Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 41
Текст из файла (страница 41)
е. 272 Гл. У'. Краевгие задачи для уравнении эллиптическозо типа б) Для того чтобы функция и Е (С) была гармоничной в области С, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки хо Е С существовали со окрестность 77„С С и число то = то(хо) ) О такие, что при всех т < со выполняется условие среднего арифметического 1 и(х) =, / и(х — у)дЯи, х е 77„. (28) Необходимость приведенных условий уже доказана в п.3.
Докажем их достаточность. Без ограничения общности можно считать, что и Е С(С). Пусть й продолженная нулем вне С функция и. Выберем произвольную точку хо Е С и составим свертку: ~„Дх) =,, бв, — —, б] * й, т < то, (29) где бя„простой слой на сфере 5„(стж '22.1, п.б). Используя фор- мулу (37) из 2 2.3, перепишем свертку (29) в виде 7,.(х) =, / й(х — у) Й$ — —,, т < то. Отсюда в силу (28) следует 7„(х) = О при всех х Е 77„и т < то.
С другой стороны, пользуясь предельным соотношением (41) из 2 2.2 и непрерывностью свертки (см. 2 2.3, п. 4), из (29) полу. чаем 1 1 Ях) -+ — Ьб*й = — Ьй в '0'(Ки), 2п 2п т — ~О, и, следовательно, (гяй, уз) = ( ли, р) = О, уз е РЯз,), так что функция и(х) обобщенно-гармоническая и, значит,.
гармоническая в 77„(см. п. 7). Ввиду произвольности окрестности 77„Е С, функция и(х) гармоничсская в С. 9. Аналог теоремы Лиувилля. Дяя гармонических функций во всем пространстве М" справедлива следующая теорема, аналогичная теореме Лиувилля для аналитических функций (см. ~3]). Тьорнмл. Если и(х) е 5' удовлетворяет уравнению, Лапласа во всем пространслпве Ж", то и(х) полинам. Доклзлтгдьство, Применяя к равенству Ьи = О преобразование Фурье (см.
22.5, п. 3, б)), получим — ]С]зй'~и](С) = О, откуда вытекает, что с']и] = О при С у': О, т.е. либо Р'[и] = О, либо носитель К~и] з б.Х Гармонические функции 273 есть точка х = О. По теореме из 8 2.4, п.4 Е(и) представляет в виде т Е(иЮ = Е с.д"бК), ~о,'=-В откуда следует, что и(х) полинам. Теорема доказана. СЛГадетВИВ. Если функция и(х) гармоническая в Ки и удовлетворяет неравенству ~и(х)~ < С(1+ ~х()~', х б Й~., т > О,. то и(х) (гармонический) полинам степени < т.
10. Поведение гармонической функции на бесконечности. Пусть точка х лежит вне шара бтп. Совершим преобразование инверсии да ~х~з дз х =, х'. (30) ~*!з' Точки т и х* называются симметричными оганосительно сферы Ян. Симметричные точки удовлетворяют соотно- шению и'(х*) = и , х* (32) называется преобразованием Кельвина функции и(х). Докажем, что при преобразовании Кальвина гармоничность сохраняется, т. е, функпия и*(х') гармонична в Пп 11 (0). Докажем это для п, = 3 (для и ~ 3 доказательство аналогично).
Для этого перейдем к сферическим координатам (см. 8 1.3, и. 2). Пусть х = (г, У,ф и и(х) = й(г,д,уо). Тогда в силу (30) и (31) х' = = (р, О, р), р = Лг,1г, и в силу (32) Л /112 и* (х*) = и (Р, у, 'Р) = — й ) —, у, 1о Р Р 18 В. О. Владимиров, В. В жарииов Рис. 88 и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует внешность шара Пп на ПВ11(0) (рис. 58). Пусть функция и(х) гармоническая вне шара Пн. Функция 274 Гл. )г. Краевьее задачи для уравнений зллиптнчееноео типа Поэтому 1 д ( дй 1 1 д (, дй 1 е1и*1хр) = —,— р +,, — в)пд + радр у, др/ расйпддд 1, дд у рзз)пай д~рз гв ~дай 2дй 1 д ( дй1 1 дай —, + — — + — з)пΠ— + Пь )дгз е дг г'з1п9дй1 ду/ газ)пзудрз ,.5 = —,Лиях), Ль 1 д"и1х) = 0 ~~ ~~) ), )х) — ~ со, 133) если и > 3. Если нее и = 2, то 1ппи1х) = а, )х) — е оо, 134) д и1х)=0 )х) — г оо 1)о) > 1).
