Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Однако в постановках и решениях этих 1 2я задач возникают некоторые различия, связанные с поведением фундаментального решения Ез на бесконечности. 1. Постановка и единственность решения основных краевых задач. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа на плоскости ставятся так же, как и соответствующие задачи в пространстве (см. 2 5.6, п. Ц, за исключением того, что для внешних задач требуется лишь ограниченность решения при ф — 1 сс (а не обращение в нуль).
Предполагаем, что Се = 11з '1 С область. у о.д. Краевые задачи на наоеноети 319 Из результатов 3 5.3, пп. 5, 10 следу ет: еслирзунниил и(г) гармоническая в Сы непрерывная и ограниченнал на Сы шо 11ши(г) = о, ф -о оо, зе 1 У, 8габи(г) = 0~ ), ф — + со, = Ьр)' )и(г)( < |пах(и(г )(, г 6 Сы о' ен (2) (3) Линия Ляпунова и достаточно гладкая линия определяются так же, как и соответству.ющал поверхность в пространстве (см.
л 5.5, п. 4 и ~ 5.6, п. 2); неравенство (18) из 3 5.5 в этом случае принимает вид ~ сов роС~ е(ЯС<К, е6Н. 2 я ~г ч~ Справедливы следующие теоремы единственности для основных краевых задач для уравнения Лапласа. Решение внутренней или внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных и или ио соответственно. Если Я достаточно гладкая линия, то решение внутренней или внешней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной, причем и,(г)ЙЯ или и (я)ЙЯ=О н зн (4) — / и,о(~) е(о / — дБ = О. уя !яо дп Переходя в этом равенстве к пределу при Н вЂ” о оо и пользуясь оцен- кой (2), получим условие (4).
необходимое условие разрешимости соответствующей задачи. Доказательство этих утверждений подобно доказательству теорем 2, 3 и 4 из л 5.6, п. 2. Некоторое отличие возникает в связи с появлением необходимого условия разрешимости внешней задачи Неймана. Докажем это. Пусть и(з) - решение внешней задачи Неймана с граничной функцией и~ на о'. Так как и гармонична в Сл и имеет на Я правильную нормальную производную, равную — и, то, применяя формулу (8) из 3 5.1 при о = 1 к области Ян (см. рис, 56), получим 320 Гл. У'.
Краевые задачи для уравнений эллиптического типа. 2. Логарифмический потенциал. Логарифмический потенпиал определяется как свертка обобщенной функции р с функцией — 1п ~ з ~ (см. ~ 2.3, и. 7): Е = — 1п ф * р = — 2огдо * р. Логарифмический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона Ь1т = — 2згр. (б) (6) Частными случаями логарифмического потенциала являются: потенциал площади 1'(г) = / рЯ1п е1(дц, С = й+дц; (7) 1 ~г — Ц попиенциал просяного слоя 1 1 1гщ1(г) =1п — *рбв = / 1л(С)1п сИс, ~4 эв ! — 0 (8) погиенциал двойного слоя Ъ'1 1(г) = — 1п — в †(нбн) = ~ н(С) ' вас.
(9) 1 д Г сов уо,с ф да г,/в Эти потенциалы обладают следующими свойствами. Если р е С(0), то потенциал Е е С'(йа) гармоничен в Со и 1 /1~ Ъ'(г) = I р(С)д~с191п — +0~ — ), Ц -+ со. (10) Ы Если, кроме того р е С (О), то Е б С'(О). Если р 6 С(Я), то потенциав 'ейск 6 С(йг) гармоничен вне Я и Е" ( ) = / РК)дд 1 — +0~ — /, ~4 . (11) /1'1 5 и Ю' с дГ(01 '~ д1/(01(г) /' сову)и / (г) = — Р(г)+ д = — РО+/ Р(0 дп дп (12) Если Я линия, Ляпунова, то потенпиал е'®(г) имеет правиль- ~ дуйо> т; ду,[о> т ные нормальные производные ) и ~ ) извне и изнутри дп )н ~ дп ) на Я, причем д 5.8. Краевые задачи иа алоекоети 321 с Я1 ~о>, 01.цо) (з) соя ~~ее ) (з) = р(з)+ =»1дЯ+/ р(~) ~дЯС (12') дп и з С Если р е С(я), то потенциал 1дО) гармоничен вне я и (13) Если Я линия Ляпунова,то (14) Потенциал Г10 принадлежит С(С) ПСф) ПС(С1), и его предельные значения Ъ' и 1д извне и изнутри на Я имеют представления 1д (з) = лр1з) + 1Ц ~(з) = яр(з) + рЯ е1ЛС, дя 1з-~~ 1'-' '(я) = — лр(я) + 1д" (') = -'р(з) + 'Ф ' дЛс с.
