Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 56
Текст из файла (страница 56)
е, либо р вещественное, либо р = уа --- мнимое число, а у: 0 вещественное. Но последний случай невозможен, поскольку в силу (2) и Г[() > О, ~ > О н ж Симметрия корней и отсутствие конечных предельных точек следуют из представления (см. (3)) )+Б У[ ) „.[[ +Д )7 [ з)+2Д зУ~[ Я)[ и из того факта, что нули целой функции не могут иметь конечных предельных точек [см. [3[). Докажем простоту корней. Пусть ро > 0 корень уравнения [10) кратности > 2,так что аА [Ро) + Рдо У.'(Ро) = О, аУ (До) +Д.7 [Ро) + ОдоЛ (Ро) = (21) рт '1 = — Б ро — — ) 7.[Н) + аЛ.'Ьо) = 0 Ро в силу уравнения (4).
Из системы (21) заключаем: а) либо э"„[до) = 7,'(ро) = 0; б) либо ее определитель а~ + сг(роя — н~) = О. Случай а) невозможен в силу теоремы единственности решения уравнения [1), поскольку точка ро не особая для него. Докажем, что отучай б) также невозможен. Для реализации б) необходимо,д > 0 и а — = 1/гз — р~о, 0 ( ро ( (г!. Подставляя это выражение в первое из равенств [21) и возводя в квад- рат,получим что в сину (12) приводит к противоречивому равенству 1 *,С(рот) с7т = О.
о Дополниниа Спеииальные амуниции 380 Теорема доказана. На основании установленной теоремы положительные корни уравнения (13) можно перенумеровать, располагая их в порядке воз- растания (22) Приведем для примера первые три корня 1и(х): р~ ~ = 2,4048, рз = 5,5201, рз ~ = 8,6537. Выпишем без доказательства асимптотику функции 1 (х): ,1,(х) = ьГсоя (х — — и — — ~) + 0(х з1з), х — ~ со. (23) у их ~ 2 4,' Отсюда вытекает приближенная формула для корней Х,(х) Зя г р, - — + — н+ Ьг. 4 2 5. Краевая задача на собственные значения для уравнения Бесселя.
Пусть и > О. Рассмотрим краевую задачу на собственные значения и 1 ни = — (хи')'+ — и = Ахи, 0 < х < 1, и(х) = 0(х '). х — ~ О, аи(Ц + ~3и'Я = О, (24) (25) Е~и Е Сз(0, Ц, хи'(х) -+ О, х — ~ О. (26) Оператор 1, положительный (и, стало быть, зрмитов; см. у 1.1, п. 10), причем г1 г1 з (1, и,и) = / х~и ~ с~х+ и / — дх+ — ~и(Ц~ > О, и Е Мг. ° ' М' о о (27) где ",~ = шш(и, Ц, о > О, 3 > О, а+1) > О.
К области определения Мс. оператора Е отнесем функции и(х) класса С ИО, Ц), удовлетворяющие гРаничным Условиам (25) и Условию; т ~~з1 ни Е Сз(0, Ц; Мс. ~~~~~~ в Ез(0, Ц, Из определения Мь, непосредственно вытекает: если и Е е Мх.. То уД.Б Функции Бесселя З81 (при 3 = 0 последнее слагаемое в (27) выпадает). Действительно, (27) следует из (25) и (26): '1ь и,и) = У (Йеи)ие!х = — У '1хи) йеКх+и У вЂ” Дх = Г' Г' ..
з Г'!~' о о о /1 ~ '~'6*-х '-~,' .'~ '"~ 6 = 0 о 1 х~и'(~йх+из / ' е1х+ — ~и(1)~ . Каждое собственное значение Л оператора Ь, неотрицательное и простое. Для того чтобы Л = 0 было собственным значением оператора Ь„необходимо и достаточно, чтобы и = а = 0; ему соответствует (единственная) собственная функция и(х) = сопза Действительно, из неотрицательности квадратичной формы (Е,и,и) следует неотрицательность собственных значений Л; при этом, как и в ~ 5.1, п.4, устанавливаем, что Л = 0 собственное значение тогда и только тогда, когда и = о = О,и ему соответствует собственная функция и(х) = сопва Простота Л доказывается так же, как и в з 5.2, п.3.
Пусть ре корень уравнения (10). Тогда из уравнения Бесселя (1) и из (6) следует, что Ле = рез собственное значение и ,7 (рех) . соответствующая собственная функция оператора 7 и Обратно, пусть Ле (положительное) собственное значение и и,(х) соответствующая собственная функция оператора Б„. Тогда (см. п. 1) н,(х) = С1,1,(Л/Лех) -ь Сз1'„(ЛуЛех). Но из первого граничного условия (25) и из (6) и (8) следует, что Сз = = О. А тогда и„(х) = С1э' (меЛех), и из второго граничного условия (25) следует, что де — — х/Ле есть корень уравнения (10). Таким образо~,. ЛМ ( М!2 7 ( (ю .) й все собственные значения и собственные функции оператора Б,. 6. Неоднородная краевая задача для уравнения Бесселя. Пусть Л = 0 не есть собственное значение оператора Ь„ т.е, либо и > О,либо и = О, а > О.