135) Доказятнльство. Совершая преобразование Кельвина )32), получим функцию и*)х'), гармоническую в Пн 110) и удовлетворяющую при )х") -+ О условию 1 о11), если п > 3, и'1х') = )х ) 0)1), если и = 2, т. е. в обоих случаях и*)х*) = о))еп)х*))), )х') — + О. По теореме о стирании особенностей гармонической функции 1слс п. 6) заключаем, что функпия и" )х') гармоническая в шаре Пн. Со- вершая обратное преобразование Кельвина, для функции и1х) полу.— чим представление и~х) = и ах из которого и вытекают результаты 133) — 135). Теорема доказана. откуда и следует требуемое утверждение. творима. пусть функция и1х) еаряоническая оне шара Ггн и при х — > оо и)х) = о11) )и > 3), и)х) = 011) 1п = 2).
Тогда 1 5. Ж Гармони геенне Функции 275 Аналогично для и = 2 доказывается (ср. п. 5): если и(х) --. гармоническая в области С1 функция, непрерывная на Сы и и(х) = 0(1), )х) — ~ со, то (36) /и(х)! ( шах ~иЯ~, х Е Сы сеЯ 11. Упражнении. а) Пользуясь теоремой о среднем арифметическом (см. п.
3), доказать следующую модификацию этой теоремы: если функция и(х) гармоническая в шаре 57н и непрерывна на Пн, то и(О) = „и(х) с1х. уон б) Пользуясь а), доказать теорему Лиувнлля: если функция и(х) гармоническал в К" и ограничена сверху или снизу, то и(х) ив я сопв1. в) Доказать следующий аналог принципа симметрии Римана . Шварца; пусть граница области С содержит открытое множество Е, лежащее в плоскости ха = О, функция и(х) гармоническая в С, непрерывная в С 0 6 0 Е и обращается в нуль на Х; тогда Х нечетное продолжение функции и(х) в О х, 0 область С, симметричную к С относительно плоскости ха = О, есть гармоническая функция в области С 0 Е 0 С (рис. 59).
Рис. 59 г) Доказать теорему: если и линейный непрерывный функционал на Р(С) (см. 9 2.1., п. 4) и удовлетворяет уравнению Лапласа в области С, то и -- гармоническая функция в С. д) Пользуясь г), доказать: если обобщенная функция и удовлетворяет усювню Коши — Римана —" = О в области С с К, то она ди 2 дЪ аналитична в С (см. [3]). е) Пользуясь методом п. 9, доказать теорему Лиувилля для аналитических функций.
ж) Доказать формулу Грина (5) для функций, гармонических в С1 = К" у С, имеющих правильную нормальную производную на о' Е Е Сз и и(оо) = О. 276 Гл. 1'. Краееые задачи длл ураенений зллиптичеекеео тина. 6 5.4. Метод е1эурье для задачи на собственные значения Для определения собственных значений и собственных функций многомерных эллиптических операторов, допускающих разделение переменных, применяется леетод Фурье. 1. Общая схема метода. Разобьем независимые переменные на две группы: х = (хы..., т„) и д = (дм ..., у ), и пусть С С К" область изменения х и 11 с Кт --- область изменения д. Обозначим через Я и Г границы областей С и В соответственно.
Тогда (5 х з1) О 0 (С х Г) граница области С х 17 с в'."" "'. В области С х Ю рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа: Ьи+ Л4и = Ли, ди ои -е,д — = О, ~п лхо ди еи+б — = О, дп —,, „,. (2) где Ь и ЛХ эллиптические операторы, не зависящие от д и х соответственно: функции о,,9 не завислт от д, а функции б б от х. Будем искать собственные функции задачи (1), (2) в виде про- изведения и(х, д) = Х(х)1'(д). Подставив это выражение в уравнение (1), получим У(д)ЕХ(х) + Л (х)Л11'(д) = ЛХ(х)1'(д), откуда Т,Х(х) Ы1' (д) Х(х) 1Ь) ' (4) (5) (6) ТХ=рЛ, Му' = рУ.
