Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 58
Текст из файла (страница 58)
(25) Дифференцируем равенства (23): Ц -~- 1)Р~е, (р) — (21+ 1)рг(м) — (2! + 1)АР,'1р) -~- ТР~',(р) = О. Исключая из этого соотношения и соотношения (25) произведение рР~Яр), получим равенства (24). Докажем формулу (26) Для этого одни из множителей Р~ подынтегральной функции выразим через Р~ .е и Р~ о по формуле (23). Пользуясь ортогональностью полиномов Р~ и Р~ э, получим Выражая теперь произведение РР~ по формуле (23) и пользуясь ор- тогональностью полиномов Р~ .1 и Рьы, получим 21 — 1 ~' г'1+1 21 — 1 — / ~~- 1 21 1~~ + 21 1е1- ) пр— 'ЕД.е. Сферические функции 393 откуда и вытекает формула (26): 21 — 12( — 3 1 .
2 21+12/ — 1 3 21+1 7'(и) = ~, (У,Р Я(д), 21+1 ~=о сходящийся в Ез( — 1, 1) (см. 3 1.1, п. 7). 5. Присоединенные функции Лежандра. Проверим, что функции 'Р, (р) = (1 — ~Р) 7~Р,' ~(р), ( = 0,1,..., т = 0,1,...,1, (27) называемые присоединенными функциями Лежандра, удовлетворяют уравнению (15). Действительно, производя в уравнении (15) замену Р(р) = (1 — ро) "л(р), для функции з получим уравнение (1 — рз)лп — 2р(т+ 1)л'+ ф+1 — тз — т)л = О.
(28) С другой стороны, дифференцируя уравнение (16) т раз, убедимся, что производная Р~ О удовлетворяет уравнению (28). Следовательно, присоединенные функции Лежандра Р,'" удовлетворяют уравнению (15). Умножал уравнение (28) на (1 — рз)'", перепишем его для л = =Р~ ~ ввиде [(1 — дз) "'Р,'" 1 = — (( — т)((+ т+ Ц(1 — р,') Р, .
(29) При каждом т > 0 система присоединенных функций Лежандра Р,'", ( = тгш + 1,..., ортогональна в Ез(-1, 1), причем [[Рт[[2 (7 — ш)1 2Р -ь 1 (30) Система полиномов Лежандра Рп 1 = О, 1,..., полна в Ез( — 1, Ц. Это утверждение вытекает из теоремы 2 из ~ 1.1, п.
7 и из теоремы Вейерштрасса (см. 3 1.1, п. 3), согласно которой множество полиномов, а следственно, и множество линейных комбинаций полиномов Лежандра плотно в ([ — 1, 1)) и, значит, в Ео( — 1, 1). Таким образом, всякая функция 7" е Ез ( — 1, 1) разлагается в ряд Фурье по полиномами Лежандра Донолнение. Сиеииаленые 1уунниии 394 Это утверждение верно при т = 0 для полиномов Лежандра Р~ = Ре (см. пп.3,4). Отсюда, пользуясь определением функции Р, и формулой (29) с заменой т на т — 1, получаем с1 (реп Рт) ртрт 1 / (1 з)тР1~Мррн) е1 я)тРби1Р(т),Реп — 1)(( я)тфт))р — 1 е1 (1 ц(1 ) (1 2)т — 1Ррп — 0 рЕт — 0 — 1 )(Р(т — 1 ],Р( еп — 1) ) = (1+ т)(1+т — Ц(1 — т+ Ц(1 — гп+ 2)(Р~",Рг ' ) = (1+ пе)1 (1+ т)! 2 (1 — т)! ' (1 — т)! (21+ Ц еу(р) = 1"(р)(1 — р ) 7 Е е ( — 1, Ц.