Пользуясь методом из ~ 5.2,п.1, построим функцию Грина й,(х,д) оператора Б,. Дополнение. Специальные амуниции 382 Пусть и > О. Легко проверить, что хе и х о --. линейно независимые решения уравнения Ь,и = О. При этом функция ое(х) = х' удовлетворяет первому граничному условию (25), а функция иг(х) = ах" + х' ', удовлетворяет второму граничному условию (25). Поэтому в соот- ветствии с формулой (10) из 8 5.2 функция П,(х, д) имеет вид с „х'(ад'+ д '), О < х < д, 6.(х,у) = с,у'(ах" + х '), у < х < 1, (29) е' 3 со( — — +1пд, 0<т<у, 6о(х,д) = l () со ( — — + 1пх, у < х < 1. (30) Решение краевой задачи т,и=)(х), иеМь„, 1 еС((О,Ц), х 21 еьг(О,Ц, (31) единственно и выражается формулой ег и(х) = / й,(х,у)((у) е1у.
о (32) Это утверждение устанавливается так же, как и в 85.2, п.2. Единственное различие связано с первым граничным условием (25). Проверим его выполнение. Пусть и > О. Тогда, пользуясь (29) и неравенством Коши — Буняковского, получаем ~и(х) ~ = с,(ах' + т ') / д" 1(д) Йу + с,х' / (ау" + у ')у(у) Йу < хо < 0(х')+ ~~.~ ' д"" д ~У(д)Р— '+ е)у о о У при некотором с, ~ О.
Пусть и = 0 и о > О. Функции 1 и 1п х --. линейно независимые решения уравнения Бои = О. Можно положить иг(х) = 1, иг(х) = —,„+ Й +1пх и гДД. Функцаа Бесселя + [с,[;с' ~ у т'~ ь ду [ 1(у)[г — = О(х') + О(х) = О(х ") ду при х — ь О, что и требовалось. Аналогично, и даже проще, рассматривается случай и = О. 7. Полнота функций Бесселя.
Введем пространство Сг[(0, 1); х) функций со скалярным произведением и нормой еь (1,у). = / 1(х)у(х)хдх, [[Лл = уг(ГК. о В силу результатов предыдущего пункта, как и в 35.2, п. 2, заключаем, что если Л = 0 не есть собственное значение оператора Ею то задача на собственные значения (24), (25) эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения г' п(х) = Л / Я,(х,у)н(д)дду, н Е С([0,1)).
(33) .о Переходя к новой неизвестной функции е(х) = .„/хн(х), приведем интегральное уравнение (33) к эквивалентному виду. (ср. ~ 4.4, п.б) г1 е(х) = Л/,,~ху О'.(х, у)е(у) ду, с Е С([0, 1)). (34) о В силу (29) и (30) ядро балуй,(х,у) вещественно, непрерывно и симметрично. Поэтому к интегральному уравнению (34) применима теория Гильберта — Шмидта (см. ~4.3 и 35.1). В частности, существу— ют собственные значения Л, и,,~хд, ~)~ Л х) соответствукещие собственные функции, к = 1, 2,..., ортогональные в сг(0, 1) (см. п. 5).
Таким образом, мы доказали, что краевая задача (24), (25) име1ю '04 ет собственные значения Л ( Л., ( ..., являющиеся квадратами положительных корней р„' уравнения (10); соответствующие собственные функции д (р х) образуют ортогональную систему в (г ) Сг[(0, 1); х), причем в силу (12) д,(р~'х) ~ = — [1,'(д~Щ)[г + — [ 1 — — ) йг(д~тф). (35) Х .~) ° Справедлива следующая Тногнма. Если и е А4ь„то функц1ся,,/хи(х) ризлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по снстелсе функций;/хд,(рь х), М Дополнение. Специальньье функции й=1,2, (и,,7,(р,' х)) д(„М„) '' ;/хц(х) = еу а„,/хд,(р„х), и=1 Доклзлткльство. Доказательство следует доказательству теоремы Стеклова (сьс у 5.2, п.
3). Если и Е Мх„, то Ь и = у", где 1' Е й СЯО, Ц), х ~езу" й бз(0,1) 1см. п.5). По доказанному 1сьь п.б) функция и1х) выразкается через ядро Ц,(х, у) по формуле 132), т. е. ьехпДх) = ( ь/худ,(х,у) ду. Пу) о чу — (хи')'+ хи = (Л+ 1)хи, и1х) = 011), х -+ О, и'(1) = О.
Теорема доказана. Множество функций ~чехи(х), и Е Мт.,) плотно в Дэ10, 1). По теоРегле каждУю фУнкцию вида,,ьехи1х), и Е .'ь4ью можно сколь Угодно точно приблизить в ья(О, 1) линейными комбинациями ортогональной системы функций т/хдДр ' х), к = 1,2,... Отсюда по теореме из 00 у 1.1, п. 7 следует, что эта система полна в бя10, Ц. Итак, система собственных функций,!,(р„' х), й = 1, 2,..., полна в пространстве бз00, 1): х). 8. Другие цилиндрические функции. Наряду с функциями Бесселя д (х) большое значение для приложений имеют другие типы цилиндрических функций. К их числу относятся; функции Ханкеля первоео рода Н~ ~(х) = ~1,1х)е ' ' — д,Дх)), и ~ и, сйп яо Н (.) = д ~.)+ -' "" - (-1)-"-." Таким образом, функция и/хи(х) истокообразно представима через вещественное непрерывное симметрическое ядро Ехиу~,(х,у). По теореме Гильберта4Шьеидта 1сье, у4.4, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
