсгвп сев Еелп Так как и(оо) = О, то игах ~и1й) ~ — г О, Л вЂ” > оо. Еелп г бмв Гармонические функчии 269 Поэтому, переходя в полученном неравенстве к пределу при 77 — ь со, получим неравенство (18). в) Если последовательность функций иы иа,..., гармонических в области С и непрерывных на С, равномерно сходится на границе Я, то она равномерно сходится и на С. Это утверждение вытекает из неравенства (17): ~[и„(х) — а„(х)[ < п1ах [и„,Я вЂ” и„Я[ -ь О, х Е С, р, у -ь оо. (19) еен Аналогичное утверждение справедливо и для области С1 при условии, что иь(со) -у О.
6. Стирание особенностей гармонической функции. Для гармонических функций справедлива следующая теорема о стирании особенностей, аналогичнал соответствующей теореме для аналитических функций (см. [3)). Пусть область С содержит точку О. ТеОРемА. Если функиил и(х) гармоническая в области С 1 (0) и удовлетворяет условию и(х) = о([дь(х)[), х — ь О, (20) где Š— фундаментальное решение оператора Папласа, то она гармонически продолхсаетсл в точку х = О.
Доказательство. пусть пн с с. Введем функцию й(х), равну.ю и(х) в Гн и нулю вне Гн. Эта функция локально интегрируема, и в силу (3) из п. 1 функционал ди д Ьй — — бее — — (ибе ) дп " дп (21) ди д Ьй = — бя„+ — (ибьн) + ~ с д~б. дп '" дп (ь(=е (22) Так как функция й финитна, то ее свертка с фундаментальным реше- нием Е„существует (см.
2 2.3, п. 6). Поэтому, применяя формулу (13) из 2 3.1, из (22) получаем представление обращается в нуль на всех основных функциях, равных нулю в окрестности точки х = О. Это значит, что обобщенная функция (21) либо равна нулю, либо ес носитель есть точка х = О. Тогда по теореме из 2 2.4,п.4, эта обобщенная функция представляется в виде конечной комбинации производных от б(х), т, е. 270 Гл.
1'. Краевв)в задачи длл уравнений эллиптического типа. 1.(о)) ) 1~)Ц~ ) + Так как поверхностные потенциалы 1'„' и 1э~ гармонические )в) функции в шаре 17н (см. п. 1), то из (23) и из условия (20) вытекает, что все с„равны нулю, так что функция и(х) = 1;~ )(х) — Ъ'„)')),х) гармоническая в шаре Пн. Теорема доказана. 7. Обобщенно-гармонические функции. Вещественнозначная непрерывная функция и(х) называется обобщенно-гармонической в области С, если она удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа, т. е. (Ьи,)р) = / и(х)Ь<р1х))1х = О, ))з Е Ю(С).
(24) Очевидно, всякая гармоническая функция является обобщенно-гармонической. Справедлива и обратная Теорема. Любая обобщенно-гармоническал )уункиил и(х) в области С бесконечно дну)фервниируема и, следовательно, гармонична в этой области. Доказательство. Ввиду локального характера теоремы можно считать, что и Е С(С). Продолжим функцию и нулем вне С, и пусть й продолженная функция. Применяя формулу (13) из 23.1, получим представление (25) й = Ьйаб„, где ба фундаментальное решение оператора Лапласа. Так как Ьй = Ьи = О, х 6 С, и Ьй = )".)О = О, х Е Сы то вр1 Ьй С Я.
Поэтому по теореме из е 2.3, п.б для свертки Ьй * ба имеет место представление (~ьй*дю))з) = (Ьй1У) б„®, )7)У))Р(У +д)) = =(а )у),з)з)1' в.)вмь+в)вв) = = (ав)у),з)у) /Ва(* — у)в)*)в.), у з)а"), )26) )в да )) д й = да * Ьй = бп * ~ — бв„) + бп в — (ибва) + т ~ с (си*даб) = )а)=0 ~ с„д б,йх). (23) )а)=0 у 5.3. Гармонические 4унниии 271 где 77 "- произвольная функция из л(йн), равная 1 в окрестности Я. Пусть С' с С.
Выберем в (26) вспомогате.льную функцию у такую, что ару 0ОС' = О (рис. 57). Поскольку Рп1 фундаментальное решение Е„(х — у) .- бесконечно дифференцируемая функция при х ф у, то при выбранной у и всех ~р с ~(С ) «7(у)ан(х у)л7(*) Применяя теперь к правой части ра- венств (26) формулы (10) из 2 2.3, по- лучаем Рис. а7 (~1й * "„, ~с) = / ФхНс1й(у),.
у(урн(х — у)) с1х., р ~ 'П(С'), откуда в силу (25) следует равенство и(х) = (Ьй(у),77(у)~„(х — у)), х с С'. ил(х) р(х) Их — > / и(х)р(х) йх, й' -+ сю, р б '0(С), (27) то и гармоническая функция в С. Действительно, каждая функция последовательности (ил.) удовлетворяет интегральному соотношению (24). Но тогда в силу (27) и предельная функция и(х) из П(С) также будет удовлетворять равенству (24), т. е, является обобщенно-гармонической и, следовательно, гармонической функпией в области С.
В силу этого представления функция и принадлежит С (С'). Отсюда ввиду произвольности области С' С С вытекает, что и б С' '(С). Поэтому функция и(х) удовлетворяет уравнению Лапласа в области С в классическом смысле (см. 21.4, п. 10), т. е, является гармонической в С. Теорема доказана. 8. Дальнейшие свойства гармонических функций. Установим два следствия, вытекающих из установленной в п.7 эквивалентности понятий обычной гармоничности и обобщенной гармоничности. а) Если последовательность иы иэ,, .. гармонических в области С функций слабо (в частности, равномерно на каждом компакте 76 С С или монотонно) сходится к функции и б С(С), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
