Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пользуясь представлением (12),получим д 5.7. Фуннипя Грина задачи Дирихле 313 области С. Итак, функция и принадлежит сз(С) и в области С удовлетворяет уравнению Пуассона (21). Докажем,что и принадлежит С(С) и обращается в нуль на Я. Для этого достаточно показать,что ~и(х')( -л О, х Е 5, х' — ~ х., х' Е С. (25) Пусть е ) О. В силу оценок (4) найдется подобласть С' с С такая, что (см. 3 1.1, п. 4 и рис. 75) 6(х,',д)Д~д)дд < — /, дд< —, х' Е С.
(26) Г ~Х(дН а1о 4я,/с;1о )х' — д! ' 2' — — ! Функция д(х',д) равномерно непрерывна по (х',д) на С х С (см. п. 1). Поэтому в силу (1) функция Грина Ц(х', д) равномерно непрерывна 5 по (х',д) на (С '1 Си) х С, где С" любая подобласть такал, что С' С С" С с С (см. рис. 75). Учитывая, что функция Ях', д) обращается в нуль при — ) х' Е о', д Е С, заключаем, что найдется достаточно близкая к С подобласть С" С С такая,что Ях',ИМ4д <-,, х'ЕСуСи о ' 2 Рис. 7В Отсюда и из неравенства (26) вытекает следующее неравенство: ~и(х )~ = Ях,д)71д)ид < — + — = е, дп ' 2 2 справедливое при всех х~ е С 1 С~~. Это и доказывает предельное соотношение (25).
Докажем, что функция и (х) имеет правильную нормальную производную на Я. Так как И Е С'(Кз) (см. 35.5, п. 1), то в силу (24) для этого достаточно установить, что функция И(х) имеет правильную нормальную производную на о'. По доказанному рч е С(С) гармоническая в С и удовлетворяет граничному условию 1з~я = — Цю Построим потенциал простого слоя И~щ с непрерывной плотностью, решающий внешнюю задачу Неймана с и = — ~ (скп дп а 314 Гл.
е'. Краеоозе задачи длл ураонений эллиптииееноэо типа. и 6 С [С) П С(С), [27) — аеи = Ли+ 1(х), и[ = О, эквивалентна интегральному уравнению и[х) = / Ях,у)[Ли[у) + Ду)) Дд, и Е С(С), (28) /о если 1 е С'[О) О С[се). Действительно, пусть функция и Е С[С) есть решение интегрального уравнения [28), т.е. в силу [1) и[х) = — / ду + ~ 9[х, д) [Ли(у) + 1[у)) ду. (28') 1 Г Ли(у) + 1[у) с [т — у[ а Первое слагаемое справа в [28') есть объемный потенциал и потому принадлежит классу Сз(ачз) [см. ~ 5.5, п.
1), а второе слагаемое есть гармоническая функция в области С [см. лемму). Поэтому и 6 Сз(С) и, следовательно, Ли+ 7 Е С'[С) ОС(С). По только что доказанной теореме функция и[х) есть решение краевой задачи [27). Обратно, если функция из(х) есть решение задачи [27), то она является [единственным) решением краевой задачи (21) с заменой 7" на Лиз + 1. Так как Ли1+ 7' 6 Се [С) ОС(С), то по теореме это решение выРажаетсЯ интегРалом (23) с заменой 1 на Лзлз + 7", т. е.
фУнкцил из удовлетворяет интегральному уравнению (28). Этим доказана эквивалентность задач (27) и [28). 6. Свойства собственных значений и собственных функций. Дана однородная краевал задача на собственные значения (внутренняя задача Дирихле) ели+ Ли = О, и[в — — О, и Е С [С) ОС[С). (29) В п.5 было показано, что задача (29) эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения и[х) = Л ~ Ях, у)и[у) с~у, и 6 С[С), (30) ~ 5.6, п.4). Объемный потенциал — е'[х) также является решением этой задачи [см.
