Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики (2-е изд., 2004) (1095467), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Из определения обобщенного решения вытекает, что всякое классическое решение задачи (1) — (3) является и обобщенным решением ее, и для существования обобщенного решения необходимо выполнение условии: р' непрерывна в оз(С) по 1 на ~0, со), ио Е С(С), дгас1ио Е озсС) и ис Е ЕясС). Г" б.Я. Слесааннал задача длл ураененил гиперболичееноео таина Зое7 Установим теперь дополнительные свойства обобщенных решений. а) Обобщенное решение и[х,1) задачи [1) .(3) удовлетворяет уравнению [1) в обобщенном смысле, т.е. для любой со Е Р[Ц ) выполнено интегральное соотношение Г да со и,о [р, тте) с л=) ти,отсв4е ОЕ Действительно, пусть р Е 7т[Ц ); тогда врг ие С Цт при некотором Т > О. Умножая уравнение (1') на функцию р и интегрируя по цилиндру Цт, полу-чим д'и ~р —, — с11ч(рбгас1ии) + с7иь1 срс1хс11= / Ерсрдхс11. ггт дц В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, интегрированием по частям перебросим операцию дифференцирования на основную функцию р [снс.
[6) из ~5.1). Поскольку у обращается в нуль в окрестности границы цилиндра Цт, внеинтегральные члены при этом исчезнут и в результате получим дз иь р — с11и[р8гас1 ср) + с7ср с[х с11 = гсср асх й. гтт зцт Учитывая теперь, что в силу [23) и [22) ии — 'е и и ттсь — т тгт, й — 'е оо, в Сз(Цт)., и переходя в последнем равенстве к пределу при Й вЂ” ~ оо, полу.чим интегральное соотношение [24). б) Обобщенное решение и[х,1) обладает первыми (обобщенными) производными ис, 8тас) и, непрерывными в Ез[С) по 1 на [О, оо), причем при всех Т > О < дил ди д1 д1' й — > оо, в Ее[С), 1б [О,Т[.
[25) ягас1 иь:л 8гас1 и, Действительно, применяя неравенство [18) теоремы из п.2 к разности иа — ир при всех б Е [О, Т[, Т > О, получим Гл. Ъ7. Смеозаанал задача 358 див дир — < СЯ~иьо — иро8с + 8 ~ Ягаб пьо — 8габ иро~ 8 еде д1 + Д~иы — ар~)(+ Т п1ах ~)Рь — Ер8), о«<т откуда в силу (22) следует, что последовательность производных — "-"-, д1 ' й = 1,2, ..., сходится в себе в ьз(С) равномерно по 1 на [О,Т) при всех Т > О. По лемме 2 из п. 3 существует функция й(х, 1), непрерывная в Ез(С) по 1 на )О, оо) и такая, что при всех Т > 0 — =1 й, Й вЂ” р оо, в Ез(С), 1 ~ ~О,Т).
диь (26) С другой стороны, из (23) следует, что иь — ~ и, й — р оо, в Р' (функции ие и и считаем продолженными нулем вне цилиндра П ). Отсюда, пользуясь непрерывностью в Ю' опсрапии обобщенного дифференцирования (см. 8 2.2, п.2, а)), заключаем, что диь дн — р —, Й вЂ” > оо, в тз'. д1 дЮ На основных функциях р из Р(Це,) с учетом (26) имеем Г диь /дн й1зе1хЖ е- / езе1хе11 — р ) —,х, й — р оо, ,/ д1 ), д1' откуда вытекает равенство (см.
8 2.1, п. 5) ие = й, (х,е) Е 1Д Таким образом, в силу (26) доказано первое предельное соотношение (25). Второе соотношение (25) доказывается аналогично. в) Обобшеннос решение и(х, 1) удовлетворяет начальным условиям (2) в следующем смысле: '8и — иоЦ вЂ” р О, 8 ! 8гае1,(и — ио) ~ 8 -о О, 08ие — и, (! — э О, 1 -+ О. (27) Для доказательства перейдем к пределу при Й -+ со в неравенстве '8и(х, 0) — ио(х)~~ ( ~~и(х, 0) — иь(х, 0)!) + ',~~иааф — иоЯ~!; ~6.25 Смешанная задача для ураонония гинерболичеонооо типа 359 Г2 с ЦииЦ < ЦиьоЦ+ ~/ — Уь(0)1+ — / (1 — т)ЦгьЦс1т, 1 > О, (28) Ро Ро о где ,7и(0) = — у (Рии, +р!8габияо~ +дняо)дх+ — у р — и~осБ.
