Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 57
Текст из файла (страница 57)
1) эта функция разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям чеха,ануе х) этого ядра. Если же Л = 0 есть собственное значение оператора Ь, 1т.е. при о = о = 0; см. п.5), то, как и в ~ 5.2, достаточно рассмотреть задачу. "лД Б Функцггн Бесселя 385 функции Ханкеля второго рода Н(2)(Х) = [1,(Х)Е'л" — д и(Х)), и ф Н, г ягп гги Н(2(( ) у ( ) ~ <дд (х) ( )пдд-~(х)~ ди ди функции Неймана (37) (41) 2 1 Хо(х) = — — 1п — + ..., т х 1 Ко(х) = 1п — + ... (44) 2З В. С.
Владимиров, В. В. 7Карииов 1 Аг,(х) = [дм(х) совки — У и(х)], и У': п, вш 7Ги 1 [дд,(х) п дд „(х) функцнн мннмоео аргумента к 1,(х) = ехр — — иг 2,У„(гх), К,(х) = — ехр ~ — иг~Н( ((1х). Таким образом, Н(~~)(х) = д,(х) + Ггв' (х), Нв)~~ (х) = дв(х) — г)г=м(х). ПользУЯсь асикгптотикой (23) ллЯ ди(х), полУчим пРи х — ~ +ос л)~) .) = Гà — «р[) ( — — — — )) +о) ) ), )38) Н( )(х) = Г,г — ехР ~ — г [х — — и — — 21 ~ + 0(х г ), (39) — 2 2 )г кх [ [ 2 4)( гв',(х) = ~( — Ягп [х — — и — — 21 + 0(х ' ), )г кх [, 2 4) 1,(х) = [1+ 0(х г)), ъ)2кх Км(х) = в — е '[1+ 0(х ')). у 2х Аналогично, пользуясь (б), получим при х -+ и О Н (х) = — — (и — + ..., Н (х) = — '1п — + ..., (43) (г( 22' 1 (2( 2)', 1 )Г Х .г х Дополнении Спеииалонме функции 3 Д.2.
Сферические функции дзи дви дзи Ьи(х) = —. + — + — = О, х = (хм хе,хя). (1) д ', дх,', дх,' Действительно, в сферических координатах (г, О, ~р), хя = гя1пйв1пу, х1 = гв1пйсояу, хз = гсовй, уравнение Лапласа (см. (14) из 3 1.3) для функции й(г, О, ~р) = и(хы хап хз) принимает вид (2) Если решение й искать в виде й = глУ10, р), то функция У (В, р) долж- на удовлетворять уравнению 1 д р . ду"1 1 дзу — ~ жй — „~+ з я +Л(Л+1)1'=О.
(3) в1пй дй дй я1п'й дра Ниже мы увидим, что решения уравнения (3), бесконечно дифференцируемые на двумерной единичной сфере я~ пространства Кя, существуют при целых значениях Л = 1 = О, 1,... Такие решения называются сферическими функциями. 1. Определение сферических функций. Сферической функцией (сферической гармоникой) порядка 1 = О, 1,... называется всякий однородный гармонический полипом степени 1, рассматриваемый на двумерной единичной сфере 5~ = 51 трехмерного пространства м~.
Такое определение сферических функций можно сформулировать для любого числа переменных, в частности на окружности д 1 (одномерной единичной сфере на пюскости). Таким образом, между сферическими функциями 1) (я), я й Яз, порядка 1 и однородными гармоническими полиномами и~(х), х е яс, степени 1 равенство 1гх 1 иДх) х у)(а) = и~ ~ — ) =, я = —, Ь~) и ' ~г (4) Сферические функции возникают при решении уравнения Лапласа в пространстве яД.2. Сферические функции 387 устанавливает взаимно однозначное соответствие. Сферические функции 1'| и 1"| различных порядков ортогональны в Ея1бз), (1),Уе) = ~ 1)(я)ул(я) я=О,. ,/ее (5) Действительно, применяя формулу Грина (8) из 85.1 для шара 11| к гармоническим полиномам получаем 0 = ~ ~/х! 1т — !х/ 1'| |1я = — — 'т|1я)1'| (я) еЬя = 11 — 1') / 1((я)1| (я) Ня, Ы(т') |1(т' ) ) Йт Йт ~„яе что и требовалось установить. Для примера вычислим все сферические функции 1| на окружности У.
