Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Отсюда в силу принципа максимума (см. 0 5.3, п. 4) следует, что й(х, у) > О, х, у Е С. Далее, гармоническая функция д(х, у) удовлетворяет граничному условию 1 д(х,у) = —, хил, дЕС, (5) 4я~х — д(' 1 О < й(х,у) < 4к~х — у~ ' хЕС, уЕС, х~у. (4) Из единственности решения задачи Дирихле (см. 05.6, п.2) вытекает, что функция Гри- Рис. 70 на й(х,у) единственна (если она существует). Физический смысл функции Грина: из определения функции Грина й(х,у) следует, что при каждом у Е С она удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Пуассона Ь,6(х,д) = — б(х — у), х Е С, 20 В.
О. Владимиров, В. В. жарииов откуда сяедует, что д(х, у) < О, х е Я, у е С. Но тогда в силу принципа максимума зто неравенство сохранится и в области С, т.е. д(х,у) < О, х Е С, у Е С. Итак в силу (1) функция Грина удовлетворяет нерав- енствам 306 Гл. 1'. Краевеае задачи длл уравнений зллиптичесново типа. Мхо,уо) — Их,уИ < ~д(хо,уо) — Ях,уо)~+ Мх,уо) — д(х,у)~ < 1 1 1 < ~д(хо,уо) — д(х,уо)~+шах —, —, — ь О, 'ея 4п ~х' — уо~ ~х' — у~ что и доказывает непрерывность функции д в точке (хо, уо). Тноргыл. Если Я вЂ” — достаточно гладкая поверхность, то функция Грина Ях,у) существует,, имеет правильную нормальную д6(х, у) производную ' 'и на Е при всех у 6 С и симмепьрична: дп й(х,у) =Яу,х), х6С., у6С.
(5) Доказаткльство. Достаточно установить существование симметричной фу.нкции д(х, у), обладающей при каждом у 6 С следукзщими свойствами по х: гармоническая в С, непрерывная на С, удовлетворяет граничному условию (3) и имеет правильную нормальную производную на Я. Фиксируем у 6 С. Функция — — ~х — у~, х 6 Сы есть, очевидно, 1 4п решение внешней задачи Неймана с граничной функцией 1 д 1 и,(х,у)=- —, х6Я. (6) 4п дп, ~х — у~ ' С другой стороны, по теореме 1 из 3 5.6, п.4 это решение представ- ляется в виде потенциала простого слоя цт~,) /' рЬ',у) „ ./. ~х — у'! с непрерывной плотностью р1у', у) по у' 6 Я. Поэтому в силу единст- венности решения внешней задачи Неймана 1сгж теорему 4 из ~ 5.6, п.
2), ~' '(х,у) = —, х6С,. 1о 4п)х — у) ' (7) и обращается в нуль на границе Е; поэтому функцию й(х, у) можно интерпретировать как кулонов потенциал (см. ~ 5.4, п. 3), порождаемый внутри заземленной поверхности Я зарядом + —, нахо- 1 4и. ' дяшимся в точке у 6 С (рис. 70). Функция д(х, у) непрерывна по совоку пности переменных (х, у) 6 6 С х С. Пусть хо 6 С, уо 6 С и (х, у) — ь (хо, уо), х 6 С, у 6 С.
Пользуясь непрерывностью функции д(худ) по х, принципом максимума и равенством (3), получаем 4' 5.7. Функция Грина задачи Дирихле 307 Потенциал 1'® гармоничен в С и непрерывен в Кз (см. 0'5.5, п. 2) и в силу (7) удовлетворяет граничному условию (3); так что д(х,у) =1Д ~(х,у) = ', е15и, х Е С. (8) Отсюда по теореме из 05.5, п.
