Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Глава 111 СМЕШАННАЯ ЗАДА'ЧА В этой главе будет рассмотрена смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов и дано обоснование метода Фурье (метода разделения переменных). ~ 6.1. Метод сЬурье Одним из наиболее эффективных методов решения многомерных краевых задач является метод Фурье (разделения переменных).
В ~ 5.4 этот метод был применен к краевым задачам на собственные значения. В этом параграфе метод Фурье формально применяется к решению краевых задач для уравнений различных типов. Обоснование метода Фурье для решения смешанных задач для уравнений гиперболического и параболического типов будет дано в следующих параграфах этой главы. Пусть оператор 1, определяется дифференциальным выражением Ви = — йг(рдгади) + пи, х е С, и граничным условием ди аи+,3 — = О, дп где функции р(х), ц(х), а(х) и ~(х) удовлетворяют условиям (3) из ~ 5.1. Пусть задан вес р Е С(С), р(х) > О., х Е С. Предполагаем, что собственные значения Ль оператора 1 положительны, 0 < Л1 < Лз < ..., .а соответствующие собственные функции Хь с весом р, ВХ, = Л,рХ„, Хь сМш 1=1,2,.
вещественны и образуют полную ортонормальную систему в прост- ранстве бз(С; р) со скалярным произведением (~, д)р с весом р. Гл. Ъ7. Гнещаннал задача 334 1. Однородное гиперболическое уравнение. Рассмотрим в бесконечном цилиндре Ц = С х (О, оо) смешанную задачу для однородного уравнения гиперболического типа (см.
3 1.4, п.4) дти р ь= — Аи, дга ди — = ис(л), ,=е ди ои+д — =О, 1>0. дп л6 С, (2) и~~-е = ие(л), (3) Сущность метода Фурье состоит в следующем: строится достаточное количество решений уравнения (1), представляемых произве- дением (4) ТфХ(т) и удовлетворяющих граничному условию (3); из этих решений составллетсл линейная комбинацил, у.довлетворяющая начальным условиям (2); при некоторых условиях естественно ожидать, что полученная линейная комбинация будет удовлетворять уравнению (1) и граничному условию (3), т. с. будет построено решение задачи (1) — (3).
Итак, ищем решение уравнения (1) в виде произведения (4), причем от функции Х(т) потребуем, чтобы она удовлетворяла граничному условию (3). Подставляя выражение (4) в уравнение (1) и деля его на рТХ, получим Т" (1) Х,Х(л) (5) ТФ рут)Х(л) (6) (7) ТХ = Лрх, Та+ ЛТ = О. Следовательно, уравнение (1) распалось на два уравнения, (6) и (7), с меньшим числом независимых переменных, т. с., как говорят, пере- менные разделились.
Левая часть равенства (5) не зависит от я, а правая от а Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от т, ни от 1, т, е. является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через — Л (ср. 35.4, п. 1), из равенства (5) для неизвестных функций Т и Х и параметра Л получим уравненил у 6.6 Метод Фурье ЗЗЬ Тй (1) = ай соо т/Лйй + Ьй зш ч/ЛрД (8) где ай и Ьй произвольные постоянные. Таким образом, в силу (4) и (8) построено счетное число частных (линейно независимых) решений уравнения (Ц Тй(1)Хй(х) = (ай соо Л/Лй1+ Ьй о1п,/ЛДХй(х), Ь = 1,2,..., (9) удовлетворяющих граничному условию (3) и содержащих произвольные постоянные ай и Ьй Всякая конечная сумма решений (9), естественно, также будет удовлетворять уравнению (1) и граничному условию (3).
Составим формальный ряд: Тй(й)Хй(х) = й (ай соо т/Лййй+ Ьй о1п т/ЛйДХй(х). (10) й=1 й=1 Коэффициенты ай и Ьй выберем такими, чтобы ряд (10) формально удовлетворял начальным условиям (2): айХй(х) = ио(х), й=1 й/ЛйЬйХй(х) = и1(х), й=й т. е. в силу полноты ортонормальной системы (Хй) в Еэ(С'; р) *) 1 Ьй = (иыХй)р. (11) л.
