Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1'. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 1 Р сов азао /' — — / '"; дЯ„= — К(х,у)гЮо — — 1, хЕЯ, 2 /в ~х — уР следует, что Л = — 1 есть характеристическое число ядра К(х,у) и и = = 1 соответствующая собственная функция. Докажем, что это простое характеристическое чис.ао. Для этого в силу второй теоремы Фредгольма достаточно показать, что Л = — 1 простое характеристическое число ядра К'(х, у). Пусть ро соответствующая собственная функция, 1 Р сов 1д,о и (*) = — / К*(х; у)Н(у) дЬ„= — — / "„р (у) дВш (15) 2я /в ~х — у~з Собственная функция ро принадлежит С(Я) (ель 34.4, п. 6).
1зассмот- рим потенциал простого слоя с пяотностью ро 1до)» /' ро(у) дВ А ~х-у~ (16) Функция ИЩ~ гармонична вне Я, непрерывна в 1л~ и 1'~ю(со) = О (ель ~ 5.5, п. 2). Далее, в силу формулы (43') из Я 5.5, п. 7 и уравнения (15) се правильная норллальнвя производная на Я изнутри равна нулю. гармонична вне Я, непрерывна в йв и 1'~о~(оо) = О (ель 35.5, п.2). Далее, в силу формулы (33) из 3 5.5 и уравнения (14) ее правильная нормальная производная на В извне равна нулю.
Отсюда по теореме 4 из п. 2 о единственности решения внешней задачи Неймана следует, что Р ~Ш (х) = О, х Е Сл, и, в частности, ИЩ~ ~ . = О. Но тогда по теореме 2 и;з п. 2 о единственности решения внутренней задачи Дирихле Ъ'щ~ (х) = О, х Е О. Итак, 1дщ (х) = О, х б Б',з. Отсюда, пользуясь формулой (36) из ~ 5.5, выводим, что р*(х) = О, х Е Я. Таким образом, .Л = 1 не есть характеристическое чисто ядра К'(х, у).
Отсюда по второй теореме Фредгольма Л = 1 также не есть характеристическое число ядра К(х, у). А тогда по третьей и первой теоремам Фредгольма интегральные уравнения (11) и (11') при Л = 1 однозначно разрешимы при любых непрерывных 7" и д. Следовательно, справедлива Творима 1. Внутренняя задача Дирнхле и внешняя задача Неймана разрешимы при любвлх непрерывных данных и и ию и их решения представляются потенциалами двойного и простого слоя соответственно. Теперь из формулы (22) из 35.5 е 5.6. Краевые задачи в прветранетве 301 Отсюда по теореме 3 из п.2 о единственности решения внутренней задачи Неймана 1е~а~(х) г— н С = сопв1, х е С. Докажем, что С ф О.
Пусть, напротив, р' ф~:— О, х Е С. В частности, 1:®~ = О. Тогда по теореме 2 из п.2 о единственности решения Я внешней задачи Дирикле 1це~ (х) = О, х, е Се. Итак, .1'® (х) = О, х е йз. Отсюда в силу формулы (46) из ~ 5.5 следует., что рв(х):— О, х Е Я, что невозможно. Пусть ра другая собственная функпия ядра К'(х,у), соответствующая собственному числу Л = — 1. По доказанному потенциал простого слоя 1Ч® с плотностьнв ре равен постоянной С ~ О на С. Но тогда потенциал простого слоя — 1 — 1е с плотностью — ре — ре С С С равен нулю на С, откуда следует, что эта плотность тождественно равна нулю, т. е.
С Рв(х) = — ро(х)., х Е 5. С Поэтому Л = — 1 -- простое характеристическое число ядра К*(х, р) и, стаю быть, ядра К(х, д). Нормируем собственную функцию ре так, чтобы )ерб(х) = из = 1 х е С. (17) В этом случае потенциал простого сюя 1~~ 1 с плотностью ре назыцо~ вается потенциалом Робена. Физический смысл потенциала Робена: это есть потенциал, создаваемый зарядами на проводящей поверхности з', а его плотность еео(х)— есть плотность зарядов, которая устанавливается на этой поверхнос- ти.
При этом полный заряд /ее[лев= —,— / ( ) вв называется емкостью проводяшей цоверхности Я. Вернемся к уравнениям (11) н (11') при Л = — 1. По третьей теореме Фредгольма интегральное уравнение (11') при Л = — 1 разрешимо тогда и только тогда, когда свободный член д ортогонааен к 1. 302 Гл. 1<. Краевь<е задачи длл уравнений эллиптического типа. Итак, справедлива Творима 2. Внутренняя задача Неймана разрешима ири любой непрерывной функции и,, удовлетворяющей условию ортогональ- ности и (х)а<В=О, /,' (18) и<х) = ~'~<~(х) ь — = 1 о(у) Уа дЯо+ —. И зя ~ — Ыа " ! Г Соответствующее интегральное уравнение (11) принимает вид о(в) = — / К(х, у)о(у) <1Я, + —, х й Я. (21) ио (х) о 2я 2я~х~ ' По доказанному для разрешимости интегрального уравнения (21) необходимо и достаточно, чтобы — / ~иои(х) — — ~ до(х)дЯ = О.
~о Так как О е С, то в силу (17) ~о<У) Б = Ъ'<о<10) = 1. л М (22) и ее ре<иение представляется потенциалол< пров<ного слоя. Далее, длл разрешимости уравнения (11) при Л = — 1 необходимо и достаточно, чтобы свободный член у был ортогонален к ро.