7 следует, что функция д(х, у) имеет правильную нормальную производную (изнутри) на д, которая в силу формул (36) из 0 5.5 и (6) равна дд(х,у) 1 д 1 = 4яр(х,у) — —, х б Я. (9) дп, ' 4тдп, ~х — р~' Осталось доказать симметрию функции д(х, у). Применяя формулу Грина (13) из 0 5.6 к функции д(х, у) и пользуясь граничными условиями (3) и (9) и формулой (8), при всех х, у б С получаем 1 Г ( 1 дд(у',у), д 1 дд(у', у) Г, (дд(у', ) дд(у', х) (, дд(у', у) /~д'хд — 4я / д(у',у)р(у',х) еБ„ = /(д(у',у)~д(у', ) — д(у', )~д(у',у))М+ ~ ' ', е1д, =д(у ) Лз у'=у у„МЬ*! =П', (10) 20ч Теорема доказана. Из симметрии функции д(х, у) вытекают ее следующие дополнительные свойства: она непрерывная по (х, у) в СхС; при каждом х е С гармоническал по у в С: принимает значение — — ~х — у~ при у Е д; 1 4я дд(х, у) имеет правильную нормальную производную '' на д.
дпз 2. Примеры построения функции Грина (метод отражений). Для построения функции Грина для области с достаточно широкой симметрией весьма эффективным оказывается метод ошралеений. Продемонстрируем его на ряде примеров. а) Шар Пн. Пусть у Е (7п, у ф 0 и 308 Гл. У'. Красввгс задачи длл уравнсний зллиптичссказа типа. 1 о 6(х,д) = 4к)х — д! 4к(х — д*) ' (11) где — огг14п) неизвестный заряд в симметричной точке у*. Функция д(х:д) =— 4к~х — д*~ гармоническая в он и принадлежит классу С' '(с7н). Подберем о так, чтобы функция Ц(х, д) обратилась в нуль на Ян.
Для этого заметим, Рнс. 71 Рнс. 72 что при ~х~ = Л треугольники Оху* и Оху подобны: один угол у них общий, а прилегающие стороны в силу (10) пропорциональны (рис. 71). Поэтому при ~х~ = Л справедливо соотношение Л )х — д*) Ь~ !х-д! ' и, г ледовательно, в силу (11) необходимо положить о = ЛДд(. Итак, Л 1 Л)д! йх,д) = 4к(х — д( 4п)д( )х — д'( 4п)х — д) 4п)х)дР— дЛз! (12) - . симметричная точка относительно сферы Лн при преобразовании инверсии (см. 8 5.3, п.
10). Ищем функцию Грина в виде 4' о.7. Функция Грина задачи Дирихле 309 есть функция Грина для шара. Формула (12) справедлива и при у = О; 1 1 4н~х~ 47гЛ б) Полупространство хз > О *). Пусть точка д = (уг, уз, уз) лежит в этом полупространстве, дз > О. Точка у = (ум уз, — дз) называется симлгетричной с точкой у относительно плоскости хз = О 1рис, 72). Нетрудно проверить,что функция Грина для полупространства хз > О определяется формулой 1 1 й1х,д) = 4я(х — у! 4я(х — у) (10) в) Полушар !х! ( Л, хз > О.
Пусть точка у лежит в этом полушаре; у' -- точка, симметричная с у относительно сферы Ян, у и д* г ч У Рис. 73 Рис. 74 точки, симметричные с у и у* относительно плоскости хз = О (рис. 73). Функция Грина дается формулой 1 Л 1 В йхцд) = 4ярх — у) 4п)д( )х — д*! 4я)х — у! 4я)у! )х — д'! + . (14) ь) Эта область неограпичепа Гсм. также пример г)). Функция Грина в атом случае должна удовлетворять дополнительному условию ОГх,у) — ь 0 при ~х~ — г — г оо, у Е С. г) Двугранный угол хз > О, хз > О.
