Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 43
Текст из файла (страница 43)
66 Ряс. 65 правлении 1, ~1~ = 1. Этот потенциал создаетсл распределением (снь 3 2.2, и. 4, а) ) ~1 1 1 д 11ш ~ — б(ж — 16) — — д(и)~ = — — 6(и) — зьо '16 — д1 (рис. 66), и поэтому 1Н Ц (и; 1) = — — * — д = — — ) — е 6 / = — — — =,, (16) 1 д де1 ч~ д 1 сояуз — )х( д1 — д1 ~)х(,l — д1Ц вЂ” )л)а где уз угол между векторами и и 1.
На рис. 66 изображены поверхности уровня потенциала 1ЦО(л:1) (эквипотенциальные поверхности -:-'-6= = жс). И $5.5. Ньютонов ввтвнпивл 287 Из формулы (12) и (16) следует, что потенциал двойного слоя представляет собой»сумму» элементарных потенциалов р(у)»'~ ~(х — у,п) = и(у) ! — уР' (ни — пв! < С)х — у)~, х,у 6 Я. (17) Из этого определения вытекает, что поверхности Ляпунова принадлежат классу С', с другой стороны, всякая ограниченная замкнутая поверхность класса Сз есть поверхность Ляпу.нова (при а=1). Перечислим без доказательства некоторые свойства поверхностей Ляпунова, используемые в дальнейшем. (Углы флв» '~)~л»п '»сл я и»ли я изображены на рис.
63 и рис. 67.) 1) Су.ществует постоянная Н такая, что Рис. 67 ''~и", 4Н„< К, 6 И'. л М вЂ” Ыз (18) 2) Справедливо равенство для = »р„л, Х, у Е Я. 3) Существует постоянная Се такая, что (19) совфлв~ = ~совювл~ < Св~х — »у~, х,у Е Я» (20) создаваемых диполями на поверхности Я с плотностью момента и(у) и ориентированных по нормали и. 4. Поверхности Ляпунова. Дальнейшие свойства потенциалов простого и двойного слоя устанавливаются в предположении, что 5 поверхность Ляпунова.
Замкнутая ограниченная поверхность Н класса С называется поверхностью Ляпунове, если в каждой точке х Е Я существует нормаль и„, непрерывная по Гйльдеру на о', т. е. существуют числа С ) О и О < о < 1 такие, что 288 Гл. 1'. Краеаи>е задачи длл ураанений эллиитичесноео тина. ~ сои>р, и+ совХ, и~ ( Со~х~ — у~~> т, у Е 5, х> Е ~пл> (21) где о число иэ неравенства (17). 5.
Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности 5. Предполагая границу 5 области С поверхностью Ляпунова, установим некоторые свойства потенциалов усо) и р 0) на 5. Имеют место равенства — 4я, хай, СО8 >Р,„ "с)5о — — — 2», хб5, л1х — уР '" О, хЕС>. (22) Для доказательства равенств (22) в силу (13) осталось рассмотреть случай х Е 5. Выбрасывая иэ 5 окрестность 51, = 5 й б>(х; го) точки х. поличим , >15„ = ", >15и ", >15о. (23) ~х — у~а " 3 ч, ~х — >уР " Л ~ — у~я Так как х >р С >> Г>(х; го) (рис. 68), то применяя формулу (11) иэ 8 5.3 к области С ) Г>(х;го) и функции )х — у) > и действуя, как и в п.2, получим 1 "',,=- л,~ '*"од5„=- —., 1 ж В)>з. 1Х У! >О УОО8<а:~а) Поэтому. при стягивании Ы, в точку х (го — у О) первый интеграл справа в (23) стремится к — 2я (си>.
рис. 68). Второй >ке интеграл * 'со) с' го) Рис. 88 Рис. бу справа в (23) в силу оценки (19) сходится абсолютно и поэтому стре- мится к нулю при Р, -+ х (см. 8 1.1, п.4). Поэтому, переходя в (31) к пределу при У, -о х, получим формулу (22) при х е 5. $5.5. Ньютонов потснииал Потенциал двойного гьзоя 1'16 --- непрерывная функция на Я. Действительно, в силу неравенства (19), справедливого на поверхности Ляпунова Я, потенциал 1ггЦ, определяемый формулой (12), есть интегральный оператор с полярным ядром х 6 Я, у 6 Я, сов 1о,о )х — у~э а поэтому переводит всякую функцию р 6 С(о') в функцию 1г11~ 6 С(о') (см. ~ 1.1, п.4). Докажем теперь,что интеграл (24) я ' 1х — уР есть непрерывная функция от х на Е (гр,о угол между вектором у — х и нормалью пи). Действительно, из оценки (19), как и для потенциала Грг, следует непрерывность интеграла (24) на Я.