Таким образом, внешняя задача Дирихле имеет решение, .представимое потенциалом двойного слоя при любой непрерывной функции ио, ортогональной к плотности ро потенциала Робена ио (х)1<о(х) дЯ = О. (19) 3" Условие разрешимости (19) возникло за счет того, что решение внешней задачи Дирихле мы искали в виде потенциала двойного слоя, и< следовательно, от решения требовалось убывание Оцх~ г) при ~х~ — ь оо.
Однако в постановке этой задачи от решения требуется лишь обращение в нуль на бесконечности. с1тобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от у<щовия (19), поступим следующим образом. Считаем О Е С. Ищем решение внешней задачи Дирихле в виде суммы потенциала двойного слоя 1ЦО с неизвестной плотностью и на 5 и нькзтонова потенциала <з<<~х~ от заряда в точке х = О неизвестной величины ек з 5.6. Краевые задачи в пространстве 303 и условие разрешимости (22) принимает вид / ио(х)ро(х)ао' (23) 1 — / ио (у) ро(у) д5. ~ / о Злынчлнир. Пусть выполнены условия разрешимости (18) и (23).
Тогда обшие решения интегральных уравнений (21) и (11') при Л = — 1 содержат по одной произвольной постоянной С1 и С соответственно: р(х) + См р(х) + Сдо(х). Отсюда в силу формул (22) из 35.5 и (17) опять полу. чаем, что решение внешней задачи Дирихле единственно (и, .значит, не содержит произвольной постоянной С), а решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до аддитивной постоянной Сы 5. Решение задач Дирихле и Неймана для шара.
Построим решения задач Дирихле и Неймана (внутренних и внешних) для шара Гя. Пусть у заданная непрерывная функция на сфере Яп. Тогда 1(47в) разлагается в ряд Фурье по сферическим функциям у(47в) = ~ У|(в), ~ —.о (24) в Е Яы где в силу (4Ц из 3 Д.2 21+1 Р У)(в) = у1 йН")7)((в,в')) д". Ряд (24) сходится в Еа(5н) (см. 3 Д.2, .и. 6). Предположим, что этот ряд сходится в С(Ян). Тогда и(г, д, р) = ~ ~( — ) 1)(у, уо), г < 47, ~=о (25) решение внутренней задачи Дирихле с и,, = 1; В г и(г,Влр) ~~, ' ( — ) У)(В,И+С, < 47, 1=1 (26) Таким образом, справедлива Творима 3. Внеисняя задача Дирихле разреивила нри любой непрерывной функции иод, и ее решение представ лелася в виде суммы потенциала двойного слоя и потенциала 304 Гл.
т'. Краеввзе задачи длл уравнений зллиптличеенаеа типа. решение внутренней задачи Неймана с и = 7 при условии, .что з'о = 4 / 7(зев ) сЬ вЂ” з / 7(т) по = 0; (27) зт вз, й. ьь1 и(т В р) =~~ ~ — ~ 1)(В ез), т>Л, (28) с=о решение внешней задачи Дирихле с и„' л т Ю~+~, и(т,В,уз) = — ~ — ~ — ~ 1)(В,уз), т > 77, (29) + ~,~ ~=о решение внешней задачи Неймана с п~ = 7. Действительно, ряд (25) состоит из гармонических полиномов (см. я Д.2, п. 8) и по предположению сходится в С(8н). Поэтому этот ряд сходится в С(Гп) (см. у 5.3, п.
5), определяя функцию и, гармоничоскую в Гн (см. 8 5.3, п. 8), непрорывную на Гн и принимающую в силу (24) значения т" на Ян. Это и значит, что рлд (25) дает решение внутренней задачи Дирихле для шара Гп с и По признаку Абеля (см. (2)) ряд 1 ',> -у)(з) 1=-1 сходится вместе с рядом (24) в С(8н). Отсюда, повторяя предыдущие рассуждения, заключаем, что ряд (26) сходится в С(Гн) и опредеаяет функцию и, гармоническую в Гя и непрерывную на Гн.
Далее, этот ряд можно почленно дифференцировать по т, (30) поскольку ряд (30) в силу признака Абеля сходится в С(Гн). Наконец, сумма ряда (30) на Яя согласно (24) совпадает с 7', если функция 7" удовлетворяет условию (27) разрешимости внутренней задачи Неймана (см. п. 4). Это и значит, что ряд (26) дает решение внутренней задачи Неймана для шара Гн с и = 7 при выполнении у.словия разрешимости (27). Аналогично доказывается, что ряды (28) и (29) определяют решения соответствующих внешних задач.
б 5.7. Функция Грина задачи Дирнхле 305 у 5.7. сРункция Грина задачи Дирихле 1. Определение и свойства функции Грина. Функцией Грина (ендшренней) задачи Дирихле длл (ограниченной) области С называется функция й(х, .у), х Е С, у Е С, обладающая следующими свойствами: 1) при каждом д Е С представляется в виде 1 4 4к~х — у~ где функция д(х, у) гармоническая в С и непрерывная на С по х; 2) при каждом д Е С удовлетворяет граничному условию й(х., у) ) х = О. (2) Из ушювий 1) и 2) вытекает, что функция й(х, у) гармоническая по х в области С 1(у), непрерывная в С 1(д), обращается в нуль на л и стремится к +со при х — > у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