(29) а 1 l е ., 1 Г о 2,/о 2,/я, 3 Пользуясь тем, что в силу (23) и (22) (см, п.4) при й -о оо для любо- го Т > 0 имеем ЦиьЦ:1 ЦиЦ, ЦЫЦ:т Цг'Ц, 1Е (О,Т), Циьо — иоЦс — ~ 0 Ц !8габиао! Ц вЂ” ~ Ц !8гас1ио! Ц, Циы Ц -+ Ци~ Ц, и переходя к пределу в (28) и (29), убедимся в справедливости опенки (14).
Оценки (12) и (13) устанавливаются аналогично с помощью предельных соотношений (25). Из оценок (12), (13) и (14), как и для классического решения, вытекают единственность обобщенного решения задачи (1) — (3) и его непрерывная зависимость от ио, ит и Г в смысле теоремы из п.2. 6. Существование обобщенного решения.
В Ц 6.1, п. 2 было построено формальное решение задачи (1) . (3) в виде ряда Фурье по собственным функциям Х оператора Л и(х, 1) = ~ Т (1)Х (х), о=-1 (30) используя предельные соотношения иь(х, 0) о и(х, 0) и иго(х) о ио(х) в Еа(С). В результате получим и(х, 0) = ио(х). Отсюда в силу непрерывности функции и(х,1) в Еа(С) по 1 Е (О, со) убеждаемся в справедливости первого соотношения (27). Аналогично, используя свойство б), получим и остальные соотношения (27). Вопрос о том, в каком смысле обобщенное решение и(х,1) удовлетворяет граничному условию (3), подлежит дальнейшему выяснению. 5. Кдинственность и непрерывная зависимость обобщенного решения.
Докажем, что оценки (12), (13) и (14) остаются справедливыми и для обобщенного решения и(х,1) задачи (1) . (3). Действительно, пустьии(х,1), й = 1,2,..., последовательность классических решений задачи (1') †(3'), сходящаяся к обобщенному решению и(х,1) в смысле (23). Применяя к решениям ии неравенство (14), получим Гл. Ъ7. Смешачиал задача 360 где ! Т!.(!) = а соз У!'Л 1+ 51 а!пт/Лз1-~- / сза(г) Я!и ~(Лз[1 — т) !ет, уе'Л! о (31) а = [ио,ЛЬ)л Ь! = (и!,Л,)р, с,[1) = ЖХ,). 1 ' =,/Л, [32) Возникает задача обоснования метода Фурье, т.е. выяснения условий, при которых ряд (30) сходится и дает обобщенное или классическое решение.
Предположим, что ио е Мщ и! б Ее[С) и Е непрерывна в Ез(С) по 1 на [О, оо). Докажем,. что при этих условиях ряд (30), представляющий формальное решение задачи [1)-(3), сходится в ьз[С) равномерно по 1 на [О, Т) при всех Т > 0 и определлет обобщенное решение и[з51) этой задачи. Действительно, пользуясь теоремами разложения 1-3 из з 5.1, п.
4 [см!. замечание), представим функции ио, я!а!1 ио, и! и Е/р в виде рядов Фурье по собственным функциям Хз оператора Ь: ио(х) = ~ а.Х;[х), з=! 8гас1ио[х) = ~аз 8гае1Хз(х), и!(х) = ~ е!Лу 5,Хз[х), (34) з=-! !'=! Е(х, !) = р[х) ~ с [!)Х [х), (35) з=.! ч э г[';!) ! г [х!) /с! р[ ) (36) Каждый член ряда [36) есть неотрицательная непрерывная функция с~[!), и этот ряд сходится к непрерывной функции (см. п.3). По где а„Ь: и с [1) определены формулами (32), причем функции сз[!) непрерывны на [О, оо) [см. п, 3). При этом ряд [33) сходится в С[С), а ряды (34) сходятся в Ез[С). Докажем, что ряд [35) сходится в Ез(С) равномерно по 1 на [О, Т) при ля!бом Т > О.
