Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1 ьГ2ро Физический смысл равенства (6) состоит в том, что полная энергия колеблющейся системы при отсутствии внешних возмущений не меняется со временем (закон сохранения энергии). 2. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Применим метод интегралов энергии для доказательства единственности и непрерывности зависимости классического решения смешанной задачи (1) — (3). Дифференцируя равенство (4) по 1, получим с б.г. Смешанная задача дяя ураанен я гслпербояичееного типа 351 сс ,ц1) <,1<О)-ь / ЦР'Цд. ЛРа о (11) Из оценок (9), 110) и (11) выводим оценки — < уС вЂ” д(0)+ — / ЦР'Цй-, й>0; (12) ди с 2 1 с"' Ро Ро о 12 сл Ц (рас1и~ Ц < )/ —,л'10) + / ЦГЦ с1т, 1 > О. (13) Ро 4роРо о Теперь оценим функцию ЦиЦ.
Дифференцируя равенство ЦслЦ = / и (х,б) ссх по 1, пользуясь неравенством Коши- Буняковского и учитывая нерав- енство (12), получаем с Р ди ди 2ЦиЦЦиЦ =2/ и — с1х<2ЦиЦ вЂ” < о )2 с < 2ЦслЦ ~/ —,710)+ — / ЦРЦс1т, Ро Ро о т. е., после сокращения на 2Ц слЦ, Г~ 1 ЦиЦ' < ~/ —.т(О) + — / ЦР'Ц дт, 1> О. Ро Ро.о Интегрируя зто дифференциальное неравенство, имеем 12 Ц Ц < Ц Ц, + )/ — д<О)1 + — / / ЦР'Ц д ж', Ро Ро .
о. о где ЦиЦо --. значение функции ЦиЦ в точке 1 = О, т. е. ЦиЦд — — / и сх, 0) с1х = / и~(х) с1х = ЦиоЦ~. ,со до Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим ис- комую оценку Г2 сс ЦиЦ < ЦиоЦ+ с/ —.с(0)й+ — / (с — т)ЦГЦ(т)йт, й > О. (14) Ро Ро о Интегрируя полученное дифференциальное неравенство, получим оценку Гл. Ъ7. Смешанная задача 352 Теперь, пользуясь оценками (12), (13) и (14), докажем следующую теорему.
Творима. Классическое рещение задачи (1) — (3) единственно и непрерывно зависит от ио, и1 и Е в следующем смысле; если Г, Е Е Е С(Цт), с '5à — г(! < е, 0 <1< Т, 5ио — 'йо~5с < ео (15) 'о'!8гайио — 8гас1йо~'5' <ео, !/и~ — й1(/ <е,, то соответствующие (классические) решения и(х, 1) и й1х, 1) удов- летворяют при 0 < 1 < Т неравенствам ~~и — й5 < С ) во+ Тес+ Тес+ Те1+ — Т е), 1 2 2 (1б) 'о ~ 8гай и — 8гай й~ Й < С(ео + ео + е~ + Те), (17) (18) '5и, — й,1~ < С(е, +во+в, + Те), причем число С не зависит от ио, им Е, 1 и Т.
Доказлтнльстно, Для доказательства единственности достаточно установить, что классическое решение и(х,1) однородной задачи (1) — (3) (при ио = и1 = 0 и Е = 0) единственно, т.е. и(х,1) = = О, (х., 1) е Ц, (см. 5 1.1, п. 9). Но зто вытекает из неравенства (14), поскольку ио = О, з'(0) = 0 и Е = О. Для доказательства непрерывной зависимости составим разность и = и — й.
Функция 0 является классическим решением задачи (1) — (3) сзаменой Е, ио и и1 на К =Š— Г, оо =ио — йо ио1 =и1 — й1 соответственно. Пользуясь неравенствами (15) для решения и, оценим величину интеграла знергии да(0): 2за(0) = 1 ~ро,'+р)8гадоо(а+увоз)дх+ / р — о,',е15 < < Гшакр(х)ад+ Гшакр(хне„)~+ ~Гшакфх) + ошахр — 1х) ео < зЕО зЕО яЕО лЕЗО < С1 (во+ во + ее), где Г объем области С, о площадь куска оо и С12 число, большее, чем числа Г, Гшахр Гзпакр и Гп1аху+ошахр о. Таким д образом, получена оценка (19) ъ 2,ЦО) < Сз (ео + ео + сз).