В соответствии с формулой (10) обозначим интеграл (24) чед1ггог( ) рез дп,/л ~х — у)з /~ дп. (х — у( (25) 61гю11х) Функция — ' — называется прямым значением нормальной произдп водной потенииала простого слоя на поверхности Е: по доказанному она непрерывна на Е. Отметим епте, что потенциал простого слоя уг'г~г -- непрерывная функция на Е, поскольку 1'гог 6 С(ьча) (см. п. 2). 6. Разрыв потенциала двойного слоя. Ткоркма. Если Е поверхность Ляпунова и р 6 С(Я), то потенциал двойного слоя 1'~П принадлежит С(С) П С(С,) и его преН1) (1) дельные значен я 1'~ г и Г~ г на Я выражаются формулами Г~ ~(х) = 2яр(х) + 1НП(х) = 2яр(х) + 1 о(у) '",, дЯр, (26) )х — у)з 1'~ ~(х) = — 2пр(х) + 1НП(х) = — 2пгг(х) + 1' р(у) ' '",, дЯо.
(26') зв ' ~ — уР 19 В. О. Владимиров, В. В. 7Карииов 290 Гл. И Краеов(е зада и( длл уравнений эллиптииееноео типа Доказлтгльство, Введем Функцию И'(х', х) = (р(у) — (е(х)), ' " е1$и, ~х' — уР х ЕВ, хЕЯ. Функция И'(х', х) при х' = х е о в силу (22) равна Ие(х,х) = )з(У) 'з НЯи + 2)еи(х) = 2Я)з(х) + Ъ'(0(х). (27) ля )х у) Функция И'(х, х) непрерывна на 8 в силу непрерывности плотности и и потенциала 1е(~) на Я (см. п. 5). Докажем, что И'(х', х):1 И'(х, х), х Е Я, х' — > х. (28) Е ~'(У) )з(х)~ < †, У Е 14 = Я П 1е(х;б), (29) где Л постоянная из неравенства (18).
Оценим разность !И'(х,х) — И'(х,х)/ < В силу неравенств (29) и (18) первый интеграя справа в (30) не пре- восходит е,)2( е / )' ) соя(ре и~ ~ соя())еи~ '( е и 4К / ( ~ Р ~з ~, (з / Р 4К Далее, подынтегральная функция в (30) как функция переменных (х,х',у) равномерно непрерывна при )х — х'! < б()2, х е Я, у Е 8 (, И„и обращается в нуль при х' = х. Поэтому найдется такое б' < б)(2, что при всех х' Е Г)(х; б') второй интеграл справа в (40) будет меньше е/2. Следовательно, ~И'(х',х) — И'(х,х)~ < — + — = е., х' е П(х;б'), х е 8, Пусть е > О. Так как функция р равномерно непрерывна на 8, то существует число б = б, > 0 такое, что при всех т, Е Я справедливо неравенство 291 $эг.5.
Ньютонов потенциал что и доказывает предельное соотношение (27). Считая х' к Сг и пользуясь формулой (22), представим потенциал р В~(х') в виде !зц(х') = (оУ) — о(х)), * ', ЙБь = Иг(х',х). (31) ув ~х' - уР ПЕРЕХОДЯ В ЭТОМ РаВЕНСтВЕ К ПРЕДЕЯУ ПРИ Х вЂ” Ь Х К Я, Х' К 1'ы И УЧИ- тывая предельное соотношение (28), получаем !Н !:1 !!г(х,х) = И (х), х К Е, откуда следует, что Гггг К С(С~), и в силу (27) справедливо равенство (26). Равенство (26') рассматривается аналогично.