Это удобно делать в полярных координатах (т, р). Применяя к гармоническому полиному и | (х) = т~ 'т) ~,<р) (б) оператор Лапласа (см. (15) из 8 1.3), для сферической функции 1|(|р) получаем дифференциальное уравнение У;и + |~1'| = О, откуда К|(~р) = а|соя/р+Ь|я1п!р, 1= 0,1,... (7) Итак, сферические функции на окружности - это тригонометрические функции.
При этом в силу (6) и (7) и|Я = т~(а| соя б|р+ Ь| я|пХр) = а, Нее'+ Ь> 1п|е', я = х| + |хя, дает общий вид однородного гармонического полинома степени 1 в Кя Наша задача вычислить все сферические функпии 1'|(й,|р), 1= 0,1..., на сфере Нз. Дополнение Спепиальпме 4уппчип 388 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций. Выведем дифференциальное уравнение для сферических функций на сфере о'з. Применяя к гармоническому полиному (8) и~(ж) = г 1)(О, р) оператор Лапласа, получаем дифференциальное уравнение (3) при Л=1 В Р ОУ)'1 1 Озу — ~яп — ) + ., +1(1+1)у) = О.
(9) Решение уравнения (9) будем искать в классе С (эз). Для того чтобы функция У) была сферической функцией порядка 1, необходимо и достаточно., чтобы она принадлежала классу С (Яз) и удовлетворяла уравнению (9). Необходимость условий уже доказана. Докажем их достаточность. Пусть функция 1) Е С (сз) есть решение уравнения (9). Тогда функция иб построенная по формуле (8), удовлетворяет уравнению Лапласа в сферических координатах и, значит, гармонична при л у: ф О.
Кроме того, эта функция ограничена в окрестности точки х = = О. По теореме о стирании особенностей гармонической функции (см. 85.3, и. 6) функция ся гармоническая в м~. Далее, эта функция однородная степени 1. Отсюда, использу.я теорему Лиувилля (см. 8 5.3, п. 9), заключаем,. что Ш -- однородный гармонический полипом степени 1.
Это и значит, что функция У) есть сферическая функция порядка 1. Для нахождения решений уравнения (9) применим метод Фурье. В соответствии с общей схемой этого метода (сьь 8 5.4 и 8 6.1) ищем решение У~ уравнения (9) в виде произведения (10) У)(О,|р) = Р(соаО)Ф(р). Подставляя выражение (10) в уравнение (9) и деля его на —:-т —, получим РФ з1в О' фа~ ) япΠ— ~япО „' ' ] +1(1+1)аш ОР(соаО) и' ~ . ИР(совО)1 2 +(Р) Р(соя В) (11) ,Левая часть равенства (11) не зависит от В, а правая от р.
Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от О, ни от р, т, е. яапяется постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через ь, 1Д.О. Сферические функции из равенства (11) для неизвестных функций Ф и 'Р и параметра и получаем уравнения Ф" +рФ = О, (12) — — вшО ХР(сов О) 1 1 и ~ + ~1(1+ 1) —, Р(совО) = О. (13) в1пОЮ ~ е1О ~ ~ вш-О Ф(~р) = е'и'", (14) Таким образом, задача нахождения сферических функций свелась к уравнению (13) при и = т'-', >п = О, 1,...
Совершая в этом уравнении замену переменной р = сов О, .для функции Р(р) получаем уравнение в -[(1-1еа)Р')'+ "' в Р =Ц1+1)Р. 1 — ц' (15) Решения уравнения (15) в точках ж1 должны принимать конечные значения )Р~~1)! ( оо. 3. Полиномы Лежандра. При >и = 0 уравнение (15) принимает вид 111 „з)Р) +111+1)Р=О.
(16) Проверим что полиномы 1! Р,1р) = — — 1рв — Ц', 1=0,1,..., 2~1~,1р~ (17) называемые волииолеами Лежандра, удовлетворяют уравнению (16). Равенство (17) называетсл формулой РоОриеа. Действительно, полагая И~р = (1ев — 1)' и дифференцируя тож- дество (ра — 1)И" ,— 21рй1) = 0 1+ 1 раз, получаем (ра — 1)И',1 ~ ~+ 2рИ~1 ' ~ — 1(1+1)И;1 ' = О. Чтобы функция (10) была однозначно определена на сфере ов, необходимо, чтобы Ф была 2я-периодической функцией. Но такие решения уравнение (12) имеет лишь при р = тв, т = О, 1,..., и тогда Дополнение. Спеииальньье у1унниии 390 Таким образом, функция Ие, и, следовательно, полипом Рь удовлет- Ю воряют уравнению [16).