Действительно, при каждом Ь Е [О, оо) для функции Е(х, 1) !!р[х) справедливо равенство Парсеваля — Стеклова [см. ~1.1, п.8) Е" б.Я. Смешанная задача дал ураоненил еипербоаичееноео шипа 361 лемме Дини (см. 3 1.1, п. 3) ряд сходится равномерно на любом конечном промежутке [О, Т1 Отсюда, оценивая остаток ряда (35) в Сз(С), ео 2 з р~ с,(1)Л, ( шахР(т) ~ ~с.(1)чееРХ нес = С ~ с. (1)сл(1)(Х,з Ле)р — — С ~ с11(1), заключаем, что этот ряд сходится в Ез(С) равномерно по 1 е [О, Т~) при любом Т > О.
Обозначим через иь, иьо, иы и Рл частныс суммы рядов (30), (33), (34) и (35) соответственно, например, ие(х,с) = ~~ Т (1)Х, (х), Й = 1,2,. Так как То(1) = — Л1Т (1) + с (1), Т Е Са([0, оо)), ЬХ, = ЛурХ,, аХ1+3 — ' = О, Х, Е Са(Г) ПС'(б),. дп то функции иь принадлежат Сз(Ц ) 0С1(1( ), удовлетворяют уравнению (1'): 02 ь р —, + 1,иь — — ~~ (рТ".Х; + Т.1.Х1) = о=1 ( — ЛдрТ Х + рс.Х + Л;рТ1Х1) = р~ с Хз — — Гь(х,1), граничному условию (3') и начальным условиям (2'): е иь[е=е = ~~', ауХз = иьо е диь де = ~~ Ь/Л15,Х, = иы.
е=е Таким образом, построена последовательность иь(х,б), й = 1, 2,..., классических решений задачи (1') — (3') таких, что справедливы предельные соотношения (22). В п. 4 было доказано, что такая Гл. х7. Смешанная задача 362 последовательность (и, стало быть, формальный ряд (30)) сходится в Ез(С) равномерно по 1 на [О, Т] при всех Т ) 0 к обобщенному решению и(т,1) задачи (Ц вЂ” (3). Построенное обобщенное решение и(т,1) обладает свойствами а), б) и в), установленными в п. 4. Итак, доказана следующая Тногнмл. Если ио е Мл, и~ е Ез(С) и Е непрерывна в ьз(С) но 1 на [О, оо), то обобщенное решение задачи (1) — (3) существуетп и иредсхпавляехпся рядом (30) формальным решением этой задачи. Злмнчлнин. При и = 1 справедлива теорема вложения: если 1' е сз(0, 1), то 1 е С([0, 1]) и Действительно,из равенства ех У(л) = Пяо) + / ('Ю д6 яо Е [О, 1], хь следует, что 1 Е С([0, 1]).
Выбирая точку яо Е [0,1] так, чтобы 1 г' [У(хо)] = 1 / ]ХЕ д6 и пользуясь неравенством Коши — Буняковского, получим (*): :х йя)] < ]У(лоН + / [Я)] дб < —, / Тй] д~+ ~ ]У'ЫН К < < — ]]Л + Л][2']], л Е [О, .1]. Л Пользуясь этой теоремой и неравенствами (13) и (14), можно усилить результаты пп. 2, 4 — 6. В частности, последовательность ия(я,1), к = 1, 2,..., сходится равномерно на любом Цт = [О, 1] х [О, Т] к обобщенному решению и(я,1), непрерывному на Ц 7.
Существование классического решения. Возникает задача: выяснить, при каких условиях обобщенное решение (30) задачи (1) — (3) является классическим решением. Нетрудно убедиться, что ряд (30) представляет классическое решение этой задачи, если он и ряды, полученные однократным дифференцированием по всем аргу— ментам, сходятся равномерно в любом конечном цилиндре Цт, а ряды, полученные двукратным дифференцированием, сходятся равномерно на яюбом компакте из Ц . Доказательство же возможности е" б.2. Смешанная задача дал ураененил еипербеаичееноее шипа 363 почленного дифференцирования ряда (30) в обшем случае представляет значительные трудности. Поэтому мы ограничимся рассмотрением смешанной задачи с двумя переменными (х,1) в полуполосе Н = (0,1) х (О,оо) (37) и[е=о = ио(х), ие[е о = ил(х), 0 < <х <1, (38) 1лли — Ь ие[,, = Нли+ Наин[ < — — О, 1 > О. (39) (Считаем, что все Лл больше нуля; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