Пусть точка у = 1ум уз, уз) лежит в этом ДвУгРанном Угле, дз > О, Уз > О; д и У' точки, силдметричные с у относительно плоскостей хз = О и хз = О соответственно; у' точка, симметричная с у относительно плоскости хз = О 310 Гл. У. Краевые задачи для уравнений зллиптичесноео типа. (рис. 74). Функция Грина имеет вид 'и'(х у) = —, +, . (15) 1 1 1 1 4я)х — у) 4я) х — у) 4я) х — у') 4я) х — у') Ьи = — 1, и)я —— ио, и 6 Са(С) ПС(С), (16) где 1' е Сз(С) П С(С) и ио 6 С(Е).
Как доказано в у 5.6, п. 2, решение этой задачи единственно. Ткогьмл. Если решение и(х) задачи (16) имееп~ правильную нормальную производную на Я, то оно представляется формулой и(х) = — / д ив(у) дд~+ 1 Ях,у)1(у) ду, х 6 С. (17) Г дух,у) дпу и Доклзлткльство. По условию решение и е С'(С) й С(С) имеет правильную нормальную производную на Я и Ьи = — ) е Са(С) й С(С).
Применяя к функции и(х) формулу Грина (1) из у 5.3 при п = 3 и у читывая (16), получим 1 / ~ди(у) 1 д 1 и(х) = — / ~ — ио(у) 1 Иди+ 4я дз ( дп„)х — у) дпо )х — у)) + ду~ 1 /' ((у) 4я,/~ )х — у) х 6 С. (18) Далее, при каждом х 6 С функция д(х, у) гармоническая по у в С, непрерывная по у на С и имеет правильную нормальную производную д '~ на Я (см. и. 1). Применяя к функциям и(х) и д(х, у) фордп„ мулу Грина (8) из 3 5.1, получаем равенство 0=1 ~ д д(,у) — (У) д ~ дд + / 1~(у)д~,у~)ау )' (ди(у) дд(х,у)) дпи дпо Прибавляя это равенство к равенству (18) и пользуясь (1) и (3), по- лучаем (17). Теорема доказана.
Аналогично строится функцил Грина и длл двугранного утла раствора я/пч где п ---натуральное число ) 3. 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина. В этом пункте будем считать,что д достаточно гладкая поверхность (слс у 5.6, п. 2). Рассмотрим внутреннк~ю задачу Дирихле для уравнения Пуассона 4' 5.7. Функция Грина задачи Днрцхле д6(х,у) д ~ 1 а.„„, аМ ~4.~х — у л)у( 4я)т)у(2 уДз! 1 10~ 4я1)р ~ Ит дя (х!з — Л~ 4яй(йз + (х!з — 2зззчх( соя'у)зз~ 4язчх У~ цеяв Формула (17) для шара сзп при 7" = 0 принимает вид 1 Р Лз — )х(з / з ио(у)ЙБю ~х~ < Л (19) 4яЛ /~„~ и !х — у!з Это и есть формула (интезрал) Пуассона. Она аналогична формуле Коши для аналитических функций.
Докажем, что формула Пуассона (19) дает решение внутренней задачи Дирихле для шара он 'и~я = ио -в (20) Ли =О, для любой непрерывной на он функции ие. Действительно, решение и(х) этой задачи существует и единственно для любой непрерывной функции ие (см. ~ 5.6). Во всяком меньшем шаре 11р, р < Л, функция и(х) является решением задачи Дирихле с граничным значением и~ и принадлежит классу С' (Г1р).
Поэтому по теореме из п. 3 это решение представляется интегралом Пуассона (19), т.е. (х) = — / ., ие(у) дБю ~4 < р 1 Р р~ — (х)~ 4 р./~ц~=, !х — уГ Переходя в этой формуле к пределу при р -+ Л и пользуясь непрерыв- ностью и(х) на Г1н и граничным условием (20), получим представле- ние (19), что и требовалось. 4. Формула Пуассона. Вычислим теперь нормальную производную функции Грина для шара оп на сфере Яп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