В б.Я. Сии~ванная задача длл, уравнения гиперболичееиоео паина 353 Применяя теперь к решению зй неравенство [14): /2 — 1 й' ЦПЦ < ЦооЦ + й/ — 3[0)й -~- — / [й — т)ЦКЦ сйт, Ро Ро о и пользуясь неравенствами [15) и [19), получим при всех й Е [О,Т] оценку [16) 1 р1 ЦтйЦ ~ (Л'ЦооЦс + С1 [во + ей + е1)й+ — / [й — т) ейт ~( ъ'Ро Ро о Т ( ео 4 К+ С1 [ео + ео + е1) +— /Ро 2ро ( С (во + еоТ+ еоТ+ е,Т+ — Тзч 2 при надлежащем выборе постоянной С. Аналогично, с помощью неравенств [12), [13) и [19) устанавливаются и неравенства [17) и [18).
Теорема доказана. Доказательство существования классического решения задачи [1) — [3) наталкивается на значительные трудности. Чтобы обойти эти трудности, как и для задачи Коши введем понятие обобщенного решения этой задачи; существование же обобщенного решения устанавливается более простыми средствами. Прежде чем приступить к этой программе, изучим более подробно функции из из[С), зависящие от параметра. 3. с1зункцнн, непрерывные в а.я [С).
Пусть при каждом й Е Е (а, Ь] функция и[х, й) принадлежит або[С). Функция 1е[х, й) называется непрерьшнои" в ьз[С) по переменной й на [и, Ь], ешти для любого й Е [а, Ь] и[х.,й) — ~ и[х,й) в ьз[С), й — й й. Из этого определения вытекает; если функция и[х, й) непрерывна в си[С) по й на [а, Ь], то норма Ци[,й)Ц непрерывна по й на [а Ь]: для любой й' Е ьз[С) скалярное произведение [и[,й),7') непрерывно по й на [и, Ь]; и Е ьо[С х [а, Ь)), еечи интервал [а, Ь) конечен. Действительно, непрерывность ЦиЦ следует из неравенства ] Ци[ ,й )Ц вЂ” Ци[ ,й)Ц ] < Ци[ ,й ) — и[ ,й)Ц, вытекающего из неравенства Минковского.
Непрерывность [и, й') сое- дует из неравенства Коши — Буняковского ][и[.,й ),7) — [и[, й), й)] < Ци[,й ) — и[,й)Ц Ц7Ц. 23 В. О. Влааииирои, В. В Знарииоа Гл. УЕ Смеллланнвл задача 354 Принадлежность и к ьз [С х (а, Ь)) следует из конечности [а, Ь), непре- рывности ЦиЦ и равенства л л ]и[х,.1)]эдхд1 = / Цлл[,1)Цад1. а С Я Последовательность функций иь[х,л), Ь = 1,2,..., называется сходящейся к функции и[х,1) в Ез(С) равномерно по 1 на [а,Ь], если ][ллл(.,1) — и[.,л)Ц ':1 О, к -+ сю, 1 Е [а,Ь]; в таколл случае будем писать ил„. — Фи, Ь-+ оо, в Ел[С), 1е [а,Ь].
Из этого определения следует,что ия — ~ и, Й вЂ” ~ оо, в Ел(С х (а,Ь)); Цил[.,1)Ц:Ф Цлл(ый)Ц, Й вЂ” л сю, Х 6 [а,Ь]. Лгммл 1. Если последовательность функций ил[х.,1), Ь = 1,2,..., непрерывных в Ел[С) по 1 на [а,Ь], сходится к функции и[х,1) в ьл(С) равномерно по Ь нлл [а, Ь], то лл[х, Ь) непрерывная в Ее[С) по Ь на [а,. Ь] функция. Доклзатидьство.