Выпишем первые четыре полинома Лежандра: з 5 з 3 Ро[р) = 1, Рь(р) = р,. Ро = — р — —, РзМ = — р — — р 2 2' 2 2 Из формулы (17) непосредственно следует, что [18) Р~[1) = 1. Полином Лежандра Рь единственное линейное независимое решение уравнения (16) в классе С-'[[ — 1, 1]). Действительно, для всякого решения Р е Сз([ — 1,1]) уравнения [16) в силу формулы Остроградского — Лиувилля [см. [5] и [5) из 9 5.2) при р(р) = 1 — р справедливо соотношение Поскольку левал часть ограничена на [ — 1,1], равенство возможно лишь при а = О. Поэтому определить Вронского для решений Рь и Р обращается в нуль тождественно, и, следовательно, решения Р~ и Р линейно зависимы [сьь [5]). Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в С ( — 1,1).
В самом деле, так как полипом Лежандра Р~[р) удовлетворяет уравнению [15) при т = О, то в силу [14) и [10) Р~(сояВ) принадлежит С [Вз) и удовлетворяет уравнению [9). Следовательно, Рь(соя д) сферическая функция порядка 1 [сьь п.2). Но сферические функции различных порядков ортогональны в Со[Я~) [см. п. 1). Поэтому ,1 2я/ Р~[р)Р) [1л)е)р=/ э1 Рь[аовВ)Рг[совВ)вшВе)Ве1р=О, 1~1'. — 1 о о Злмнчлнин.
Полипом Лежандра Рь является собственной функцией оператора — [[1 — ро)Р']', соответствующей простому собственному значению А = 1[1+ 1). Роль граничных условий здесь играют усяовия конечности решения Р[р) в точках х1. Отметим, что функция 1 — ро обращается в нуль на конпах основного интервала [ — 1, 1) и потому нс удовлетворяет условиям из 9 5.2.
вД.2. Сферические д)инкиии З91 4. Производящая функция. Пусть а = )т, 0(())) и у = 10,0, 1). Разложим функцию 119) )* - У),(( — ( .—,( ~ в ряд по степеням ю 1 а) ) сов й) г) . т( — 2 ((- 120) 1 д )' да) о = ул)„(.„в),') = т " т ~ — („,( — "') ((((-(()„~. )=о ~в1п В де '), дВ )=о Отсюда следует, что каждое слагаемое в последней сумме обращается в нуль, и, следовательно, функции а) )р) удовлетворяют уравнению 116)( поэтому а)1р) = С)Р) 11л) 1см. п. 3) и разложение (20) принимает вид 1 , ='5 С)Р)(соей)г'.
'( — 2 (-( 121) Для определения постоянных С) положим 0 = 0 и воспользуемся ра- венством Р))1) = 1. В результате получим г =~ С)т, )=о )=о откуда следует( что С) = 1. Итак, справедливо разложение . =Кт(~)", т) ' о() 1 ( — 2 Н( Функпия )1 — 2тр+ ) з) ) ~з называешься производящей функцией длл полиномов,Лез(сандра. Ряд 120) сходится при (г~ < 1 и 0 Е [О, х) и его можно почленно дифференцировать по г и о бесконечное чисю раз( причем полученные ряды будут сходиться равномерно по 1г, О) на — ) о < г < то, 0 < о < < х, пРи любом то < 1.
ПРименЯЯ к РавенствУ 120) почленно опеРатоР Лапласа и учитывая, что функция 119) гармонична в шаре ~т~ < 1( при всех 0 < г < 1 получаем с учетом 12) дополнение. Спеииаленые Оуунниии 392 Из формулы (22) легко получить рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра (1 + 1)Рр,1 (р) — (21 + 1) ррс ( р) + 1Рс — 1(р) = О (23) (21+ 1)Р~(р) = Рт, (д) — Р,', (д). (24) Для этого, дифференцируя тождество (22) по г и р и умножая затем на 1 — 2гд+ г~, получим тождества (д — г) ~ Р~ (р)г~ = (1 — 2гр + гз) ~=о Р~(р)г' = (1 — 2гр+ гэ) ~=о Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, получаем со- отношения (23) и Рр(р) = Р~',(р) — 2РР,'Я + Р~'„.,(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