(15) (15') Доказательства этих свойств аналогичны соответству юшим доказательствам для трехмерного случая (см. 2 5.5). Некоторые различия имеются лишь в доказательстве оценок (10) и (11). Докажем, например, оценку (10). Согласно определению (7) 15(в) — ~ рЯ е15о10 1п — = ~ р® 1п е15 ф. (16) 1 /' о И Л. ~я-а Пусть С лежит в круге Гп и ф > 2Л. Тогда при всех ~ е С справед- ливы неравенства ф — Л < (з — С! < (з(+ Л, (17) Отсюда и из (16) следует оценка (10): 'и'(з) — ~ рО,) <ХА еЬ1 1п — < / !рЯ / 1п е1( йр < 1 /' ~4 о ~~-Ь ~-а 21 В.
С. Владимиров, В. В. Жарииов ) ' в",аз,= ( — 2л, хЕС, — и, хек, О, хЕСВ 322 Гл. Г Краеасае задачи длл уравнений зллипьчическоео типа 2Л С < — / М(0~ сдц= —. Ф эп ~4' Физический смысл Фундаментального РешениЯ бз(з). Вычислим электростатический потенциал 1г(з,хз), создаваемый зарядами лежащими на оси хз, с линейной плотностью — — т. е, с рас- 1 4п' пределением р(я, хз) = — — Б(з) 1(хз). Метод спуска по переменной хз, 1 4л. изложенный в 23.1, п.4, здесь не проходит. Несколько модифицируя этот метод, определим потенциал Г(л,хз) как предел при Х -е оо потенциалов Ггг(з,хз), создаваемых зарядами, лежащими на отрезке !хз ~ < !!г оси хз, с линейной плотностью — —, т. е. с распределением 1 4п' 1 ргг(з, ) = — — Ж ) дР' — ~хз~).
4п (18) г.!.,*,!= — ., ° ( е! — Н:~)~+' = 1 э(! а!егг'! пхз 4 з- ззГРьа — Нà — 1п((хз х + ~ !з+(хз хз) ~ +сгг 1,— ль,д,$'ьЦ,— ж)е = — !п + с!ч. (19) 4 ьл':~/фгь! ьл! Чтобы обеспечить существование конечного предела 1гзч при Х вЂ” > оо, положим в (19) с!ч = — 1п(2Х). В результате получим 1 2п 1 Г(з,хз) = 1пп Гк(з,хз) = — 1пф.1(хз). лн'2п Таким образом, фундаментальное решение сз(з) = — 1п ф есть 1 2п электростатический потенциал, создаваемый зарядами, лежащими на оси хз, с линейной плотностью — — (ср. з 3.1, п. 4). 1 йп В классе функций, обращающихся в нуль на бесконечности, потенциал Г(е,хз) не существует.