Теорема доказана. Из формул (26) и (26') следует соотношение 4яо(х) = Ъ„(х) — !' (х), х е Я. (32) Замкчаник. Формулы (26) и (26') аналогичны формулам Сохоцкого (7) и (7') из 9 2.1. 7. Разрыв нормальной производной потенциала простого слоя. Ткогкыа. Если Я поверхносгаь Ляпунова и р й С(Я), то потенциал простого слоя Ъ !гб имеегп правильные нормальные произд!гго> т , д!гго> з водные (ог ) и ( ог ) извне и изнутри на Е, причем с д!гго) з, д!г<о> (х) г сов г(Ф„ (х) = -2яр(х) + = -2яр(х) + / р(у) "" ,г!Дь, дп дп ь' ~х у~ (33) с д!г(в! д!гго)( ) соя 15,„ (х) = 2яр(х) + = 2ггр(х) + / р(у) ", г1$о. дп,) дп Л ~х — уР (33') Донлзлткльство. Пусть! Нц потенпиал двойного слоя на 8 с плотностью р. Введем функцию д!гго! ( г) Иг1(х',х) = + 1:г !(х'), х' ф Я, х к Я, дпл 19ь 292 Гл. И Краеввее задачи длл уравнений зллиптичеекоза типа.
и докажем, что при х' — ~ х Е Я, х' Е п,„, д1 ~о~~ ) И'1(х',х):4 И~е(х,х) = +14 ~, х Е Ь'. (34) дп По доказанному (см. п. 5) функция Ие (х, х) непрерывна на д. Пользуясь формулами (10) и (12), представим функцию И'1 в виде интеграла: Зададим е > О. Оценим разность (И = Я П П(х; 5)) /И'1(х',х) — И'1(х,х)/ < с / / ..., соябз з + соеузе з СОБЮзи + созвали у' ~х — дР (35) В силу оценок (20) и (21) первый интеграл справа в (35) не превосхо- дит (абсолютно) сходящегося интеграла и будет < е/2 при достаточно малом 5 = де. Далее, подынтегральная функция в (35) как функция переменных (х, х', д) равномерно непрерывна при ~х — х'~ ( 5/3, х Е 5, д Е д'11/„и обращается в нуль при х' = = х.
Поэтому найдется такое число б' < 5/3, что при всех х' Е 11(х; д') второй интеграл справа в (35) будет < е/2. Следовательно, ~И1(х',х) — И1(х,х)~ < е, х' е 11(х;д'), .х' е па, х е Я, что и доказывает предельное соотношение (34). По теореме из и. 6 ИИ~ е С(С) и Ъ'~ ~(х) = 2кр(х) + 1'0~(х). Поэтому предельное соотношение (34) при х' — е х б д, х' е п„принимает вид дрчо)( ~) д1е(о)(х) --4 1'~ц~ ) + И',1х,х) = — 2я1е(х) +, х Е Я, дп. — дп $5.5. Ньютонов потенциал (дЪ'" ~ откуда заключаем, что правильная нормальная производная ( ) дп г извне на Н существует (см. 3 3,3, п.2), причем в силу формулы (25) справедливо представление (33). Второй случай рассматривается анаюгично. Теорема доказана. Из формул (33) и (33') следует соотношение 4-гр(х) = (х) — (х)., х Е Я.
8. 'Упражнения. а) Показать, что потенциал простого слоя для сферы Яп с плотностью р = 1 равен б) Пользуясь а), показать, что объемный потенциал для шара Гп с плотностью р = 1 равен з х 4яЛз 1. (.) ~х( ф>Н, 2 Нз- — Цз Ц<Н 3 в) Показать, что для шара Гп объемный потенциал с плотностью Ях~) равен 4п Рн И(х) = — / 1(р)рз Нр, )х( > Л. И о г) Пользуясь в), показать: если ( г(р)рз г1р = О, то оо 8,,з гв 1'(х) = — / 1"(р)р г1р. — 3./, д) Доказать, что если поверхность Ляпунова Я ограничивает выпуклую область, то постоянную К в оценке (18) можно взять равной 4я.
294 Гл. 1'. Краеоме задачи для ураонений зллиптическозо типа. й 5.6. Краевые задачи длн уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве 1. Постановка основных краевых задач. Будем изучать следующие краевые задачи 1 и П родов для трехмерного уравнения Лапяаса (см. 91А, и. 3). Считаем область С такой, что С1 = Кз 'у С есть область.
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области С функцию и Е С(С), принимающую на границе В заданныс (непрерывные) значения и„. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области С1 функцию и, принимающую на Я заданныс (непрерывные) значения и„ и обращающуюся в нуль на бесконечности. Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области С функцию и, имеющую на В заданную (непрерывную) правильную нормальную производную и Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области С1 функцию и б С(С~), имеющую на В заданную (непрерывную) правильну.ю нормальную производную и,~ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