ай = (ио, Хй)р = / риоХй с1х, Итак, для решения и(х,г) смешанной задачи (1) — (3) получено формальное разложение по собственным функциям Хй оператора А и(х, ь) = 1 (ай соо,/Лйй1+ Ьй о1п,/ЛДХй(х). (12) й=1 считаем лй вешественнымн (см. Ьал, п.о). Решения Х(х) уравнения (6) должны удовлетворять граничному условию (3). Поэтому в качестве Х и Л можно взять собственные функции Хй и собственные значения Лй оператора Т,. Общее решение уравнения (6) при Л = Лй, имеет вид Гл. Ъ7. Сметанная задача 336 Этот ряд назовем формальным решением смешанной .задачи (1НЗ); Ь-й член ряда (12), равный Ть(1)Хь(х) = МьХь(х) сйп (~/Ляг + оь), где аь Ьь ззь = „1а~+бы сйпоь = —., сояоь = —, г г Ю,' ' гуь' д и р —, = — Ти+ г (х,1).
дгг (13) При каждом 1 ) 0 разложим решение и(х, Ь) задачи (13), (2), (3) в ряд Фу.рье по собственным функциям Хя оператора Тл аа и(х.,Ь) = ~ ТьЮХьы,. Тьа = (и,хь) . (14) ь=г В силу (2), (14) и (11) неизвестные функции Ть11) должны удовлетво- рять начальным условиям Ть(0) = / р(х)и(х,0)Хь(х) бх = (ио, Хь)р — — аь, /О ди(х, О) Ть(0) = / р(х) Хь(х) с1х = (имХь)р — — зуЛьЬь. ~п д1 (15) Составим дифференциальное уравнение для функций Тяф.
Умножая скалярно уравнение (13) на Хя и производя формальные выкладки, полу чим /,. = ьдги дг р — Хь ах = —, / риХь пх = —,(и, Хь)„= — ( ьи, Хь)+(г; Хь) = д1г лгг / ' лзг — (и~ 1 Хь) + (Р Хь) — Ль(и~ Хь)р + (Р Хь) представляет собой так называемое гармоническое колебание с собственной частотой чГЛь и амплитудой ХьХь(х). Последовательность чиссл ~(Лм чгЛг,...
называетсЯ саектРом собстоснныт, часзаот колеблющейся системы. 2. Неоднородное гиперболическое уравнение. Изложим друтой, более общий вариант метода Фурье, пригодный для построения формального решения смешанной задачи также и для неоднородного уравнения гиперболического типа в 6.8 Метод Фурье 337 т.е. в силу (14) функции Ть удовлетворяют уравнениял( Тьо+ ЛяТ9, = сь(1), й = 1, 2,. (16) где сь(1) = (Р9Хь) = / Хь(х, 1)Хь(х) (1х. ры (17) ;( ть(1) = аь сов 9/ль1+ ьь в1п хррльА+ / сь(т) в1п т((ль(1 — т) Йт. р(Ль о (18) Подставляя выражение (18) в ряд (14), получим формальное решение смешанной задачи (13), (2), (3) .(.,~) = 7 (а-.о99.9.иц о9и.
ь=1 р( и( ) Ь Оа (9 — )9)А (*). (99) у)Ль о Отметим, что первые два слагаемых в ряде (19) в силу (12) дают форл(альное решение смешанной задачи при Е = О; третье слагаемое есть решение этой задачи при ио = и9 = О. Пусть ио — — и) = О и г(х,1) = Св)паЛр(х)Х,(х). (20) Тогда Ьь О сяЯ Св)п(а)1(Х Ль)р — Сд 9 в)п(о1 и, следовательно, в силу (18) СЬ(ь (' Тьф = — ' сйпаЛв1В.„~Ль(1 — т) 91т = =,Ль А СБ(ь )Р ш ( ...д, —....).
22 В. С. Владииироа, В. В. Жаривоа Решив задачу Коши для уравнения (16) с начальными условиями (15), получим (см. в 3.3, п. 1) Гл. $7. Спешенная задача 338 Поэтому формальный ряд (19) сводится к единственному слагаемому «5*,с = . 1 — ~ ~7хх — ~ Й)х,( ), з1) С 7 ш ' — Л; 'Л,Л,' которое действительно является решением задачи. При з7 — 7 ~/Л,, решение (21) принимает вид ) С ( сйп т/Л,7 2т/Л7 1, туЛ, — Йг и Дй)А,СЛ. (22) р — = — Аи+ ЕОт,е), ди д1 и5 е — — ио(т), х Е С, ди аи+д — =О, 1>0. дп в (23) (24) (25) Для построения формального решения смешанной задачи (23) — (25) используем метод Фурье в форме, данной в п.2.
