Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Аналогичные краевые задачи ставятся и для уравнения Пу.— ассона причем требуется, чтобы и Е Сз(С) П С(С) для внутренних задач и и Е С (С1) П С(С1), и(со) = О, .для внешних задач. Подстановка = е+ р; 1(х) = — / ду, 1 Г У(у) (2) =И,:~*- ~ сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона к соответствующим внутренним краевым задачам для уравнения Лапласа, если 2" е С'(С) П С(С).
Действительно, в этом случае объемный потенциал 1' принадлежит С'-'(С) П С'(С) и удовлетворяет уравнению Пуассона (1) (см. 9 5.5, и. 1). А тогда в силу (2) функция и должна удовлетворять уравнению Лапласа и соответствующему краевому условию. з 5.6. Краевые задачи в пространстве 295 Для внешних краевых задач поступаем аналогично (если объемный потенпиал с плотностью 1 существует и обращается в нуль на бесконечности). Отметим, что преобразование Кельвина (сы.
3 5.3, п. 10) позволяет сводить внешние краевые задачи для уравнения Лапласа к внутренним,и наоборот. Наконец, обратим внимание на то, что для задач Неймана (внутренних и внешних) необходилю предположить, что о' е С; далее, существование у решения правильной нормальной производной на Я влечет ее непрерывность на С или Сз соответственно (см. 3 5.3, п. 2). 2.
Теоремы единственности решения краевых задач. Докажем теоремы единственности решения поставленных краевых задач. ТЕОРЕМА 1. Решение уравнения Пуассона во всем пространстве единственно в классе обобщенных функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Доклзлтгльстно. Достаточно установить, что уравнение Лапласа имеет только нулевое решение в классе обобщенных функций, обращающихся в нуль при ~х~ — у О. Но зто так в силу аналога теоремы Лиувилля (см. 9 5.3, п. 9).
ТЕОгьмл 2. Реишние внутренней или внешней задачи Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничного значения ио или ио соответственно в следующем смысле; если ~ио — ио ! ( е на Я, то соответствующие решения и и й удовлетворяют оценке ~и(х) — й(х)~ < г, х с С (х е С~). (3) ДОКЛЗЛтЕЛЬСтно. Применяя неравенства (17) и (18) из 95.3, п. 5 к гармонической функции и — й: хйС (хйС1), ~и(х) — й(х)~ < знахари (С) — й~®(, вез получим утверждение теоремы. Будем говорить, что поверхность Ляпунова Я достаточно гладкая, если для нее справедлива формула Грина (7) из 95.1 для функций и е Сз (С) ПС (С), имеющих правильную нормальную производную на Я и ьвяи й Сг(С), и для функций о й С (С) О С(С).
В силу сказанного в 9 5.3, ц. 2 и 9 5.5, п. 4 ограниченные замкнутые поверхности класса С - достаточно гладкие поверхности. ТЕОЕЕМА 3. Если Н достапзочно гладкая поверхность, зпо решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до 296 Гл. 1с. Краевьсе задачи для уравнений зллиптичееноео типа. произвольной аддитивной, постоянной, Необходссмьсм условием раз- решимоспьи этой зидачи являегпся равенсспво и, 1х) дд + / 7 1х) дх = О. / в уа (4) Доклзлткльктво, Если и и й — . два решения внутренней задачи Неймана, то их разность з1 = и — й е С(С) -- гармоническая функция в С и имеет нулевую правильную нормальную производную на Е. Применяя формулу Грина (7) из 9 5.1 при и = о = с1, получим ~ 8гас! з1~ дх = / с1 — асо' = О, /- э дзс С ,/ь дп откуда следует, что 8гай и = О, х Е С, так что О = и — й, = сопва Необходимость условия (4) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из формулы (8) из 95.1 при ив : 1, согласно ко- торой и, ЙЯ = / — с1Е = 9/ Ьи с1х = — э/ 1 с1х, 1 ди ./в дп ~О(х)~ < —, ~8гад1(х)~ < э, ~х~ — у оо.
(5) И' 1 Р' Применяя формулу Грина (7) из 9 5.3 при и = и = О к области Сн (см. рис.56),получим )8гас1з1) с1х = / з1 — сБ+ / с1 — дд = / Π— ЙБ. (6) Г дп Г дз1 Г дс1 оа дп ~а дп ~я дп если и решение этой задачи. Теорема доказана.
Физический смысл условия (4) состоит в том, что стационарный поток тепла 1несжимаемой жидкости, напряженности электрического и магнитного полей) через замкнутую поверхность Я равен суммарной величине всех источников (зарядов), находящихся внутри Е (закон сохранения). Тгоркмл 4. Если Я --. достаточно гладкая поверхность, то решение внешней задачи Неймана единственно.
Доклзлтгльство, Пусть и и й --. два решения внешней задачи Неимана. Тогда их разность ц Е С(Сг) гармоническая функция в Сы имеет нулевую правильную нормальную производную на Е и О(со) = О. По теореме из 9 5.3., п. 10 функция с1 удовлетворяет нера- венствам В з.б. Краевые задачи в пространстве 297 Из оценок (5) вытекает, что при Л вЂ” ~ оо ду еюе Г ссз у — 6$ < / ~4 ~ягаду~сБ ( — ( йЯ = 4я —. ,. д - /,„ Лз,/я„Л Устремляя Л к со,получаем )3т'ас1у( пл = О, с, откУда следУ от квасам О = О, т.