По теореме Вейерштрасса (см. 9 1.1, .п.3) функцию ~~ можно сколь угодно точно приблизить в С(( — 1, 1]) полиномами и, следовательно, линейными комбинациями производных Р~, 1 = т,,не + 1,... От(т] с|ода следует, что функцию у" можно сколь угодно точно приблизить в б ( — 1, Ц линейными комбинациями функций системы Р,'", 1 = = уп, т+1,..., что в силу теоремы 2 из 9 1.1, п. 7 и доказывает полноту атой системы. 6.
Сферические функции. В силу (10), (14) и (27) получена следующая совокупность решений уравнения (9): Р;'(соя 6~ соя пир, т = О,...,1, Й'"® )= т Р, ' (совд) ейп)т)р, ш = — 1,..., — 1, (т,) 1= 0,1,. (ЗЦ что и требовалось установить. При каждом гп ) 0 система присоединенных функций Лежандра Р,"', 1 = т, т + 1,..., полна в Ез( — 1, Ц. Действительно, возьмем произвольную функцию 7 кяасса е ( — 1, Ц, плотного в ьз( — 1, Ц (см. 9 1.1, и. 7). Тогда ОД.9. Сферические функции 395 или, в комплексной форме, 1; (О,ф = Р~™'(соаО)е' ~, 1= 0,1,..., т, = О,х1,...,Ы. (31') Эти функции, очевидно, принадлежат классу.
С" (Я~). Поэтому 1'~""(О, уе) -- сферические функции (см. п. 2). Сферические функции 1;, т = О, х1,..., х1, порядка 1 линейно независимы, их линейные комбинации 1'~ = ~ а, 1'~ (е) (32) т= — 1 с произвольными коэффициентами а, также являются сферическими функциями порядка 1. Сферические функции Уч~н образуют ортогональную и полную систему в ьз(оз), причем ~~уш,~з 1. (1+И) 21+1 (1 — /тД! (33) Действительно, тригонометрическая система (е'"и'е, т = О, х1,...) ортогональна и полна в Ез(0, 2х), и при каждом т = О, 1,...
система присоединенньсс функций Лежандра (Р~~(р), 1 = т, т+1,...) ортогональна и полна в Ез( — 1, 1) (см. п. 5). Отсюда легко доказать, что система функций (Р| '(р)е' т, 1= 0,1,..., ш = 0,*1,...,~1) ортогональна и плотна в Е[( — 1, 1) х (О, 2 г)), и, следовательно, систе- ма сферических функций (1',~(О, р)) ортогональна и полна в Ея(Ьз). Формула (33) вытекает из (30); Щ )!' = ~Я™(О,ерЦ'яшОе(Оеар= /'~ 4я (Е+ !т0! „(о 21+ 1 (1 — ~т~)! ф(е) = ~ ~ а, 1)~(е) = ~ 1'~(е), (34) с=о = — с шо Полнота ортогональной системы сферических функций (1,'и) означает, что всЯкаЯ фУнкциЯ ф б Ез(Яз) РазлагаетсЯ в РЯд ФУРье по этим функциям: Донолнендде. сиеддиольньде 20унниии 396 сходящийся в бо(о~). В соответствии с (33) коэффициенты ад ~ ряда (34) вычисляются по формуле аьб™ = 2 / / 7" (022р)Уднр(0,2р)яп021021р.
(35) Р,н2 21+ 1 (1 — /т/)! Р' 2" и 4г (1+ )т~)! .lо lо Пусть С~с(я) произвольная сферическая функция порлдка 1. В этом случае (ф,1г) = О, 1 ~ 1' (см. п. 1), и в разложении (34) для функции ф остается только одно слагаемое у), так что ф = уь Итак, доказано: сферические функции у исчерпывают все линейно независимые сферические фу.нкции; формула (32) дает общее выражение для сферической функции порядка 1. Злмнчлнин.