В соответствии с этим методом решение 7Дт,б) ищется в виде ряда (14). Для функций Ть17) получим задачу Коши Т,', + ЛьТь = ся(1), Ть(0) = аь, я = 1,2,..., (26) где сь(г) и аь определяются равенствами (17) и (15) соответственно. Решая задачу Коши (26), получим (см. 3 3.3, п. 1) гз тяф = оье' хм+ / ср,Яе 7мр ~ с1т, о (27) Из формулы (22) следует, что под действием периодического внешнего возмущения (20) с частотой, равной одной из собственных частот т/Ло амплитуда Рис. 73 колебаний неограниченно возрастает при 1 — 7 со, т.
е., как говорят, имеет место явление резонанса (рис. 78). 3. Параболическое уравнение. Рассмотрим в цилиндре П = С х (О,оо) смешанну.ю задачу для уравнения параболического типа (см. 31.4, п.4) у 6.1. Метод Фурье 339 и, аяедовательно, формальное решение смешанной задачи (23)-.(25) дается рядом 4. 5еравнение Шредингера. Смешанная задача для уравнения Шредингера (см. 3 1.2, п. б) де йз ий — ' = — — -"цУ+ К(л)ф д1 2то у)э()=о = Фо(и) т Е С: д~ ой+ д — =О, ди (29) (30) (31) 1>0, рассматривается так жс, как и смешанная задача (23) — (25) . Для функ- ций Ть(')) имеем следующуко задачу Коши: 15Ть' — ЛьТь = О, Ть(0) = аь = (фо, Хь), а = 1,2,..., (32) откуда Ть(1) = ауехр — — Ль1 (33) и, следовательно, формальное решение смешанной задачи (29) — (31) выражается рядом и, О = З...*р ( — '1о) х,)к), (34) дз 'д1 и!) о — — ио(и), ди оп+ д— дп (35) = Аи+ Е(и.,1), и), ) — — и)(т), иЕС, (36) (37) =О, 0<1<5 где Хь собственные функции оператора 5 при р = дв,)(2гно), )7 = К ир=1.
5. Эллиптическое уравнение. Рассьютрим в конечном цилиндре Ц) = се х (О, )) краевую задачу для уравнения эллиптического типа Гл. уей Слееоланнал зада еа 340 Т~: — ЛьТа = сь(1), й = 1, 2, (38) и граничным условиям Та(0) = (ио,Ха)р —— аы ТьЯ = (ибХа)р — — Ьл, (39) функции сь(1) определяются равенством (17). Построим решение краевой задачи (38), (39). Функции Той ля((е)ьяйулое вЬ |рЛр„.7 вЬ |рЛа7 удовлетворяет уравнению (38) и граничным условиям иь(0) = ия(1) = = О. Поэтому эха функция выражается формулой (см, я 5.2, п. 2) р~ иа(1) = — / Яь(1, т)сь(т) й, о (40) где 1 яЬ |/Лад яЬ |/Ла(Д вЂ” т), 0 < 1 < т, Дь(1, т) = л/ЛаяЬъ%1 яЬ |/Ла(1 — 1) яЬ ъ/Лят, т < 1 < 1, функция Грина краевой задачи (см. я 5.'2, п.
1) — он+ Льи = — ся(1), и(0) = и(Е) = О. Следовательно, Ть(1) = аа + Ьа — / Я1,т)са(т) е(т. (41) яЬ /ЛД вЂ” 1) вЬ /Ла1 Г .ь„л,с вь, л,.( /о Таким образом, формальное решение граничной задачи (35) — (37) записывается рядом вЬ |/Ла Ц вЂ” 1) вЬ |/Ль1 +Ь. .Ь, Ль1 вЬ,~Л,.( р' — / 6ь(Е,т)са(т) е1т Ла(х). (42) о Формальное решение этой задачи ищем в виде ряда (14). Неизвестные функции Ть(1) должны удовлетворять уравнениям 341 з б.н Метод Фурье б. Примеры. а) Колебание закрепленной струны. Эта задача сводится к решению смешанной задачи в полуполосе (О, 1) х (О, со) для одномерного волнового уравнения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