Левая часть равенства (4) не зависит от д, а правая -- от х. Следовательно, эти выражения не зависят ни от х, ни от у, т.е. равны некоторой постоянной р. Положив р = Л вЂ” р, получим два уравнения: з" биЕ Метод Фурье для задачи на собственные значения 277 дХ мХ+д дп дУ уУ+ б— дп (7) (8) Итак, краевая задача (1), (2) расщепилась на две краевые задачи, (5) — (7) и (6) — (8), с меньшиле числом независимых переменных.
Обозначим через ды Ха(х), й = 1,2,..., и иэ У(у), д = 1,2,..., все собственные значения и собственные функции операторов Р и М соответственно. В силу (3) Ль: = да+ па, иьб(х,у) = Хл(х)Уз(у), И,у' = 1,.2,..., (9) суть собственные значения и собственные функции исходной краевой задачи (1), (2). ЗАМЕЧАНИЕ. Пусть ортонормальные системы собственных функций (Хя) и (1 ) полны в ьз(С) и Ра(Р) соответственно (см.
25.1, п.4). Тогда по лемме из 2 1.1., п. 7 система собственных функций (Хл1 ) ортонормальна и полна в Рз(С х Р). В этом случае формулы (9) дают все собственные значения и собственные функции задачи (1), (2). 2. Примеры. а) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для прямоугольника П = (0,1) х (О, пл) с границей Р (рис. 60) дзи даи — —,, =Ли, и~с=О. (10) д* ду В соответствии с общей схемой метода Фурье эта задача распадается на две одномерные краевые задачи: -Хо = ВХ, Х(0) = Х(1) = 0,: — Уо = иУ, У(0) = У(т) = О.
(11) (12) Таким образом, уравнение (1) расщепилось на два уравнения, (5) и (6), или, как говорят, переменньле разделились; при этом дополнительно появился неизвестный параметр р. Для вывода граничных условий для функций Х(х) и У(у) подставим произведение Л (х) У(у) в граничные условия (2) . В результате после сокращений получим 278 Гл. У'. Краеввге задача длл уравнений эллиптииеснаеа типа.
Собственные значения и собственные функции этих краевых задач вычислены в 85.2г п.4: Г2 йзгх Хе(х) = г/ — сйп - ~/1 /2 уху У'(у) = 1/ — сйп )/гп гп ' й= 1,2,...; (13) у = 1,2,... (14) Из (13) и (14) в соответствии с формулами (9) получаем собственные значения и собственные функции задачи (10): (15) й,д' = 1,2г... Рис. ОО Рнс. 61 дача (10) не имеет.
Отметим, что собственные значения Ль, могут повторяться, т.е. Льз = Ль,з„при некотором наборе номеров (й, Я. Количество таких повторений, равное числу решений в натуральных числах диофантова уравнения йо воя — + —.= —., + —, Р гпз Р тз' дает кратность собственного значения Льезз. Например, при 1 = т = 1 кРатность Л = Лег = Лгл = Лгв = Лвг Равна 4 (4з + 72 = 72 + 42 = 12 + + 8з = 8з + 1' = 05), Так как построенные ортонормальные системы собственных функций 1Ль) и 11" ) полны (сиг. 85.2, п.3), то в силу замечания из и. 1, других собственных значений и собственных функций за- з" б4. Метод Фурье дяя задачи на собственные значения 279 б) 1зассмотрим краевую задачу на собственные значения для круга Гп (рис. 61) — еяи = Ли, и)в — — О. (16) Эту задачу будем решать в полярных координатах т = г сов уз, у = г вш у, 0 < г < Б, 0 < |р < 2к. В этих координатах задача (16) для функции й(г, уз) = и (г соз р, г еш з) принимает вид 1д ( дйЛ 1ааБ — — — ~ г — ) — — —, = Лй, й(й,уз) = О.
(17) го ), Ог( Ор К граничному условию при г = Я необходимо добавить граничное условие при г = О. Это условие состоит в том, что функция й должна быть ограниченной в окрестности точки г = О. Далее, функция й, очевидно, должна быть 2я-периодической по переменной уз. Врименяя к задаче (17) метод Фурье, для функции Б = Я(г)Ф1уз) получаем две одномерные краевые задачи: — Фо = рФ, Ф(~р) = Ф(уз+ 2к); (18) г(гЯ')'+ (Лгз — р)Я = О, )Я(0)( < оо, Я(Я) = О. (19) Собственные значения и собственные функции задачи (18) легко вычисляются (это тригонометрические функции): ра = 1ез, Фь(ьз) = ееь", Л = 0,1,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