е. т~(Я) = сопв1, т Е Сг Так как Ц(ос) = О, то О = и — й = О, л Е Сь ТеоРема доказана. 3. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям. Запишем формулу Грина (5) из 9 5.3 при и = 3; и(т) = — / ~ — и(у) дЯю т Е С. (7) ~т — у~ дпр дпр ~т — у~ Формула (7) справедлива для функций и Е С(С), гармонических в С и имеющих правильнук> нормальну.ю производнукз на Я, если Я достаточно гладкая поверхность (см.
п. 2). Из теорем единственности для задач Дирихле и Неймана (см. п. 2) следует, что, вообще говоря, .не существует гармонической функции и с произвольно заданными значениями а и — на Я. Поэтому ди дп формулу Грина (7) нельзя непосредственно использовать для решения поставленных краевых задач, подобно тому как мы это делали для решения задачи Коши (см.
93.4, п.3 и 94.2, п.4). В этом состоит существенное различие между краевой задачей для эллиптических уравнений и задачей Коши. Пользуясь теорией ньютонова потенциала, сведем задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа к интегральным уравнениям Фредгольма с полярным ядром Я 4.2 и 94.4, п.б). Затем, используя теорию интегральных уравнений, докажем разрешимость этих краевых задач. Пусть Я достаточно гладкая поверхность. Ищем решение задач Дирихле (внутренней и внешней) в виде потенциала двойного слоя И~Ц(и) = / р(у) *", сБю ,Уь 1л — уР где и неизвестная непрерывная плотность на Я.
Функция )ЦП гармоническая в С и См принадлежит классам С(С), С(Сз) и С(Л) 298 Гл. 1г. Краеввге задачи длл уравнений зллипгпичеепаеа типа. и 1гОг(оо) = 0 (см. 85.5, пп.2,5,б). Поэтому, чтобы потенциал 1ДП давал решение внутренней или внешней задачи Дирихле, необходимо и достаточно, чтобы соответственно были выполнены равенства 1т ~(х): иот(х) т Е (8) т2нр(х) + гз(9) ' лбу = иао(х), х б Я. (9) „р и — о Равенства (9) представллют собой интегральные уравнения Фредгольма относительно неизвестной плотности ш Вводя вещественный параметр Л и ядро 2х~х — 1г~а ' (10) перепишем интегральные уравнения (9) в единой форме: Р(х) = Л К(х,У)п(9) ЙЯи+ Г"(х), х Е Я. (11) lн Здесь для внутренней задачи Дирихле Л = 1 и Г" = — и Д2я), а для внешней задачи Дирихле Л = — 1 и у = па гг(2я).
Аналогично, решение задач Неймана (внутренней и внешней) ищем в виде потенциала простого слоя где р неизвестная непрерывная плотность на Я. Функция 1ггаг гармоническал в С и Сг, непрерывная в йз, имеет правильные нормальО~.га~ т ные производные г 1 ) изнутри и извне на Я и ибаг(оо) = 0 (см. дп )~ 8 5.5, пп.2, 7). Поэтому чтобы потенциал г'® давал решение внутренней или внешней задачи Неймана, необходимо, чтобы соответственно были выполнены равенства с п1,.гаг, ) (х) = иг+(х), х Е Я. дп ) (12) где 1г -- предельные значения потенциала Ъ Ог на Я изнутри и (г1 извне соответственно. По теореме о разрыве потенциала двойного слоя (см.
8 5.5, п. б) равенства (8) принимают вид В 5.6. Краевые задачи в нрветранетве х2р(х) + р(у) " е1Яи = и~(х), х Е Я, (13) ! -уР относительно неизвестной плотности р. Из Равенства 15„и = Рие, х, У Е Я (см. (19) из 3 5.5) и из (10) следует, что ядро интегральных уравнений (13) равно К(у, х) = К'(х, у), так что уравнения (9) и (13) союзные друг другу. Вводя параметр Л, перепишем интогральные уравнения (13) в единой форме: д(х) = Л / К*1х,у)д(у) Й$р + д1х), х Е Я. (11') Здесь для внутренней задачи Неймана Л = — 1 и д = и, ~(2т), а для внешней задачи Неймана Л = 1 и д = — и ' !(2я).
Для поверхности Ляпунова Я функция сову и непрерывна на Я х Я и согласно оценке (20) из 3 5.5 удовлетворяет опенке !соячз,в! < Се)х — у(, о > О. Поэтому в силу (10) ядро К(х,у) непрерывно при х,у Е Я, х ф. у, и удовлетворяет оценке )К(х,у)( (~ и, следовательно, является полярным ядром (см.
34.4, п.б). Таким образом, для интегрального уравнения (11) и союзного к нему уравнения (11') применимы все положения теории Фредгольма (см. ~ 4.2 и ~ 4.4, п. 6). 4. Исследование интегральных уравнений. Докажем сначала, что Л = 1 не есть характеристическое число ядра К'(х,у). Пусть, напротив, Л = 1 характеристическое число этого ядра и р* - соответствующая собственная функция, 1 Р, сов 15ев у*ах) = / К*(х, у)р''1у) 15, = — / д'1у) ' ' ' '",, д~,, 2я /я ~х — у~з (14) Собственная функция д' принадлежит С1о) (сьь я 4.4, п.б). Построим потенциал простого слоя Г~щ с плотностью д*.Функция Ищ~ По теореме о разрыве нормальной производной потенциала простого слоя (снь ~ 5.5, п.4) равенства (12) записываются как интегральные уравнения Фредгольма 300 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