Сферические функции 1' ", т = О, ~1,..., х1, являются собственными функциями оператора Бельтрами д / дУ~ 1 д2У вЂ” — (хяп0 — ) —... 1 Е С~(д ), яп0 д0 (х д0 ) а1пя 0 дьоя соответствующими собственному значению Л = 1(1 + 1) кратности 21 + 1. 7. 2Х>ормула Лапласа. Пусть ур(е) сферическая функция порядка 1. Применяя форлдулу Грина (5) из 9 5.3 длл шара 222 к гармоничному полиному г'Уд(е), получим при г ( 1 ,,у,, 1 / /д(~ %(о)) 4я /лд ( дп' ~и — лР~ — !х'!'Уд(л') д, т, сЬ'. (Зб) Но в силу (22) 1 1 Н-*1 г г,Я: 2,(.,—,.') —,2 = д Рв((е, е'))гь, (37) д 1 д 1 д ' ~ — 1~ .„„дР 22,' — 2 22г, 22 Р рд р=д „ь — Ря((гяе')) „, = — ~(1+1)Ря((е,е'))г~, (38) р л=о д 2 о=О вД.2.
Сферические функции 397 причем ряды (37) и (38) сходятся равномерно по (в, в') при каждом т < < 1 (сьс. п.4). Подставляя выражения (37) и (38) в формулу (36) и производя почленное интегрирование, полу сасм тс1'~(в) = = — 1) ссдсйтсс |с"+цс'сйс стси.пс"~ 4т,~~е с я=о ь=о — т (1+ )с + 1)ус (е') РьЯв, в')) сЬ', т < 1.
Отсюда ввиду произвольности т вытекает следующая важная интегральная формула для сферических функций: К[ел)Рв11в, в')) сЬ' = Ус(в)бсь. яв ' ' 2)+1 (39) Применяя формулы разложения (34), (35) к функции Дв') = = Рсйв,в')) и учитывая формулу (39). получим формулу сложения для полиномое Лежандра Р и','')) = ~ "„'„," Уи ( ж-С ') с ' ' — ~~+~ш~)с с в с (40) 21+1 Г уь(в) = / Дв )Рь((в,в')) сЬ . 4н (41) Формула (41) сразу дает все коэффициенты в сферической функции Ув из разложения (34) функции 7 б Ез(дз). Она называется формулой,Лапласа. 8. Шаровые функции. Построим решения уравнения Лапласа с)си = О в ив методом разделения переменных в сферических координатах (т,у,ср).
В этих координатах уравнение Лапласа имеет для функции й вид (2): 1 д с'ядй~ 1 д с' да 1 дзй — — та — ~ +, — сйпд — ( + о — = О. (42) тв дт )с дт~ тасйпд ду ~, дд( тасйпзу дсссз Залсеним в равенстве (34) в на в'. Умножая это равенство на РьИв,в')), интегрируя его почленно по в' е Я и пользуясь формулой (39), получаем формулу Дополнение.
Специальные еуункции 398 й(г, В,9е) = Е(г)1'(В,9о). (43) Подставляя это выражение в уравнение (42), для функций Л. и 1' получаем уравнения (г~Л~) — ВЕ = О, (44) д Г ду ~ 1 дэ1л — — ~ яп — + ., — + пУ = О, япВ дВ ~, дВ) япЯВ деот (45) где р неизвестный параметр. Здесь 1л е С (д'). При р = )(1 + 1) уравнение (45) имеет решения класса С'"'(Яэ), и этими решениями являютсл сферические функции 1;и' (см. п.б).
Уравнение (44) при 1е = 1(1+ 1) имеет два линейно независимых решения г~ и г-~ — 1 Таким образом, в силу (43) уравнение Лапласа имеет следуюший набор линейно независимых решений: г'У~(В,уе), е ' 'Ъ,"'(В,ео), ! = 0,1,...., ш = 0,*1,...,*т, (26) где с~1;и' гармонический полипом степени 1 и г ~ ~К гармоническая функция в Кз '1 10). Функции (46) называются илироеььии функция.аи; они широко используются в математической физике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