Поэтому и потенциалы !гл(е,хз) будем выбирать иэ более широкого класса функций (в данном случае ограниченных на бесконечности). Этот потенциал есть свертка рм с — 4пЕз (см. 2 5.5) плюс произволь- ная постоянная с!ч *): Хо.д. Краеоо>е задачи иа плоскости 323 Ъ'01(з) = 1 о(() ед с1$с, о Е С($); (20) с решение внешней задачи Дирихле в виде суммы потенциала двойного слоя И~0 и неизвестной постоянной сц решение задачи Неймана (внутренней или внешней) --- в виде потенписла простого слоя Г>">(е) = 1 д©1п а>$С, 1> Е С($). (21) дл 1л-й Для неизвестных плотностей» и» и числа о в силу формул (12), (12'), (1ос) и (15') получаем интегральные уравнения »(л) = Л / )С(л,>',)»(>",) с>$с +)Я, цФ = Л / )С" (, ~) Ы) с+ дО: >н (22) (22') с полярными (сок>зными друг другу) ядрами Здесь Л = 1, р" = — и >>я соответствует внутренней и Л = — 1, 1 = (цот— — о)> я внешней задачам Дирихле, Л = — 1, д = и, )я внутренней и Л = 1, д = — ит/и внешней задачам Неймана.
Пусть р непрерывное решение уравнения (22') при Л = 1 и д = = — ц ~,>я. Интегрируя его левук> и правук> части по кривой $ и пользуясь (23) и (14), получаем / Ф )с1$= — / /~~,~дМс1$сс1$е — — / ~~( )>1$= 3. Разрешимость краевых задач. Предположим, что граница $ области с достаточно гладкая линия и С> = йз >> С область.
Как и 35.6, п.3, решение внутренней зада>и Дирихле ищем в виде потенциала двойного слоя 324 Гл. У'. Краеввзе задачи для уравнений зллиптичесноео типа. т. е. 1 Р 1и(я) дЯ = — — / и~(з) дЯ. 3 2я /з (24) р'(х) = К*(з,()р*Я дЯ4 = — р*(() дЯе, з Е Я. (25) Тогда р' Е С(Я) и, в соответствии с (24) (при и' = О) р'1з) е1Я = О. (26) Рассмотрим потенциал простого слоя 1До~ с плотностью р". Функция 1цо~ Е С(Б'.з) гармонична вне Я и в силу (26) и (11) 1 ~о~ (оо) = = О. Далее в силу (12) и (25) ее правильная нормальная производная извне на Я равна нулю.
Отсюда, пользуясь единственностью решения внешней задачи Неймана и внутренней задачи Дирихле (сьь и. 1),. как и в 25.6, п.4, заключаем, что ийоне(з) ив н О, з Е 11з, и, следовательно, р*(е) = О, з Е Я, что противоречит определению собственной функции. По теоремам Фредгольма уравнения (22) и (22') при Л = 1 однозначно разрешимы в С(Я) при любых непрерывных 1 и д.
При этом для решения р уравнения (22') при Л = 1 и д = — из,Ея справедливо соотношение (24). Поэтому если выполнено условие (4), то в силу (11) Ъ'~о~(оо) = О. Итак, доказана Творима 1. Внугпренн я задача Дирахле разрешима при любой и й С1Я). Внешняя задача Неймана разрешима при любой и~ Е С(Я), удовлетворяющей условию разрешимости (4). Из формулы (14) вытекает, что Л = — 1 есть характеристическое число ядра К(х, ~) и о = 1 соответствующая собственная функция.
По второй теореме Фредгольма Л = — 1 — характеристическое число союзного ядра К'(з, С). Пусть ро -- соответствующая собственная функция, 1 Г сов уУес ро(з) = — / К*~в,ОрвЮдЯс = — — / роМдЯс, ./н ' ./н ~з-й (27) Докажем, что Л = 1 не есть характеристическое число ядра К'(е,~).
Пусть, напротив, Л = 1 характеристическое число этого ядра и р' - - соответствующая собственная функция, об.д. Красоте задачи на плоскости 326 Мы знаем, что 1ло е С(В) (см. 24.4, п.б). Докажем, что ро(з) сБ = С у- .О. н (28) (я) — рой 1п ВВс. дя (29) Функция И~ел е С(Нл) гармонична вне В и в силу усювия С = О уйол(оо) = О (см. п. 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