[) 5.5, п. 1). Поэтому в силу единственности решения внешней задачи Неймана [см. ~ 5.6, п. 2) заключаем, что е'о~[х) = = — 1'(х), х Е Сы В частности, $'~о~[я = — е'[в. Отсюда по теореме о единственности решения внутренней задачи Дирихле [см. й5.6, п.2) получаем., что 1е[х) = 1'~о~(х), х Е С.
Поскольку потенциал простого слоя рцо~ имеет правильную нормальную производную [изнутри) на я (см. 35.5, п.7), то и Р обладает этим свойством. Теорема доказана. Теперь проверим,что краевая задача » 5.7. Функиия Грина задачи Дирихле 315 с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) ядром 6(х, у) (см. п. 1). Докажем, что ядро 6(х,у) слабо полярное (см. з4.4, п.б). Для этого функцию у(х, у), заданнь ю и непрерывную на (С х С) 0 (С х С) (см.
п. 1), продолжим на С х С, полагал в соответствии с (3) 1 у(х~у)= —, хЕЯ, убей. 4х~х — у~ ' При таком продолжении функция д(х, у) непрерывна на С х С, кроме точек х = у, у Е Я. А тогда в силу (1) функция Грина Ях, у) непрерывна при х, у Е С, х ф у, и, стало быть, в силу (4) ядро 9(х, у) слабо полярное (о = 1, и = 3). В частности, для уравнения (30) справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным слабо полярным ядром (см.
~ 4.3, 4.4). Но собственные значения и собственные функции краевой задачи (29) совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра й(х, у). Это позволяет для краевой задачи (29) полностью доказать теоремы из ч 5.1, п.4, а также установить и некоторые дополнительные свойства этой задачи.
тно1'нмл. множсспсво собспсвснных значеншй (ль) краевой задачи (29) не. имеет конечных предельных точек, причем все Ль больиье нуля: каждое собственное значение Ль имеет конечную «ратность. Наименьшее собственное значение Л1 простое, а собственная функция Х1 можсп1 быть выбрана положительной в С. Собствснныс функции Хь принадлежат Сх(С) С1С(С) и их можно выбрать всиьественнылси и ортонормальными; они имеют правильную нормальную производную на В.
Всякая функция 7" из Ма *) разлагается в регулярно сходяи1ийся ряд Фурье по собстпвснным функциям (Хь). Доклзлткльство. Отсутствие конечных предельных точек у множества (Ль) и конечная кратность каждого собственного значения Ль следует из теорем Фредгольма (см. 3 4.2). Из вещественности и эрмитовости ядра 6(х, у) вытекает, что собственные функции Х1 можно выбрать вещественными и ортонорл1альными (см.
ч 4.3, п. 3 и 34.4, и. 6). Каждая собственная функция Лг Е Са(С) ПС(С) и является решением краевой задачи (29) и интегрального уравнения (30). Поэтому по теореме из п.5 Хь(х) имеет правильную нормальную производну1о на Я. Отсюда и из формулы Грина (7) из а 5.1 при ц = и = Хь *) те есть 1" и сз(с) »1 с~ (с), гьз" е ьз(с) и Д» — — о (см. г а.1.
и. 1). 316 Гл. 1'. Краеввзе задачи длл уравнений зллиптичееноео типа вытекает, что Ль = Лв(Хь, Хь) = — (ЛХю Хв) = / ! расу Хь)г е1х > О. дп Простота Л1 и положительность Хг вытекают из теоремы Ентча (см. 14.4, п. 6), так как в силу (4) ядро Ях, у) положительное. Пусть 1 Е Ма. Тогда функция 1(х) является (единственным) решением краевой задачи У~. =О, где й = — Ь1 Е С(С) П Дз (С).
По теореме из п. 3 функция 1(х) истокообразно представима через ядро Ях> у), и, следовательно, по теореме Гильберта Шмидта (ещ. й 4.4, п. 6) она разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям Хы Теорема доказана. Таким образом, для краевой задачи (29) верны теорема 1 из й 5.1, п. 4 и следствия из нее. В частности, система собственных функций (Хь) этой задачи полна в ьз(С). Т. Упражнения. а) Пользуясь формулой Пуассона (19), доказать неравенство Гарнака Л(Л вЂ” )х!) Л(Л+ )х() и(0) < зг(х) < и(0), !х/ < Л, справедливое для любой функции и(х) > О, гармонической в шаре (г'н и непрерывной на Г1я.
б) Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему: всякая возрастающал последовательность гармонических функций в области С сходится (равномерно на каждом компакте К С С) или к гармонической в С функции, или к +оо. в) Доказать равенство Лг ~ р ~1, ~х~<Л, 4иЛ ~~ ~ и (х — У)з " ~- —, (х) > Л. г) Пользуясь в), доказать, что интеграл Пуассона 1 1' )х(з — Лз — / .
ио(у) е1зи, ~х! > Л, 4хЛ „/~„~ н )х — у'Гз 45.7. Функция Грина задачи Дирнхла 317 дает решение внешней задачи Дирихле для шара он. д) Показать, что и-мерный интеграл Пуассона ио(у) пЯи, )х) < Л, л / ), . (и дает решение внутреннеи задачи Дирихое для шара 17н С 2". е) Показать, что решение задач Дирихле и Неймана для полу- пространства хз > О представляется соответственно формулами тз / ио(у) 2я ./„,=о )х у)з и "'"' ж 2х,/у, о !х — у~ если ио = О(!у/' =), из(у) = О(!у! ' =), ./у! — + оо, е > О, у = (ум уз, О). ж) Пусть С --- выпуклая ограниченная область в Из.
Доказать, что краевая задача для стационарного уравнения переноса (з, игаса уз) + о6 = Л6(х)<р(х) + 7 (х), ;р(х) = — / ~~(х.,з~) сЫ, 16(х,а) = О, т, Е Я, (з,пх) < О., 4х хн, зквиватентна интегральному уравнению Пайерлса уз(х) = К(~х — у~)[Л6(у)д(у) + 7(у)) х1у, К(с) =— до 4хсз ' Еи = — Жи(р(х) бхакти) + д(х)и < О, р > О, д > О, то либо и < О на С., либо и принимает свой (положительный) максимум на С на границе 5. к) Пользуясь и), доказать: если функция и(х) Е С (С) 0 С(С) есть решение краевой задачи — Ьи+ д(х) и = г'(х), и~ .
= и(х), (31) где 6, 7" е С(С), 6(х) > О, о > О. з) Пользуясь ж) и теоремой Ентча (см. ~ 4.4, и. 6) доказать: все характеристические числа Ла однородного уравнения Пайерлса положительные, Л1 простое, соответствующая собственнал функция узз положительная, система собственных функций (узь) полна в Ез(С; 6). и) Доказать следующий принцип максимума; ее хи функция и Е Е Сх(С) П С(С) удовлетворяет в ограниченной области С дифференциаяьному неравенству 318 Гл. 1'. Красоте задачи длл ураанений зллиптическоео типа.
то справедливо неравенство 1 Мс<пчб ( ИГйс<с> + ~И~с~в> Оо = пш~е1(л). Чо еЕС л) С помощью к) доказать единственность решения задачи 131) в классе Сз1С) С1 С(С) и его непрерывную зависимость от Е и и в норме С 1при условии оо > О). м) Доказать, что решение краевои задачи ди Ли=у, пи+,3 — =и, дп единственно в Са1С) ОС (С), если о ф О или о ф О. н) Пусть Ь -- положительно определенный оператор, т. е.
(Ьи, и) > О, и Е Мш и ф О. Доказать: для того чтобы функция ио Е Е Мс была решением уравнения Аио = 1, 1 Е Ез1С), необходимо и достаточно, чтобы она давала в Мь минимум функционалу (Ьи, и) — 2 Ке(7", и); решение ио единственно в Мш ~ 5.8. Краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости Для точки 1т, у) плоскости 1тз будем применять обозначения з = = л+дд или е = л — гу. Считаем, что С вЂ” ограниченная область в 1тз с кусочно гладкой границей Я. Большинство результатов, полученных в 25.5 — 5.7 для краевых задач в пространстве, переносится и на плоские краевые задачи с заменой фундаментального решения Сз(л) = — на фундаменталь- 1 4я~х~ ное решение Ез(з) = — 1п ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