Пусть задано произвольное е > О. Существует такое число т = т„ что Ци [.,1) — и[,л)Ц < —, Х Е [а,Ь]. 3' По условию функпия и [х,1) непрерывна в Ел[С) по 1 Е [а, Ь]. Поэтому существует такое число й = Бз, что Цичл[.,1 ) — и„~[, л)Ц < —, у,й ч [а, Ь], [1 — 1] < О. Следовательно, пользуясь неравенством Минковского, получаем Ци[ ., Х') — и[х, 1) Ц < < Цлл(,1) — гл, (.,Х )Ц+ Цич[,1) — и,,(,1)Ц+]]ич,[,1) — и[.,1)Ц < е е е < — + — + — =е 3 3 3 при всех 1', 1 б [а, Ь], ]у — 1] < Ьй Лемма доказана. 'е'блв Смешанная задача длл уравнения еипсрболическоео типа Зоео Последовательность функций ил(х,1), Ь = 1,2..., называется сходлилейсл в себе в Ез(С) равномерно по 1 на [а, Ь)„если ил — ир '10, Й,р-+ оо., в Ез(С), Ь е [а,Ь).
лвммл 2. если последовательность функций ил(х, ь), Ь = 1,2,..., сходится в себе в Ез(С) равномерно по 1 на [а, Ь), то сушествует функция и(х, 1), непрерывное в Е2(С) по 1 на [а, Ь) и такал, что иь.— 1 и, Ь вЂ” л ж, в Ез(С), Ье [а,Ь). Доказатвльство. По теорел|е Рисса — Фишера (см. у1.1, п.б) при каждолл 1 Е [а, Ь) сушествует функция и(х,1) Е Ез(С) такая, что ил -+ и, й -+ оо, в Ез(С). (20) Далее, можно выбрать подпоследовательность ил,(х, Ь), л = 1,.2,..., такую, что [)иж,(,Х) — ия,(,1)[[ < —,, 1 б [а,.Ь). (21) Но в силу (20) при каждом 1 Е [а, Ь) 1"и иь, = ик + (ик.л~ ил.) + (ил.чз ик.л~) +. р — л Оо и потому в силу (21) [[и — ил,[! < [[илнм — ~л,[[+ [[ил,, — илам[)+ . < 1 1 1 < —.
+ —. + ... =— 2л 2л-~-3 2л — 1 л =1,2,,..; )[ил — и[! < [[иь — им[[+ )[иьп — и[! заключаем, что последовательность (ил) сходится к функции и в Ез(С) равномерно по 1 на [а, Ь). По лемме 1 функция и(х,2) непре- рывна в Ез(С) по Ь на [а, Ь). Лемлла доказана. 23* отсюда следует, что подпоследовательность (илч) сходится к и в Ез(С) равномерно по 1 Е [а,Ь].
А тогда из неравенства Гл. Ъ7. Смеолаанал задача 356 4. Обобщенное решение. Пус.ть существуют последовательности функций Ее б С(Ц ), иьо б Сс(С) и иы б С(С) такие, что; 1) при Й вЂ” ~ оо < Рь — 1 Е в Ез(С), Е Е ~О,Т), при любом Т > О, иьо — ~ ио в С(С), дгас1 иьо — р кгас1 ио в оз (С), (22) иы — р ис в Бз(С); 2) при каждом а = 1,2,... существует классическое решение ия (х, 1) смешанной задачи д" иь р, = — Ьие + Есо деа дия М=о иеоссх) д иы ссх) с=о диь оия+д — = О.
дц (2с) (3') Докажем, что существует фу нкция сДх, с), непрерывнал в Ея (С) по 1 на )О, оо) и такая, что при любом Т > 0 сср '— 1 и, Й вЂ” р со, в олгссС), 1 с ссО Тс. (23) Функцию и(х,е) назовем обобщенным решением задачи 11) — (3). Действительно, применяя неравенство (16) теоремы из п.2 к разности ие — и„ при всех 1 Е ~0, Т), Т > О,получаем Цие — ир~5 < С (1+ Т)5иьо — иро~5+ Т 5 ) атас)ило — агадире~ 5+ Та -~- ТЦиы — ир,)(+ — шах ЙРе — Рр~5' 2 о<с<т откуда в силу (22) следует, что последовательность 1ия) сходится в себе в Ея(С) равномерно по 1 на ~0, Т~. По лемме 2 из п.3 существует функция и(х, с), непрерывная в Ез(С) по 1 на ~О,Т~ и такая, что при любом Т > 0 справедливо предельное соотношение (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
